1、保險精算學(xué),中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院 主講教師： 王曉軍 黃向陽 王 燕,教材,指定教材 Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991. Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997. 參考資料 王曉軍等，保險精算學(xué)，中國人民大學(xué)出版社，1995。,課程結(jié)構(gòu),基礎(chǔ) 利息理論基礎(chǔ) 生命表基礎(chǔ) 核心 保費計算 責(zé)任準(zhǔn)備金計算 多重損失模型 保單的現(xiàn)金價值與紅利 拓展 特殊年金與保險 壽險定價與負債評估 償付能力與監(jiān)管,第一章,利息理論基礎(chǔ),利息理論要點,利息的度量 利息問題求解的

2、原則 年金 收益率 分期償還表與償債基金,第一節(jié),利息的度量,第一節(jié)漢英名詞對照,積累值 現(xiàn)實值 實質(zhì)利率 單利 復(fù)利 名義利率 貼現(xiàn)率 利息效力,Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest,一、利息的定義,定義： 利息產(chǎn)生在資金的所有者和使用者不統(tǒng)一的場合，它的實質(zhì)是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補償所有者在資金租借期內(nèi)不能支配該筆資金而蒙受的損失。 影響利

3、息大小的三要素： 本金 利率 時期長度,二、利息的度量,積累函數(shù) 金額函數(shù) 貼現(xiàn)函數(shù) 第N期利息,0,t,1- K- -1,利息度量一計息時刻不同,期末計息利率 第N期實質(zhì)利率 期初計息貼現(xiàn)率 第N期實質(zhì)貼現(xiàn)率,例1.1 實質(zhì)利率/貼現(xiàn)率,某人存1000元進入銀行，第1年末存款余額為1020元，第2年存款余額為1050元，求 分別等于多少？,例1.1答案,利息度量二積累方式不同,線形積累 單利 單貼現(xiàn),指數(shù)積累 復(fù)利 復(fù)貼現(xiàn),單復(fù)利計息之間的相關(guān)關(guān)系,單利的實質(zhì)利率逐期遞減，復(fù)利的實質(zhì)利率保持恒定。 單貼現(xiàn)的實質(zhì)利率逐期遞增，復(fù)貼現(xiàn)的實質(zhì)利率保持恒定。 時，相同單復(fù)利場合，單利計息比復(fù)利計息產(chǎn)

4、生更大的積累值。所以短期業(yè)務(wù)一般單利計息。 時，相同單復(fù)利場合，復(fù)利計息比單利計息產(chǎn)生更大的積累值。所以長期業(yè)務(wù)一般復(fù)利計息。,例1.2,某人存5000元進入銀行，若銀行分別以2%的單利計息、復(fù)利計息、單貼現(xiàn)計息、復(fù)貼現(xiàn)計息，問此人第5年末分別能得到多少積累值？,例1.2答案,利息的度量三利息轉(zhuǎn)換頻率不同,實質(zhì)利率：以一年為一個利息轉(zhuǎn)換期，該利率記為實質(zhì)利率，記為 。 名義利率：在一年里有m個利息轉(zhuǎn)換期，假如每一期的利率為j，記 為 這一年的名義利率， 。 利息力：假如連續(xù)計息，那么在任意時刻t的瞬間利率叫作利息力，記為 。 實質(zhì)貼現(xiàn)率和名義貼現(xiàn)率的定義與實質(zhì)利率、名義利率類似。,實質(zhì)利率與實

5、質(zhì)貼現(xiàn)率,名義利率,名義利率,1,1,名義貼現(xiàn)率,名義貼現(xiàn)率,1,1,例1.3,1、確定500元以季度轉(zhuǎn)換8%年利率投資5年的積累值。 2、如以6%年利，按半年為期預(yù)付及轉(zhuǎn)換，到第6年末支付1000元，求其現(xiàn)時值。 3、確定季度轉(zhuǎn)換的名義利率，使其等于月度轉(zhuǎn)換6%名義貼現(xiàn)率。,例1.3答案,1、 2、 3、,利息效力,定義：瞬間時刻利率強度,等價公式,一般公式 恒定利息效力場合,例1.4,確定1000元按如下利息效力投資10年的積累值 1、 2、,例1.4答案,三、變利息,什么是變利息？ 常見的變利息情況 連續(xù)變化場合：函數(shù)利息力 離散變化場合：,例1.5,1、如果 ，試確定1在n年末的積累值

6、。 2、如果實質(zhì)利率在頭5年為5%，隨之5年為4.5%，最后5年為4%，試確定1000元在15年末的積累值。 3、假定一筆資金頭3年以半年度轉(zhuǎn)換年利率6%計息，隨之2年以季度轉(zhuǎn)換8%的年貼現(xiàn)率計息，若5年后積累值為1000元，問這筆資金初始投資額應(yīng)該為多少？,例1.5答案,第二節(jié),利息問題求解原則,一、利息問題求解四要素,原始投資本金 投資時期長度 利率及計息方式 期初/期末計息：利率/貼現(xiàn)率 積累方式：單利計息、復(fù)利計息 利息轉(zhuǎn)換時期：實質(zhì)利率、名義利率、利息效力 本金在投資期末的積累值,二、利息問題求解原則,本質(zhì)：任何一個有關(guān)利息問題的求解本質(zhì)都是對四要素知三求一的問題 工具：現(xiàn)金流圖 方

7、法：建立現(xiàn)金流分析方程（求值方程） 原則：在任意時間參照點，求值方程等號兩邊現(xiàn)時值相等。,0,現(xiàn)金流 時間坐標(biāo),例1.6：求本金,某人為了能在第7年末得到1萬元款項，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8年末付出X元，如果以6%的年利率復(fù)利計息，問X=？,例1.6答案,以第7年末為時間參照點，有 以第8年末為時間參照點，有 以其他時刻為時間參照點（同學(xué)們自己練習(xí)）,例1.7：求利率,（1）某人現(xiàn)在投資4000元，3年后積累到5700元，問季度計息的名義利率等于多少？ （2）某人現(xiàn)在投資3000元，2年后再投資6000元，這兩筆錢在4年末積累到15000元，問實質(zhì)利率=？,例1.7

8、答案,（1） （2）,例1.8：求時間,假定 分別為12%、6%、2%，問在這三種不同的利率場合復(fù)利計息，本金翻倍分別需要幾年？,例1.8精確答案,例1.9近似答案rule of 72,例1.10：求積累值,某人現(xiàn)在投資1000元，第3年末再投資2000元，第5年末再投資2000元。其中前4年以半年度轉(zhuǎn)換名義利率5%復(fù)利計息，后三年以恒定利息力3%計息，問到第7年末此人可獲得多少積累值？,例1.10答案,第三節(jié),年金,第三節(jié)漢英名詞對照,年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 變額年金 遞增年金 遞減年金,Annuity Payment period Annuity-immediate A

9、nnuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity,一、年金的定義與分類,定義 按一定的時間間隔支付的一系列付款稱為年金。原始含義是限于一年支付一次的付款，現(xiàn)已推廣到任意間隔長度的系列付款。 分類 基本年金 等時間間隔付款 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 每次付款金額恒定 一般年金 不滿足基本年金三個約束條件的年金即為一般年金,二、基本年金,基本年金 等時間間隔付款 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率一致 每次付款金額恒定 分類 付款時刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金,基本年金圖示,

10、0 1 2 3 - n n+1 n+2-,1 1 1 - 1 0 0-,1 1 1 - 1 0 0 0-,1 1 - 1 1 1-,1 1 1 - 1 1 1-,延付永久年金,初付永久年金,延付年金,初付年金,基本年金公式推導(dǎo),例1.11,一項年金在20年內(nèi)每半年末付500元，設(shè)利率為每半年轉(zhuǎn)換9%，求此項年金的現(xiàn)時值。,例1.12,某人以月度轉(zhuǎn)換名義利率5.58%從銀行貸款30萬元，計劃在15年里每月末等額償還。問：（1）他每月等額還款額等于多少？（2）假如他想在第五年末提前還完貸款，問除了該月等額還款額之外他還需一次性付給銀行多少錢？,例1.12答案,（1） （2）,例1.13,假定現(xiàn)在起

11、立即開始每6個月付款200直到滿4年，隨后再每6個月付款100直到從現(xiàn)在起滿10年，若 求這些付款的現(xiàn)時值。,例1.13答案,方法一： 方法二：,例1.14,有一企業(yè)想在一學(xué)校設(shè)立一永久獎學(xué)金，假如每年發(fā)出5萬元獎金，問在年實質(zhì)利率為20%的情況下，該獎學(xué)金基金的本金至少為多少？,例1.15永久年金,A留下一筆100000元的遺產(chǎn)。這筆財產(chǎn)頭10年的利息付給受益人B，第2個10年的利息付給受益人C，此后的利息都付給慈善機構(gòu)D。若此項財產(chǎn)的年實質(zhì)利率為7%，試確定B，C，D在此筆財產(chǎn)中各占多少份額？,例1.15答案,基本年金公式總結(jié),未知時間問題,年金問題四要素 年金、利率、支付時期（次數(shù)）、積

12、累值（現(xiàn)時值） 關(guān)注最后一次付款問題 在最后一次正規(guī)付款之后，下一個付款期做一次較小付款（drop payment） 在最后一次正規(guī)付款的同時做一次附加付款（balloon payment）,例1.16,有一筆1000元的投資用于每年年底付100元，時間盡可能長。如果這筆基金的年實質(zhì)利率為5%，試確定可以作多少次正規(guī)付款以及確定較小付款的金額，其中假定較小付款是： （1）在最后一次正規(guī)付款的日期支付。 （2）在最后一次正規(guī)付款以后一年支付 （3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中間支付。（精算時刻）,例1.16答案,變利率年金問題,類型一：時期利率(第K個時期利率為 ),變利率年金問題,類型

13、二：付款利率（第K次付款的年金始終以利率 計息）,例1.17:,某人每年年初存進銀行1000元,前4年的年利率為6%,后6年由于通貨膨脹率,年利率升到10%,計算第10年年末時存款的積累值.,例1.17答案,例1.18:,某人每年年初存進銀行1000元,前4次存款的年利率為6%,后6次付款的年利率升到10%,計算第10年年末時存款的積累值.,例1.18答案,三、一般年金,一般年金 利率在支付期發(fā)生變化 付款頻率與利息轉(zhuǎn)換頻率不一致 每次付款金額不恒定 分類 支付頻率不同于計息頻率的年金 支付頻率小于計息頻率的年金 支付頻率大于計息頻率的年金 變額年金,支付頻率不同于計息頻率年金,分類 支付頻率

14、小于利息轉(zhuǎn)換頻率 支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率 方法 通過名義利率轉(zhuǎn)換，求出與支付頻率相同的實際利率。 年金的代數(shù)分析,支付頻率小于計息頻率年金,0,k,2k,nk,計息,支付,1,1,1,例1.19:,某人每年年初在銀行存款2000元,假如每季度計息一次的年名義利率為12%,計算5年后該儲戶的存款積累值.,例1.19答案,方法一:利率轉(zhuǎn)換法 方法二:年金轉(zhuǎn)換法,例1.20：永久年金,有一永久年金每隔k年末付款1元，問在年實質(zhì)利率為i的情況下，該永久年金的現(xiàn)時值。,支付頻率大于利息轉(zhuǎn)換頻率,支付頻率大于,0,第m次每次支付,第2m次每次支付,第nm次每次支付,計息,支付,1,2,n,年金分析方法,

15、方法一：利率轉(zhuǎn)換法,年金轉(zhuǎn)換法,例1.21,某購房貸款8萬元,每月初還款一次,分10年還清,每次等額償還,貸款年利率為10.98%,計算每次還款額.,例1.21答案,方法一: 方法二:,例1.22：永久年金,一筆年金為每6個月付1元，一直不斷付下去，且第一筆付款為立即支付，問欲使該年金的現(xiàn)時值為10元，問年度實質(zhì)利率應(yīng)為多少？,例1.22答案,年金關(guān)系,一般年金代數(shù)公式,連續(xù)年金,定義:付款頻率無窮大的年金叫連續(xù)年金. 公式:,恒定利息效力場合,例1.23,確定利息效力使,變額年金,等差年金 遞增年金 遞減年金 等比年金,等差年金,一般形式 現(xiàn)時值 積累值,0,1,2,n,P,P+Q,P+(n

16、-1)Q,特殊等差年金,例1.24,從首次付款1開始,以后每次付款遞增1,只增加到M,然后保持付款額不變的N年期期末付年金,可以表示成 計算,例1.24答案,例1.25,有一項延付年金，其付款額從1開始每年增加1直至n，然后每年減少1直至1，試求其現(xiàn)時值。,例1.25答案,等比年金,0,1,2,n,1,1+k,例1.26:,某期末付永久年金首付款額為5000元,以后每期付款額是前一期的1.05倍,當(dāng)利率為0.08時,計算該永久年金的現(xiàn)時值.,例1.26答案,第四節(jié),收益率,第四節(jié)中英文單詞對照,貼現(xiàn)資金流 收益率 再投資率 時間加權(quán)利率 幣值加權(quán)利率,Discounted cash flow

17、yield rate Reinvestment rate Time-weighted rates of interest Dollar-weighted rates of interest,貼現(xiàn)資金流分析,例1.27：現(xiàn)金流動表 按利率 投資返回的凈現(xiàn)時值,不同利率水平下的凈現(xiàn)時值,收益率的概念,使得投資返回凈現(xiàn)時值等于零時的利率稱為收益率。也稱為“內(nèi)返回率” 用線形插值法求得上例中收益率為22.65% 收益率投資方希望收益率越高越好，借貸方希望收益率越低越好。,收益率的唯一性,例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以換回第1年末返回230元，求這筆業(yè)務(wù)的收益率。 解答：,

18、收益率的唯一性,由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。 Descartes符號定理 收益率的最大重數(shù)小于等于資金流的符號改變次數(shù)。 收益率唯一性的判定定理二 整個投資期間未動用投資余額始終為正。,未動用投資余額,收益率唯一性判別（D氏符號判別）,例1.27,例1.28,再投資率,本金的再投資問題 例1.29：有兩個投資方案可供我們選擇 A方案：實質(zhì)利率為10%，為期5年 B方案：實質(zhì)利率為8%，為期10年 我們應(yīng)該選擇哪項投資？,例1.29 資金積累過程,例1.29答案,如果A五年后的再投資率6.036%,選擇A。 否則選擇B。,利息的再投資問題（一）,例1.30: 某人一次性

19、投資10萬元進基金A。該基金每年年末按7%的年實質(zhì)利率返還利息，假如利息可按5%實質(zhì)利率再投資，問10年后這10萬元的積累金額等于多少？,0,1,2,10,例1.30的積累過程,-,利息再投資帳戶,基金帳戶,例1.31答案,利息的再投資問題（二）,例1.32（例1.31續(xù)） 假如此人在10年期內(nèi)每年年初都投資1萬元進基金A，本金按7%年實質(zhì)利率計息，而利息可按5%實質(zhì)利率再投資，那么第10年末該這10萬本金的積累金額又等于多少？,0,1,2,10,例1.32的積累過程,-,基金帳戶,利息再投資帳戶,基金收益率計算,基本符號 A=初始資金 B=期末資金 I=投資期內(nèi)利息 Ct= t時期的凈投入（

20、可正可負） C= 在b時刻投資1元，經(jīng)過a時期的積累，產(chǎn)生的利息,幣值加權(quán)方法,時間加權(quán)方法,原理,基本公式,例1.32,某投資基金 1月1日，投資100000元 5月1日，該筆資金額增加到112000元,并再投資30000元 11月1日，該筆資金額降低為125000元，并抽回投資42000元。 次年1月1日，該資金總額為100000元。 請分別用幣值加權(quán)的方法和時間加權(quán)的方法計算這一年該投資基金的年收益率。,例1.32答案,幣值加權(quán)和時間加權(quán)的比較,都是計算單位時期投資收益率的方法 幣值加權(quán)方法重點考察的是整個初始本金經(jīng)過一個單位時期綜合投資之后的實際受益率。 時間加權(quán)方法得到的是在這種市場

21、條件下能達到的理論收益率。它可以作為考察投資正確與否的某個指標(biāo)。,第五節(jié),分期支付與償債基金,第五節(jié)中英文單詞對照,分期償還方法 分期償還表 償債基金 償債基金表,Amortization method Amortization schedule Sinking fund Sinking fund schedule,債務(wù)償還方式,分期償還： 借款人在貸款期內(nèi)，按一定的時間間隔，分期償還貸款的本金和利息。 償債基金： 借款人每期向貸款人支付貸款利息，并且按期另存一筆款項，建立一個基金，在貸款期滿時這一基金恰好等于貸款本金，一次償付給貸款者。,分期償還,常見分期償還類型 等額分期償還 不等額分期償

22、還 遞增分期償還 遞減分期償還,分期償還五要素 時期 每次還款額 每次償還利息 每次償還本金 未償還貸款余額,分期償還表（等額貸款為例）,例1.33,某借款人每月末還款一次，每次等額還款3171.52元，共分15年還清貸款。每年計息12次的年名義利率為5.04%。計算（1）第12次還款中本金部分和利息部分各為多少？（2）若此人在第18次還款后一次性償還剩余貸款，問他需要一次性償還多少錢？前18次共償還了多少利息？,例1.33答案,償債基金,常見償債基金類型 等額償債基金 不等額償債基金,償債基金六要素 時期 每期償還利息 每次存入償債基金金額 每期償債基金所得利息 償債基金積累額 未償還貸款余

23、額,償債基金表（貸款利率i，償債基金利率j，貸款1元）,償債基金利息本金分析,對償債基金而言，第次付款的實際支付利息為： 第次付款的實際償還本金為：,例1.34,A曾借款1萬元,實質(zhì)利率為10%.A積累一筆實質(zhì)利率為8%的償債基金一償還這筆貸款.在第10年末償債基金余額為5000元,在第11年末A支付總額為1500元,問 1500中又多少是當(dāng)前支付給貸款的利息? 1500中有多少進入償債基金? 1500中又多少應(yīng)被認為是利息? 1500中有多少應(yīng)被視為本金? 第11年末的償債基金余額為多少?,例1.34答案,例1.35,(1)一位借款人向貸款人借L元貸款,在10年內(nèi)以每年年末付款來償還這一實質(zhì)

24、利率為5%的貸款,其付款方式為:第一年付款200元,第二年付190元,如此遞減至第10年末付110元.求貸款金額L. (2)假如該借款人貸款年限與付款方式與(1)相同,但采用償債基金形式還清貸款.在還款期內(nèi)該借款人向貸款人每年支付實質(zhì)利率為6%的利息,并以實質(zhì)利率為5%的償債基金以償還貸款金額,求貸款金額L.,例1.35答案,第二章,生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造,本章重點,生命表函數(shù) 生存函數(shù) 剩余壽命 死亡效力 生命表的構(gòu)造 有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型 生命表的起源 生命表的構(gòu)造 選擇與終極生命表 有關(guān)分數(shù)年齡的三種假定,本章中英文單詞對照,死亡年齡 生命表 剩余壽命 整數(shù)剩余壽命 死亡效力 極限年齡

25、 選擇與終極生命表,Age-at-death Life table Time-until-death Curtate-future-lifetime Force of mortality Limiting ate Select-and-ultimate tables,第一節(jié),生命表函數(shù),生存函數(shù),定義 意義：新生兒能活到 歲的概率。 與分布函數(shù)的關(guān)系： 與密度函數(shù)的關(guān)系： 新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：,剩余壽命,定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續(xù)存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。 分布函數(shù) ：,剩余壽命,剩余壽命的生存函數(shù) ： 特別：,剩余壽命,：x歲的人至少能活到x

26、+1歲的概率 ：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率 ：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率,整值剩余壽命,定義： 未來存活的完整年數(shù)，簡記 概率函數(shù),剩余壽命的期望與方差,期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值(均值),簡記 剩余壽命的方差,整值剩余壽命的期望與方差,期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值(均值),簡記 整值剩余壽命的方差,死亡效力,定義： 的瞬時死亡率，簡記 死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系,死亡效力,死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系 死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù),第二節(jié),生命表的構(gòu)造,有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型,De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825),有關(guān)壽

27、命分布的參數(shù)模型,Makeham模型(1860) Weibull模型(1939),參數(shù)模型的問題,至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。 使用這些參數(shù)模型推測未來的壽命狀況會產(chǎn)生很大的誤差 壽險中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。 在非壽險領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。,生命表起源,生命表的定義 根據(jù)已往一定時期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表. 生命表的發(fā)展歷史 1662年,Jone Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命

28、表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。 生命表的特點 構(gòu)造原理簡單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）,生命表的構(gòu)造,原理 在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計頻率） 常用符號 新生生命組個體數(shù)： 年齡： 極限年齡：,生命表的構(gòu)造,個新生生命能生存到年齡X的期望個數(shù)： 個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數(shù)： 特別：n=1時，記作,生命表的構(gòu)造,個新生生命在年齡

29、x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)： 個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總數(shù)：,生命表實例（美國全體人口生命表）,例2.1：,已知 計算下面各值： （1） （2）20歲的人在5055歲死亡的概率。 （3）該人群平均壽命。,例2.1答案,選擇-終極生命表,選擇-終極生命表構(gòu)造的原因 需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。 需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失 選擇-終極生命表的使用,選擇-終極表實例,第三節(jié),有關(guān)分數(shù)年齡的假設(shè),有關(guān)分數(shù)年齡的假設(shè),使用背景: 生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數(shù)年齡上的生存狀況,于是我

30、們通常依靠相鄰兩個整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分數(shù)年齡的生存分布假定， 估計分數(shù)年齡的生存狀況 基本原理:插值法 常用方法 均勻分布假定(線性插值) 常數(shù)死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調(diào)和插值),三種假定,均勻分布假定(線性插值) 常數(shù)死亡力假定(幾何插值) Balducci假定(調(diào)和插值),三種假定下的生命表函數(shù),例2.2：,已知 分別在三種分數(shù)年齡假定下，計算下面各值：,例2.2答案,例2.2答案,例2.2答案,第三章,人壽保險躉繳純保費的厘定,本章結(jié)構(gòu),人壽保險躉繳純保費厘定原理 死亡即刻賠付保險躉繳純保費的厘定 死亡年末賠付保險躉繳純保費的厘定 遞歸方程 計算基數(shù),第三章中英

31、文單詞對照一,躉繳純保費 精算現(xiàn)時值 死亡即刻賠付保險 死亡年末給付保險 定額受益保險,Net single premium Actuarial present value Insurances payable at the moment of death Insurances payable at the end of the year of death Level benefit insurance,第三章中英文單詞對照二,定期人壽保險 終身人壽保險 兩全保險 生存保險 延期保險 變額受益保險,Term life insurance Whole life insurance Endowme

32、nt insurance Pure endowment insurance Deferred insurance Varying benefit insurance,第一節(jié),人壽保險 躉繳純保費厘定的原理,人壽保險簡介,什么是人壽保險 狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標(biāo)的的一種保險。 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標(biāo)的的一種保險。它包括以保障期內(nèi)被保險人死亡為標(biāo)的的狹義壽險，也包括以保障期內(nèi)被保險人生存為標(biāo)底的生存保險和兩全保險。,人壽保險的分類,受益金額是否恒定 定額受益保險 變額受益保險 保單簽約日和保障期期始日是否同時進行 非延期保險 延期保險,保障標(biāo)的的不同

33、 人壽保險（狹義） 生存保險 兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險,人壽保險的性質(zhì),保障的長期性 這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。 保險賠付金額和賠付時間的不確定性 人壽保險的賠付金額和賠付時間依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。 被保障人群的大數(shù)性 這就意味著，保險公司可以依靠概率統(tǒng)計的原理計算出平均賠付并可預(yù)測將來的風(fēng)險。,躉繳純保費的厘定,假定條件: 假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。 假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用

34、經(jīng)驗生命表進行擬合。 假定三：保險公司可以預(yù)測將來的投資受益（即預(yù)定利率）。,純保費厘定原理,原則 保費凈均衡原則 解釋 所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現(xiàn)時值正好等于將來的保險賠付金的期望現(xiàn)時值。它的實質(zhì)是在統(tǒng)計意義上的收支平衡。是在大數(shù)場合下，收費期望現(xiàn)時值等于支出期望現(xiàn)時值,基本符號, 投保年齡 的人。 人的極限年齡 保險金給付函數(shù)。 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險給付金在保單生效時的現(xiàn)時值,躉繳純保費的厘定,躉繳純保費的定義 在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現(xiàn)時值 躉繳純保費的厘定 按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于,第二節(jié),死亡即刻賠付 躉繳純保費的厘定,死亡即刻賠付,死亡即刻賠付的含義

35、死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應(yīng)用場合，保險公司通常采用的理賠方式。 由于死亡可能發(fā)生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續(xù)隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的剩余壽命。,主要險種的躉繳純保費的厘定,n年期定期壽險 終身壽險 延期m年的終身壽險 n年期生存保險 n年期兩全保險 延期m年的n年期的兩全保險 遞增終身壽險 遞減n年定期壽險,1、n年定期壽險,定義 保險人只對被保險人在投保后的n年內(nèi)發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。

36、假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費的厘定,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機變量的方差,方差公式 記 （相當(dāng)于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費） 所以方差等價為,例3.1,設(shè) 計算,例3.1答案,2、終身壽險,定義 保險人對被保險人在投保后任何時刻發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假定： 歲的人，保額1元終身壽險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費的厘定,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機變量的方差,方差公式 記 所以方差等價為,例3.2,設(shè)(x)投保終身壽險，保險金額為1元 保險金在死亡即刻賠付 簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數(shù)為 計算,例3.2答案,例3.2答案,3、延期

37、終身壽險,定義 保險人對被保險人在投保m年后發(fā)生的保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡均給付保險金的險種。 假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險 基本函數(shù)關(guān)系,死亡即付定期壽險躉繳純保費的厘定,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機變量的方差,方差公式 記 所以方差等價于,例3.3,假設(shè)（x）投保延期10年的終身壽險，保額1元。 保險金在死亡即刻賠付。 已知 求：,例3.3答案,4、n 年定期生存保險,定義 被保險人投保后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費的厘定,符號： 躉繳純保費厘定 現(xiàn)值隨機變量的方差：,5、n年定期兩全保險

38、,定義 被保險人投保后如果在n年期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。 假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費的厘定,符號： 厘定 記：n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知 則,現(xiàn)值隨機變量方差,因為 所以,例3.4（例3.1續(xù)）,設(shè) 計算,例3.4答案,6、延期m年n年定期兩全保險,定義 被保險人在投保后的前m年內(nèi)的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險 假定： 歲的人，保額

39、1元，延期m年的n年定期兩全保險 基本函數(shù)關(guān)系,躉繳純保費的厘定,符號： 厘定,現(xiàn)值隨機變量的方差,記： m年延期n年定期壽險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期生存險現(xiàn)值隨機變量為 m年延期n年定期兩全險現(xiàn)值隨機變量為 已知 則,7、遞增終身壽險,定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數(shù) 特別： 一年遞增一次 一年遞增m次 一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）,一年遞增一次,現(xiàn)值隨機變量 躉繳保費厘定,一年遞增m次,現(xiàn)值隨機變量 躉繳保費厘定,一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）,現(xiàn)值隨機變量 躉繳保費厘定,8、遞減定期壽險,定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情

40、況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數(shù) 特別： 一年遞增一次 一年遞增m次 一年遞增無窮次（連續(xù)遞增）,一年遞減一次,現(xiàn)值隨機變量 躉繳保費厘定,一年遞減m次,現(xiàn)值隨機變量 躉繳保費厘定,一年遞減無窮次（連續(xù)遞減）,現(xiàn)值隨機變量 躉繳保費厘定,第三節(jié),死亡年末賠付 躉繳純保費的厘定,死亡年末賠付,死亡年末賠付的含義 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內(nèi)發(fā)生保險責(zé)任范圍內(nèi)的死亡 ，保險公司將在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末給予保險賠付。 由于賠付時刻都發(fā)生在死亡事件發(fā)生的當(dāng)年年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨機變量，它距保單生效日的時期長度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以

41、整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數(shù)。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費時通常先假定的理賠方式。,基本符號, 歲投保的人整值剩余壽命 保險金在死亡年末給付函數(shù) 貼現(xiàn)函數(shù)。 保險賠付金在簽單時的現(xiàn)時值。 躉繳純保費。,定期壽險死亡年末賠付場合,基本函數(shù)關(guān)系 記k為被保險人整值剩余壽命，則,躉繳純保費的厘定,符號： 厘定：,現(xiàn)值隨機變量的方差,公式 記 等價方差為,死亡年末給付躉繳純保費公式歸納,例3.5,（x）歲的人投保5年期的定期壽險，保險金額為1萬元，保險金死亡年末給付，按附錄2示例生命表計算 （1）20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。 （2）60歲的人按實質(zhì)利率

42、為2.5%計算的躉繳純保費。 （3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。 （4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。,例3.5答案,死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關(guān)系（剩余壽命在分數(shù)時期均勻分布假定）,以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分數(shù)生存壽命： 則有,死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費之間的關(guān)系(UDD),在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費是死亡年末賠付凈躉繳純保費的 倍。 條件1： 條件2： 只依賴于剩余壽命的整數(shù)部分，即,例3.6,（x）歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄2示例生命表計算 （1）

43、20歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。 （2）60歲的人按實質(zhì)利率為2.5%計算的躉繳純保費。 （3）20歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。 （4）60歲的人按實質(zhì)利率為6%計算的躉繳純保費。,例3.6答案,例3.7,對（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險，根據(jù)附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實質(zhì)利率6%計算躉繳純保費。,例3.7答案,第四節(jié),遞歸公式,躉繳純保費遞推公式,公式一： 理解(x)的單位金額終身壽險在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。

44、,躉繳純保費遞推公式,公式二： 解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經(jīng)過一年的積累，當(dāng)年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費 ，還可以為所有在當(dāng)年去世的被保險人提供額外的 。,躉繳純保費遞推公式,公式三： 解釋： 年齡為x的被保險人在活到x+1歲時的凈躉繳保費與當(dāng)初歲時的凈躉繳保費之差等于保費的一年利息減去提供一年的保險成本。,躉繳純保費遞推公式,公式四： 解釋 (y)的躉繳純保費等于其未來所有年份的保險成本的現(xiàn)時值之和。,第五節(jié),計算基數(shù),常用計算基數(shù),計算基數(shù)引進的目的：簡化計算 常用基數(shù)：,用計算基數(shù)表示常見險種的躉繳純保費,例3.8,考慮第1年死亡即刻賠付10000，第2年

45、死亡即刻賠付9000元并以此類推遞減人壽保險。按附錄2生命表及i=0.06計算（30）的人躉繳純保費。 （1）保障期至第10年底 （2）保障期至第5年底,例3.8答案,第四章,生存年金,本章結(jié)構(gòu),生存年金簡介 與生存相聯(lián)的一次性支付 連續(xù)生存年金 離散生存年金 年h次支付生存年金 等額年金的計算基數(shù)公式,第四章中英文單詞對照,生存年金 初付年金 延付年金 確定性年金 當(dāng)期支付技巧 綜合支付技巧,Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate

46、payment technique,第一節(jié),生存年金簡介,生存年金,生存年金的定義： 以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金的保險類型 分類 初付年金/延付年金 連續(xù)年金/離散年金 定期年金/終身年金 非延期年金/延期年金,生存年金與確定性年金的關(guān)系,確定性年金 支付期數(shù)確定的年金（利息理論中所講的年金） 生存年金與確定性年金的聯(lián)系 都是間隔一段時間支付一次的系列付款 生存年金與確定性年金的區(qū)別 確定性年金的支付期數(shù)確定 生存年金的支付期數(shù)不確定（以被保險人生存為條件）,生存年金的用途,被保險人保費交付常使用生存年金的方式 某些場合保險人保險理賠的保險金采用生存

47、年金的方式，特別在： 養(yǎng)老保險 傷殘保險 撫恤保險 失業(yè)保險,第二節(jié),與生存相關(guān)聯(lián)的一次性支付,定義,現(xiàn)齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。 也就是我們在第三章講到的n年期純生存保險。單位元數(shù)的n年期生存保險的躉繳純保費為 在生存年金研究中習(xí)慣用 表示該保險的精算現(xiàn)值,例4.1,計算25歲的男性購買40年定期生存險的躉繳純保費。已知 假定i6 假定i2.5,相關(guān)公式及意義,第三節(jié),連續(xù)生存保險,簡介,連續(xù)生存年金的定義 在保障時期那，以被保險人存活為條件，連續(xù)支付年金的保險 連續(xù)生存年金的種類 終身連續(xù)生存年金/定期連續(xù)生存年金 連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計方法 綜

48、合支付技巧：考慮年金在死亡或到期而結(jié)束時的總值 當(dāng)期支付技巧：考慮未來連續(xù)支付的現(xiàn)時值之和,終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計一綜合支付技巧,步驟一：計算到死亡發(fā)生時間T為止的所有已支付的年金的現(xiàn)值之和 步驟二：計算這個年金現(xiàn)值關(guān)于時間積分所得的年金期望值，即終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值，,相關(guān)公式,終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值的估計二當(dāng)期支付技巧,步驟一：計算時間T所支付的當(dāng)期年金的現(xiàn)值 步驟二：計算該當(dāng)期年金現(xiàn)值按照可能支付的時間積分，得到期望年金現(xiàn)值,例4.2,在死亡力為常數(shù)0.04，利息力為常數(shù)0.06的假定下，求 （1） （2） 的標(biāo)準(zhǔn)差 （3） 超過 的概率。,例4.2答案,綜合支付技巧 當(dāng)期

49、支付技巧,例4.2答案,例4.2答案,例4.3,在De Moivre假定下， 計算：終身連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值及方差,例4.3答案,例4.3答案,定期連續(xù)生存年金精算現(xiàn)值估計,綜合支付技巧 當(dāng)期支付技巧,相關(guān)公式及理解,例4.4（例4.3續(xù)）,在De Moivre假定下， 計算：30年定期生存年金精算現(xiàn)值及方差,例4. 4答案,延期連續(xù)生存年金,定義: 種類 延付m年終身連續(xù)生存年金 延付m年定期連續(xù)生存年金 常用領(lǐng)域 養(yǎng)老金,延期連續(xù)年金精算現(xiàn)值,例4.5（例4.3,4.4續(xù)）,在De Moivre假定下， 計算：30年定期生存年金精算現(xiàn)值及方差,例4. 5答案,第四節(jié),離散生存年金,簡介,離

50、散生存年金定義： 在保障時期內(nèi)，以被保險人生存為條件，每隔一段時期支付一次年金的保險。 離散生存年金與連續(xù)生存年金的關(guān)系 計算精算現(xiàn)值時理論基礎(chǔ)完全相同 連續(xù)積分離散求和 連續(xù)場合不存在初付延付問題，離散場合初付、延付要分別考慮 離散生存年金的分類 期初年金/期末年金 終身年金/定期年金 延期年金/非延期年金,初付終身生存年金,當(dāng)期支付技巧 綜合支付技巧,相關(guān)公式,例4.6,已知 假定91歲存活給付5，92歲存活給付10，求：,例4.6答案,思考題：本題可以用 做嗎？,初付定期生存年金,當(dāng)期支付技巧 綜合支付技巧,相關(guān)公式,延期初付生存年金,延付生存年金,初付生存年金與延付生存年金的關(guān)系,常見

51、險種的延付生存年金,第五節(jié),年付h次的生存年金,簡介,分類 終身年金與定期年金 期初付年金與期末付年金 延期年金與非延期年金 推導(dǎo)思路 尋找與年付年金之間的關(guān)系,終身生存年金（初付）,基本公式 UDD假定下的公式 近似公式（實際操作公式）,定期生存年金,基本定義 UDD假定下的推導(dǎo)公式 近似公式（實際操作公式）,延期生存年金,延期終身生存年金（UDD假定） 定期終身生存年金 （UDD假定）,第六節(jié),等額年金計算基數(shù)公式,等額年金計算基數(shù)公式,第五章,凈均衡保費與毛保費,第一節(jié),保費簡介,保費的構(gòu)成,保費的分類,按保費繳納的方式分： 一次性繳納：躉繳（純/毛）保費 以年金的方式繳納：期繳（純/毛

52、）保費 按保險的種類分： 只覆蓋死亡的保險：純壽險保費 只覆蓋生存的保險：生存險保費 既覆蓋死亡又覆蓋生存的保險：兩全險保費,常見險種的躉繳純保費,純壽險躉繳純保費（死亡受益死亡即刻支付） 生存險躉繳純保費（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付） 兩全保險躉繳純保費（死亡受益死亡即刻支付，生存受益期末支付）,第二節(jié),凈均衡保費,凈均衡保費與躉繳純保費的關(guān)系,純保費厘定原則平衡原則： 保險人的潛在虧損均值為零。 L=給付金現(xiàn)值-純保費現(xiàn)值 E（L）=0 E（給付金現(xiàn)值）=E（純保費現(xiàn)值） 凈均衡保費與躉繳純保費的關(guān)系 E（躉繳純保費現(xiàn)值）=E（凈均衡保費現(xiàn)值）,凈均衡保費的種類,完全連續(xù)

53、凈均衡保費 死亡即刻給付 連續(xù)繳費 完全離散凈均衡保費 死亡年末給付 離散繳費 半連續(xù)凈均衡保費 死亡即刻給付 離散繳費,完全連續(xù)年繳凈均衡保費的厘定（以終身人壽保險為例）,條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起按年連續(xù)交付保費。（給付連續(xù)，繳費也連續(xù)） 厘定過程：,常見險種的完全連續(xù)凈均衡保費總結(jié),例5.1,已知利息力為0.06，死亡力為0.04，求,例5.1答案,完全離散純凈均衡保費厘定（終身壽險為例）,條件：（x）死亡年末給付1單位終身人壽保險，被保險人從保單生效起按年期初繳費。 厘定過程：,常見險種的完全離散凈均衡保費總結(jié),例5.2,設(shè)一個0歲生命的整值剩余

54、壽命服從概率函數(shù)為 在其死亡年末賠付1單位的保單，每年年初繳付保費P。當(dāng)保費按平衡原理決定時，計算保險人虧損現(xiàn)值的期望值與方差（i=6%）。,例5.2答案,半連續(xù)凈均衡年保費厘定（終身壽險為例）,條件（x）死亡即刻給付1單位賠償金，而被保險人從保單生效起按年期初繳費。 厘定過程：,常見險種的半連續(xù)凈均衡保費總結(jié),例5.3,根據(jù)附錄示例生命表及利率6%計算,例5.3答案,每年繳納數(shù)次的純保費厘定,條件：在每一保單年度內(nèi)，保費分m次繳納。 厘定過程：（終身壽險為例）,例5.4,對于（50）的人死亡年末給付1萬元的20年期兩全保險。計算按半年分期繳費的凈均衡年保費，年利率6%。 決定相應(yīng)的死亡即刻給

55、付的凈均衡年保費。,例5.4答案,例5.4答案,第三節(jié),毛保費,保險費用簡介,保險費用的定義 保險公司支出的除了保險責(zé)任范圍內(nèi)的保險金給付外，其它的維持保險公司正常運作的所有費用支出統(tǒng)稱為經(jīng)營費用。這些費用必須由保費和投資收益來彌補。 保險費用的范圍： 稅金、許可證、保險產(chǎn)品生產(chǎn)費用、保單銷售服務(wù)費用、合同成立后的維持費、投資費用等,保險機構(gòu)費用開支的一種分類方案,毛保費,毛保費的定義 保險公司實際收取的保費為用于保險金給付的純保費和用語各種經(jīng)營費用開支的附加費用之和，即毛保費，簡記為G。 毛保費的厘定原則 基本原則：精算等價原則 毛保費精算現(xiàn)值=純保費精算現(xiàn)值+附加費用精算現(xiàn)值 =各種給付的

56、精算現(xiàn)值+各種費用支出的 精算現(xiàn)值,注意事項,在確定附加費用時，一般只考慮保險費用，而以投資費用沖銷投資收益，體現(xiàn)在保費計算中則適當(dāng)降低預(yù)定收益率，即預(yù)定利率。 附加費用中要考慮通貨膨脹或通貨緊縮的趨勢。,例5.5,（30）購買了保險金額為2萬元的半連續(xù)型終身壽險保單，按下表所列各項費用，根據(jù)精算等價原理計算年繳純保費和年繳毛保費。（i=6%）,未來保險費用的分配,例5.5答案,毛保費的精算現(xiàn)值=理賠費用精算現(xiàn)值+其它各種費用精算現(xiàn)值 記G為所求年繳毛保費,例5.6,對（25）購買的保險金額為10萬元的40年兩全保險保單，該保單的第一年費用為100元加上毛保費的25%，續(xù)年的費用為25元加上毛

57、保費的10%。發(fā)生死亡給付時的理賠費用為100元，生存給付時不發(fā)生理賠費用。求凈均衡年繳保費和毛保費。已知,例5.6答案,保單費用,定義：有一部分附加費用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險金額或保險費無關(guān)，這部分費用稱為保單費用，如準(zhǔn)備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知的費用等。 保險實務(wù)一般規(guī)定： 壽險費率一般是指每千元保額的保費。,毛保費分析,毛保費可分為三部分： 第一部分：跟保險金額有關(guān)的費用，如承保費用等 第二部分：跟保費數(shù)額有關(guān)的費用。如代理人傭金、保險費稅金等 第三部分：只與保單數(shù)目有關(guān)的費用（保單費用）。如準(zhǔn)備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知單等。,毛保費構(gòu)成公式,解釋,G(b)：保險金

58、額為b元的毛保費 a：保險成本中與保險金額相關(guān)的部分，其中純保費是它的主要部分 c：每份保單分攤的費用，即單位保單費用。 f：與毛保費數(shù)額相關(guān)的費用在毛保費中所占比例。,費率函數(shù),費率函數(shù)的定義 ：,近似費率公式,如果 ，近似總保費等于真實總保費。 如果 ，近似總保費高于真實總保費。 如果 ，近似總保費低于真實總保費。,帶狀費率公式,根據(jù)保險面額不同，分成若干“bands”(區(qū)間帶) 如果 ，近似總保費等于真實總保費。 如果 ，近似總保費高于真實總保費。 如果 ，近似總保費低于真實總保費。,第六章,責(zé)任準(zhǔn)備金,本章結(jié)構(gòu),凈責(zé)任準(zhǔn)備金（受益責(zé)任準(zhǔn)備金） 凈責(zé)任準(zhǔn)備金的定義 凈責(zé)任準(zhǔn)備金確定原理 用前瞻法確定常見險種的凈責(zé)任準(zhǔn)備金 凈責(zé)任準(zhǔn)備金的其他確定公式 完全離散場合責(zé)任準(zhǔn)備金的遞推公式 半連續(xù)責(zé)任準(zhǔn)備金的確定 一年繳費若干次責(zé)任準(zhǔn)備金的確定 分數(shù)期責(zé)任準(zhǔn)備金的確定 修正責(zé)任準(zhǔn)備金,本章中英文單詞對照,凈責(zé)任準(zhǔn)備金 （受益責(zé)任準(zhǔn)備金） 前瞻虧損 保費