1、1.2任意角的三角函數(shù) 1.2.1任意角的三角函數(shù)(一),【知識(shí)提煉】 1.任意角的三角函數(shù)的定義,y,y,x,x,2.正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域,R,R,3.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào),4.誘導(dǎo)公式一 即終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值_.,sin,cos,tan,相等,【即時(shí)小測】 1.判斷. (1)相等的角正弦值相等，反之正弦值相等的兩個(gè)角也相等.() (2)已知是三角形的內(nèi)角，則必有sin0，cos0.() (3)對于任意角，sin，cos，tan都有意義.(),【解析】(1)錯(cuò)誤.相等的角正弦值相等，但是正弦值相等的兩個(gè)角未必相等. (2)錯(cuò)誤.因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以(0，

2、)，所以sin0，cos大于零、小于零或等于零都有可能. (3)錯(cuò)誤.對于任意角，sin，cos都有意義，但是終邊落在y軸上的角tan無意義. 答案：(1)(2)(3),2.若sin0，且tan0，則角是() A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 【解析】選D.由sin0知角的終邊落在第三、四象限或y軸的非正半軸上，由tan0知角的終邊落在第二、四象限，所以角是第四象限角.,3.計(jì)算：sin180+2cos270的值為_. 【解析】180的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)， 所以sin180=0， 270的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，-1)， 所以cos 270

3、=0， 所以sin 180+ 2cos 270=0. 答案：0,4.sin =_，cos =_，tan =_. 【解析】角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 所以 答案：,5.tan 390的值為_. 【解析】tan 390= tan(360+30)= tan 30= 答案：,【知識(shí)探究】 知識(shí)點(diǎn)1 任意角三角函數(shù)的定義 觀察圖形，回答下列問題： 問題1：任意角三角函數(shù)的自變量和函數(shù)值分別是什么？ 問題2：知道某角終邊任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，是否可以計(jì)算該角的三角函數(shù)值？,【總結(jié)提升】 1.對任意角三角函數(shù)的三點(diǎn)說明 (1)在任意角的三角函數(shù)的定義中，是一個(gè)任意角，同時(shí)它也是一個(gè)實(shí)數(shù)(弧度數(shù)). (2)三角

4、函數(shù)也是函數(shù)，都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)(坐標(biāo)的比值)為函數(shù)值的函數(shù)；三角函數(shù)值只與角的大小有關(guān)，即由角的終邊位置決定.,(3)要明確sin是一個(gè)整體，不是sin與的乘積，它是“正弦函數(shù)”的一個(gè)記號(hào)，就如f(x)表示自變量為x的函數(shù)一樣，離開自變量的“sin”“cos”“tan”等是沒有意義的.,2.任意角三角函數(shù)的另一種定義 設(shè)角的終邊上任一點(diǎn)P(x，y)，OP=r(r0)，如圖所示 則,知識(shí)點(diǎn)2 三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題： 問題1：判斷三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)的依據(jù)和關(guān)鍵分別是什么？ 問題2：三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)有什么規(guī)律嗎？,【總結(jié)提升】 對

5、正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號(hào)的兩點(diǎn)說明 (1)由三角函數(shù)的定義知 (r0)，可知角的三角函數(shù)值的符號(hào)是由角終邊上任一點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)確定的，則準(zhǔn)確確定角的終邊位置是判斷該角的三角函數(shù)值符號(hào)的關(guān)鍵. (2)要熟記三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律，三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律可簡記為：一全正，二正弦，三正切，四余弦.,知識(shí)點(diǎn)3 誘導(dǎo)公式一 觀察如圖所示內(nèi)容，回答下列問題： 問題1：誘導(dǎo)公式一的作用是什么？ 問題2：誘導(dǎo)公式一的結(jié)構(gòu)特征是什么？,【總結(jié)提升】 對誘導(dǎo)公式一的三點(diǎn)說明 (1)公式一的實(shí)質(zhì)是終邊相同的角的三角函數(shù)值相等. (2)公式一的結(jié)構(gòu)特征： 左、右為同一三角函數(shù)； 公式左邊

6、的角為+k2，右邊的角為.注意公式一中的條件kZ不可遺漏. (3)公式一的作用：把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求02(或0360)角的三角函數(shù)值.,【題型探究】 類型一 任意角三角函數(shù)的定義及應(yīng)用 【典例】已知角終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x， )(x0)，且cos= x.求sin+ 的值.,【解題探究】本例中計(jì)算sin、cos、tan的依據(jù)是什么？ 提示：依據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，即 若角的終邊上任一點(diǎn)P(x，y)，OP=r (r0)，則,【解析】因?yàn)镻(x， ) (x0)， 所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離 又cos = ，所以cos = 因?yàn)閤0，所以x= ，所以 當(dāng)x= 時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為( )， 由三角函數(shù)的定義，

7、有sin =- ， 所以 當(dāng)x=- 時(shí)， 同樣可求得,【延伸探究】 1.（變換條件）本題中點(diǎn)P的坐標(biāo)改為(- ，x)，x0，且sin = x，結(jié)果又是什么？ 【解析】因?yàn)镻(- ，x) (x0)， 所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離 又sin = x，所以 因?yàn)閤0，所以x= ，所以,當(dāng)x= 時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為( ）， 由三角函數(shù)的定義，有 所以 當(dāng)x=- 時(shí)， 同樣可求得,2.（變換條件、改變問法）若角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)P1，且點(diǎn)P1到原點(diǎn)的距離與本題中P到原點(diǎn)的距離相等，試求點(diǎn)P1的坐標(biāo). 【解析】角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為( )，所以 由已知得|OP1|= 由三角函數(shù)的定義，知點(diǎn)P1的坐標(biāo)為( )，即 (

8、-3， ）.,【方法技巧】由角終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值的步驟 (1)已知角的終邊在直線上時(shí)，常用的解題方法有以下兩種： 先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值 在的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，P到原點(diǎn)的距離為r(r0)則 sin = ，cos = .已知的終邊求的三角函數(shù)值時(shí)，用這幾個(gè)公式更方便 (2)當(dāng)角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對參數(shù)進(jìn)行分類討論,【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2015臨沂高一檢測)已知角的終邊過點(diǎn)P(-3a，4a)(a0)，求2sin +cos 的值 【解析】 （1）若a0，則r=5a，角在第二象限 所以

9、2 sin +cos = （2）若a0，則r=-5a，角在第四象限， 所以2 sin +cos =,【延伸探究】 1.（變換條件）將本題中點(diǎn)P的坐標(biāo)改為(12a，5a)(a0)，其他條件不變，結(jié)果又如何？ 【解析】 （1）若a0，則r=13a，角是第一象限角， 所以 所以,（2）若a0，則r=-13a，角是第三象限角， 所以 所以,2.（改變條件和問法）點(diǎn)P的坐標(biāo)改為(-8m，-6 sin 30)，且 cos = ，求m的值. 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(-8m，-3)， 所以 所以cos = ，所以m0， 所以 ，解得m= ，又m0. 所以m= .,類型二 三角函數(shù)在各象限的符號(hào)問題 【典例】

10、1.已知角=2k- (kZ)，若角與角的終邊相同，則y= 的值為（ ） A1 B-1 C3 D-3 2.（2015南通高一檢測）已知sin tan 0，那么是第_象限角. 3.如果|sin x|=sin x，那么角x的取值集合是_,【解題探究】1.典例1中，角的終邊在第幾象限？該象限內(nèi)正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號(hào)分別是什么？ 提示：角的終邊與 的終邊相同，是第四象限角.第四象限內(nèi)正弦、正切函數(shù)值為負(fù)，余弦函數(shù)值為正. 2.典例2中，sin tan 0包括哪些情況？正弦、正切函數(shù)值在各象限的符號(hào)有什么規(guī)律？ 提示：sin tan 0包括sin 0，tan 0和sin 0，tan 0兩種情況.正弦

11、函數(shù)值在第一、二象限為正，在第三、四象限為負(fù)；正切函數(shù)值在第一、三象限為正，在第二、四象限為負(fù).,3.典例3中，sin x的符號(hào)是什么？角x的終邊所在區(qū)域是什么？ 提示：sin x0，角x的終邊在第一、二象限或x軸上或y軸的非負(fù)半軸上. 【解析】1.選B.由=2k- (kZ)知，角的終邊在第四象限，又角與角的終邊相同，所以角的終邊在第四象限，所以 sin 0，cos 0，tan 0，所以 =-1+1-1=-1.,2.因?yàn)閟in tan 0， 所以sin 0，tan 0或sin 0，tan 0， 若sin 0，tan 0，所以在第二象限 若sin 0，tan 0，則在第三象限 答案：二或三,3.

12、因?yàn)閨sin x|=sin x，所以sin x0， 所以角x的終邊在第一、二象限或x軸上或y軸的非負(fù)半軸上. 所以2kx2k+，kZ，角x的取值集合是 x|2kx2k+，kZ. 答案：x|2kx2k+，kZ,【延伸探究】將典例1的條件去掉，求關(guān)于的函數(shù) 的值域. 【解析】顯然角的終邊不可能落在坐標(biāo)軸上， 角的終邊落在第一象限時(shí)， 角的終邊落在第二象限時(shí)，,角的終邊落在第三象限時(shí)， 角的終邊落在第四象限時(shí)， 所以 的值域是-1，3.,【方法技巧】正弦、余弦函數(shù)值的正負(fù)規(guī)律,【變式訓(xùn)練】已知角的終邊過點(diǎn)(3a-9，a+2)且cos0，sin0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_. 【解題指南】先確定角的終邊的

13、位置，然后列出不等式組求a的取值范圍.,【解析】因?yàn)閏os0，sin0， 所以角的終邊在第二象限或y軸非負(fù)半軸上， 因?yàn)榻K邊過(3a-9，a+2)， 所以 所以-2a3. 答案：-2a3,【補(bǔ)償訓(xùn)練】確定下列各式的符號(hào). (1)sin2014.(2)cos .(3)sin4cos4. 【解題指南】先確定各角所在的象限，然后判斷符號(hào). 【解析】(1)2014=3605+214， 所以2014為第三象限的角， 所以sin20140.,(2) 為第四象限的角， 所以 (3)4 所以4 rad為第三象限的角. 所以cos 40.,類型三 誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用 【典例】1.(2015武漢高一檢測)sin(-

14、660)=() 2.已知P(2，-3)是角終邊上一點(diǎn)，則tan(2+)等于(),【解題探究】1.典例1中，在0360內(nèi)與-660終邊相同的角是什么？ 提示：因?yàn)?660=-720+60，所以60與-660終邊相同. 2.典例2中，如何計(jì)算tan？tan(2+)與tan有什么關(guān)系？ 提示：依據(jù)任意角的正切函數(shù)的定義計(jì)算tan. tan(2+)=tan.,【解析】1.選B.sin（-660）=sin（-720+60） =sin 60= 2.選C.因?yàn)镻(2，-3)是角終邊上一點(diǎn)， 所以tan = 所以tan(2+)=tan =,【方法技巧】應(yīng)用誘導(dǎo)公式一化簡求值的步驟 （1）將已知角化為 k360

15、+（k為整數(shù)，0360）或2k+（k為整數(shù)，02）的形式. （2）將原三角函數(shù)值化為角的同名三角函數(shù)值. （3）借助特殊角的三角函數(shù)值或任意角三角函數(shù)的定義達(dá)到化簡求值的目的.,【拓展延伸】公式一的意義 誘導(dǎo)公式一體現(xiàn)了三角函數(shù)值“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，即角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，函數(shù)值將重復(fù)出現(xiàn).,【變式訓(xùn)練】sin 585的值為( ) 【解析】選A.sin 585=sin(360+225)=sin 225. 由于225是第三象限角，且終邊與單位圓的交點(diǎn)為 所以sin 225=,【補(bǔ)償訓(xùn)練】點(diǎn)A(x，y)是-300角終邊與單位圓的交點(diǎn)，則 的值為（ ） 【解析】選A.x=cos(-300)=cos(-360+60) =cos 60= y=sin(-300)=sin(-360+60) =sin 60= 所以,易錯(cuò)案例 任意角三角函數(shù)定義的應(yīng)用 【典例】（2015孝感高一檢測）角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(x，4)，且cos = ，則sin =_.,【失誤案例】,【錯(cuò)解分析】分析解題過程，你知道錯(cuò)在哪里嗎？ 提示：錯(cuò)誤的根本原因是忽視對點(diǎn)的坐標(biāo)中的參數(shù)進(jìn)行分類討論.實(shí)際上本題中要分x=0和x0兩種情況討論.,【自我矯正】點(diǎn)P(x，4)到原點(diǎn)的距離