1、分形幾何實(shí)驗(yàn),長(zhǎng)期以來(lái)，對(duì)某一個(gè)數(shù)學(xué)集合，人們總是習(xí)慣于在Euclid空間(n,Euclidean)對(duì)其研究和對(duì)其度量，其中字母n表示該空間的維數(shù)，通常它是一個(gè)整數(shù). 對(duì)有限個(gè)點(diǎn)，取n=0，對(duì)一條線段或一塊有限平面圖形或一塊有限的空間幾何體，則分別取n為1,2和3，同時(shí)也可分別得到它們的定常度量. 習(xí)慣上我們分別稱它們?yōu)辄c(diǎn)的個(gè)數(shù)、線段的長(zhǎng)度、平面圖形的面積和立體的體積. 但在一個(gè)世紀(jì)以前，相繼出現(xiàn)了一些被稱之為“數(shù)學(xué)怪物” (Mathematical monsters)的東西，人們無(wú)法用傳統(tǒng)的Euclid幾何語(yǔ)言去描述它們的局部和整體性質(zhì).,典型的數(shù)學(xué)怪物有如下幾種:,（）處處連續(xù)而處處不可微

2、的函數(shù)曲線,自從有了函數(shù)曲線的連續(xù)與可微性質(zhì)及其關(guān)系以后，是否存在一個(gè)處處連續(xù)而點(diǎn)點(diǎn)不可微的函數(shù)曲線成了研究的熱門(mén).首先解決這個(gè)問(wèn)題的是大數(shù)學(xué)家Weierstrass，他于1872年設(shè)計(jì)了如下一個(gè)函數(shù),其中0a1b，且ab1。,Weierstrass證明了對(duì)某些a和b的值，該函數(shù)無(wú)處可微.1916年，Hardy證明了對(duì)滿足上列條件的所有a和b的值，W(x)都是無(wú)處可微的.,課后作業(yè):參照教材第122頁(yè)的練習(xí)4, 選擇合適的a,b,請(qǐng)用mathematica畫(huà)出此曲線?,(2) Koch曲線,在沒(méi)有計(jì)算機(jī)的時(shí)代，W(x)的缺點(diǎn)是極難繪畫(huà)，故不夠直觀.到1904年，瑞典數(shù)學(xué)家von Koch設(shè)計(jì)了

3、一條被稱之為Koch曲線的圖形，其設(shè)計(jì)步驟如下：,以下是koch曲線的從0到4的五個(gè)圖形：,下面是實(shí)現(xiàn)第121頁(yè)練習(xí)1的mathematica程序：,右圖是在正三角形的每條邊上同時(shí)向內(nèi)作koch曲線的結(jié)果，若在正方形各條邊上同時(shí)向內(nèi)作koch曲線，結(jié)果如何？,參見(jiàn)程序 EX12-1.NB,(3) Sierpinski三角形,對(duì)一個(gè)邊長(zhǎng)是的三角形0,以各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，挖去一個(gè)正三角形，余下的部分設(shè)為1，對(duì)1中的個(gè)三角形同樣進(jìn)行如上過(guò)程直到無(wú)窮大，如圖所示。,下面是實(shí)現(xiàn)第121頁(yè)練習(xí)2的mathematica程序：,參見(jiàn)程序 Ex12-3.NB,在mathematica下，只要輸入f(n)(n=

4、1,2,6)即可等到右邊的圖形。,(4) Minkowski香腸,參見(jiàn)教材第119頁(yè),redominkowskiptlist_List := Blocktmp = , tmp1, i, pnum = Lengthptlist, Fori = 1, i 1/GoldenRatio;,E,E1,E2,E3,Minkowski.NB,(5) 花草和樹(shù)木的生成,參見(jiàn)教材第120頁(yè),一棵樹(shù)木,一棵小草,你能根據(jù)磁盤(pán)上的mathematica程序EX12-2.NB,生成一個(gè)更為復(fù)雜的花草或者樹(shù)木嗎？,(6) 龍曲線(見(jiàn)教材第119頁(yè)）,(7) Hilbert曲線(見(jiàn)教材第120頁(yè)）,Mandelbrot在

5、對(duì)這些數(shù)學(xué)怪物及許多物理現(xiàn)象進(jìn)行研究后，終于創(chuàng)立了影響世紀(jì)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要學(xué)科分形幾何(fractal geometry).Fractal這個(gè)詞是Mandelbrot創(chuàng)造的，來(lái)源于拉丁文Fractus，其英文意思是broken.1975年，Mandelbrot在巴黎出版了法文著作Les obiects fractals:forme,basard et dimension，1977年在美國(guó)出版了其英文版Fractals:Form，Chance，and Dimension，他們都可譯為分形，機(jī)遇和維數(shù).同年，它又出版了The Fractal Geometry of Nature第二版的問(wèn)世，在美國(guó)乃

6、至歐洲，迅速形成了“分形熱”.,那么究竟什么是分形呢？應(yīng)該說(shuō)，到目前還未有嚴(yán)格的意義的定義.我們不妨引用K.Falconner對(duì)分形F的描述：,（）F具有精細(xì)的結(jié)構(gòu)，即是說(shuō)在任意小的尺度之下，它總有復(fù)雜的細(xì)節(jié)； （）F是如此地不規(guī)則，以至它的整體和局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語(yǔ)言來(lái)描述； （）F通常具有某種自相似性，這種自相似性可以是近似的，也可能是統(tǒng)計(jì)意義上的； （）F在某種意義下的分形維數(shù)通常都大與它的拓?fù)渚S數(shù)； （）在大多數(shù)令人感興趣的情形下，F(xiàn)以非常簡(jiǎn)單的方法定義，或許以遞歸過(guò)程產(chǎn)生.,分形幾何與Euclid幾何作一簡(jiǎn)單比較：,Euclid 幾何 經(jīng)典的(2000多年歷史) 基于特征長(zhǎng)度與比

7、例 適合于人工制品 用公式描述,分形幾何 現(xiàn)代怪物(20多年歷史) 無(wú)特征長(zhǎng)度與比例 適用于大自然現(xiàn)象 用(遞歸或迭代)算法描述,分形幾何的誕生才不過(guò)20多年，但它對(duì)多種學(xué)科的影響是極其巨大的.卷入分形狂潮的除數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家外，還有化學(xué)家、生物學(xué)家、地貌學(xué)與地震學(xué)家、材料科學(xué)家等由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科學(xué)家對(duì)其情有獨(dú)鐘，分形圖像壓縮被認(rèn)為是最具前景的圖像壓縮技術(shù)之一，分形圖形被認(rèn)為是描述大自然景色最誘人的方法.美國(guó)物理學(xué)家Wheeler說(shuō)：“可以相信，明天誰(shuí)不熟悉分形，誰(shuí)就不能被認(rèn)為是科學(xué)上的文化人”.在某些分形網(wǎng)站，赫然寫(xiě)著：“分形學(xué)，21世紀(jì)的數(shù)學(xué)”，這并不是什么無(wú)稽之

8、談.,本分形實(shí)驗(yàn)的目地，就是通過(guò)mathematica研究分形圖像的繪制方法，畫(huà)出各種各樣的分形圖形，特別是Mandelbrot集的圖形。,函數(shù)的復(fù)迭代,在數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明，M集（Mandelbrot集）的邊界正好就是J集（Julia集）。,如何在計(jì)算機(jī)上繪制出J集與M集的圖像？,J集（Julia集）的繪制流程圖：,J集(Julia集的繪制結(jié)果）：,在mathematica中繪制J集與M集的簡(jiǎn)單方法：,由于復(fù)數(shù)運(yùn)算是mathematica的基本運(yùn)算，所以在mathematica中，繪制J集與M集就更加簡(jiǎn)單，下面以M集的繪制方法為例來(lái)說(shuō)明。,定義函數(shù)M(x,y)，其返回值是迭代的次數(shù)。,以M(x,

9、y)為繪圖函數(shù)，用DensityPlot畫(huà)出函數(shù)在給定區(qū)域的密度圖。注意，選擇不同的顏色函數(shù)會(huì)得到不同的結(jié)果。,選擇的繪圖區(qū)域不同，你所畫(huà)出的圖像可能會(huì)不相同。 這是畫(huà)出上面的那幅圖像x的取值在 (-0.63,-0.4)，y取值在（0.5,0.71）內(nèi)的圖像。,下面畫(huà)出 此區(qū)域圖像,下面畫(huà)出 此區(qū)域圖像,繼續(xù)放大的話，你估計(jì)會(huì)有什么結(jié)果？,實(shí)際上，迭代不一定返回其迭代次數(shù)，也可以返回其它值，例如復(fù)數(shù)z的模，迭代函數(shù)也不一定必須是f(z)=z2,也可以是其它迭代函數(shù)，本例中的迭代函數(shù)就是一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)。,除了改變 （1）迭代函數(shù)； （2）迭代的返回值 外，修改繪圖的顏色函數(shù)選項(xiàng)，也能夠得到非常漂亮的