1、第九章 拉格朗日方程,運用矢量力學(xué)分析約束動力系統(tǒng)，未知約束力多，方程數(shù)目多，求解煩瑣。能否建立不含未知約束力的動力學(xué)方程？ 將達朗貝爾原理與虛位移原理相結(jié)合，建立動力虛功方程，廣義坐標化，能量化，化為拉氏第二類方程，實現(xiàn)用最少數(shù)目方程，描述動力系統(tǒng)。,9-1 動力學(xué)普遍方程,9-1-1 方程的建立,9-1-2 典型問題,1. 一般形式,n個質(zhì)點。對 有,9-1 動力學(xué)普遍方程,9-1-1 方程的建立,而雙面理想約束,故有,(9-1),不論約束完整，定常與否均適用。,則有,2. 廣義坐標形式,設(shè)完整約束系統(tǒng)有k個自由度，可取 為廣義坐標。,9-1 動力學(xué)普遍方程,9-1-1 方程的建立,則,代

2、入式(9-1), 交換 i，j次序，得,廣義主動力,廣義慣性力,式中,因各 線性無關(guān) 故有,(9-2),等價形式,僅,(9-3),9-1-1 方程的建立,9-1 動力學(xué)普遍方程,式中包含了慣性力虛功!,9-1-2 典型問題,加慣性力，受主動力如圖。,給連桿 ，則,由 有,9-1 動力學(xué)普遍方程,1.由動能定理求導(dǎo)，如何求解?,2.如何求約束力?,2.已知重量 輪純滾,水平面光滑,求三棱 柱加速度。,9-1-2 典型問題,9-1 動力學(xué)普遍方程,加慣性力，受力如圖。 選 廣義坐標。,由,有,又由 有,9-1 動力學(xué)普遍方程,9-1-2 典型問題,式(a)代入(b),可得,令 時，牽連慣性力 并不

3、為零；,令 時，相對慣性力 并不為零， 兩者相互獨立。,9-1 動力學(xué)普遍方程,9-1-2 典型問題,3. 均質(zhì)圓柱與薄壁圓柱1、2,用繩相連，并多圈纏繞圓筒(繩與滑輪A的重量不計)。已知 試求運動過程中輪心C與輪心O的加速度大小。,9-1 動力學(xué)普遍方程,9-1-2 典型問題,自由度k=2的理想約束系統(tǒng)，取兩輪轉(zhuǎn)角 為廣義坐標，其受力與運動分析，如圖(b)所示，,(a),有,(b),9-1 動力學(xué)普遍方程,9-1-2 典型問題,得,(c),再令,聯(lián)立 (c)和(d)式，可得,9-1-2 典型問題,9-1 動力學(xué)普遍方程,對于多自由度動力系統(tǒng)，加上主動力和慣性力后，各獨立虛位移可任意給定，與受

4、力狀態(tài)無關(guān)。,1.如何求繩的張力?圓柱純滾的條件?,2.用動力學(xué)普遍定理如何求解?,3.計入滑輪A質(zhì)量,結(jié)果有何變化?,9-1-2 典型問題,9-1 動力學(xué)普遍方程,9-2 拉格朗日方程,對于完整約束系統(tǒng)，動力學(xué)普遍方程為,不便計算，拉格朗日方程利用兩個經(jīng)典微分關(guān)系。,9-2-1 兩個經(jīng)典微分關(guān)系,第九章 拉格朗日方程,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,式(9-7)表明，,可對 的分子與分母“同時消點”。,(9-7),“同時消點”,證明:,9-2-1 兩個經(jīng)典微分關(guān)系,9-2 拉格朗日方程,n個質(zhì)點，s個完整約束，k3ns，,2) “交換關(guān)系”(求導(dǎo)),將式(9-6)兩

5、邊對廣義坐標,證明:,求偏導(dǎo)數(shù)，有,而,比較以上兩式，可得,(9-8),式(9-8)表明,可對求導(dǎo)“交換關(guān)系”。,9-2 拉格朗日方程,9-2-1 兩個經(jīng)典微分關(guān)系,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,為拉式第二類方程基本形式，以t為自變量， 為未知函數(shù)的二階常微分方程組，2k個積分常量， 需2k個初始條件 。,故,關(guān)于 的計算,由 (見下述例題中),(僅qi0時，計算所有主動力虛功)9-2 拉格朗日方程,9-2-2 拉氏方程基本形式,9-2 拉格朗日方程,9-2-3 勢力場中的拉氏方程,若有勢主動力,引入拉格朗日函數(shù) 又稱動勢。 注意 ，有:,此為勢力場中第二類拉氏方程，是關(guān)

6、于k個廣義 坐標的二階常微分方程組。,則有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,應(yīng)用拉格朗日方程求解受約束系統(tǒng)的動力問題， 首先需要判斷約束是否完整，這是應(yīng)用拉氏方程的 前提；其次看主動力是否有勢，由此選擇拉氏方程 形式。,9-2 拉格朗日方程,，,系統(tǒng)自由度為1。取輪心B沿斜面位移x為廣義坐標。 平衡位置為零勢能位置，則任意x位置時，系統(tǒng)動勢,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,1.此處勢能V為什么與彈簧初始變形和重力無關(guān)?,2.試用動能定理求解例1，并比較兩種方法的異同。,振動圓頻率,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,本系統(tǒng)為完整約束， 主動力非

7、有勢，采用基本 形式的拉氏方程求解。,判斷系統(tǒng)的自由度， 取廣義坐標。,本題中，,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,計算系統(tǒng)的T與,則有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,代入拉氏方程，得系統(tǒng)的運動微分方程。,(a),(b),解方程，求加速度。,，得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,試用動力學(xué)普遍方程，動力學(xué)普遍定理，達朗貝爾原理求解例2，并比較各種方法的特點。,完整系統(tǒng)多自由度動力問題，采用拉氏方程，步驟規(guī)范，便于求解。拉氏方程與動力學(xué)普遍方程對于完整系統(tǒng)本質(zhì)上一致，前者從能量，后者從受力入手考察系統(tǒng)的運動。,9-2 拉格朗日方程,題型特點:

8、,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,9-2 拉格朗日方程,(彈簧的絕對伸長量)為廣義坐標。 取系統(tǒng)的初始位置為零勢能位置。 在任意時刻t，有,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,將以上各項代入下列拉氏方程,(b),9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,(c),其中,由式(c)解得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,將式(d)代入式(c)，再將式(c)和(d)代入式(b)得,順便指出，由式(c)和(d)可知，物B相對于物A作在常力作用下的簡諧振動，其振幅為,，固有頻率為,多自由度完整約束保守系統(tǒng)問題，應(yīng)用含L的拉氏 方程，不需求廣義

9、力，求解較為簡便。,題型特點:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,(b)試用質(zhì)心運動定理和動能定理求解例3，并比 較各種方法特點。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,3.兩個相同單擺，用剛度為k的彈簧連接已知 m,k, l ,a,系統(tǒng)靜止時，彈簧無變形，不計桿重試求 系統(tǒng)振動微分方程及固有頻率。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,自由度為2，選 為廣義坐標，,選平衡位置勢能為0，則,( 較小時， ),9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,9-2 拉格朗日方程,而,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,代入 和 中,有,即,9-2 拉格朗日方程,

10、9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,方程(b)有非0解條件，即頻率方程為,即 (c),為系統(tǒng)的主頻率，將 分別代入式(b),得,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,即 ，為系統(tǒng)的第一主振型， 振動時彈簧不變形。,兩振型圖如下:,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,4. 1,2,3,4剛性桿長均為a，可不計質(zhì)量。均質(zhì)剛桿AB長 ，質(zhì)量為2m，C,D 小球質(zhì)量均為m，求微小運動微分方程及3,4桿相對運動。,系統(tǒng)為定常理想完整保守系統(tǒng)。,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,而,9-2 拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,( a ),并設(shè) 得,同理可得,9-2

11、拉格朗日方程,9-2-4 拉氏方程的應(yīng)用,9-3-1 廣義動量積分(守恒),完整、理想約束、保守系統(tǒng)，若L中不含qr，則qr叫循環(huán)坐標，且有,即 常數(shù),循環(huán)積分，廣義動量守恒。,即,如在重力場中質(zhì)點質(zhì)量為m，取x、y、z為廣義坐標，,可見x、y為循環(huán)坐標，則有,第九章 拉格朗日方程,如圖所示，質(zhì)量為 的某行星A受太陽的引力 ， 為太陽質(zhì)量，G為萬有引力常數(shù)，r為 極坐標的極軸， 為其單位矢。試寫出行星作平面曲 線運動的循環(huán)積分。,該系統(tǒng)有二個自由度。 選 為廣義坐標，,質(zhì)點受重力沿 方向，在x和y方向均為動量守恒。,9-3-1 廣義動量積分(守恒),第九章 拉格朗日方程,可見L中不顯含 ，即

12、是循環(huán)坐標，則有循環(huán)積分。,常數(shù),該廣義動量積分表明，行星A對點O的動量矩守恒。,若選x、y為廣義坐標， 有無循環(huán)積分？,問:,9-3-1 廣義動量積分(守恒),第九章 拉格朗日方程,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),定常、完整、理想約束保守系統(tǒng)，(n個質(zhì)點)，k個自由度有:,則有,故,第九章 拉格朗日方程,(1),而,則,由Euler公式，若 為 的m次齊次函數(shù),9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,故,=2T（T為 的二次齊次函數(shù)）,將式(2)代入式(1)，得,故 常數(shù),此即拉氏方程能量積分，表明上述系統(tǒng)機械能守恒。,即,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量)

13、,第九章 拉格朗日方程,選x和為廣義坐標。,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,故有循環(huán)積分， 常數(shù)(初始為0),又,約束定常，且完整理想。,即 (b),x方向廣義動量守恒，并非系統(tǒng)x方向動量。,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,時，(a)，(b)兩式為,解之得,1. 若接觸平面光滑(f=0)，結(jié)果如何? 2. 若左邊連接一水平彈簧(k)，結(jié)果又如何?,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,系統(tǒng)保守且約束完整、定常，自由度為2，取 與 為廣義坐標。設(shè)圓輪角速度為 ，則從輪C的速度 分析，有 。,因L不含 (其中 為循環(huán)坐標)， 故相應(yīng)的廣義動量守恒， 并考慮到 時，,設(shè)O為零勢能位置，系統(tǒng)動勢為,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,此處利用拉氏方程的循環(huán) 積分，使問題求解大為簡化。,即,對t積分，并注意到 時， ，,得,故,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗日方程,解出 和 ，再積分， 可得 和 的變化規(guī)律。,該約束定常，故有T+V=常數(shù)，即,將此式與例2中(a)式聯(lián)立，,如何求上述 和 的變化規(guī)律,9-3-2 廣義能量積分(機械能守量),第九章 拉格朗