1、導(dǎo)數(shù)公式：基本積分表：( C )0( X a )aXa1(sinx )cosx(tanx )sec 2x(cotx )csc 2x(secx )sec xtan x(cscx )cscxcot x( a x )a xlna(loga x )1x lnakdxkxC1ln xCdxxa x dxa xC ( a 0, a 1)ln acosxdxsin xCtan xdxln cosxCcot xdxln sin xCsecxdxln secxtan xCcscxdxln cscxcot xCdxx 21 arctan x Ca 2aadx1xax 2a 2lnxC2aadx1axa 2x 2l

2、naC2axdxarcsinxa2x 2Ca.高等數(shù)學(xué)公式篇(cosx )sinx( e x)e x(lnx )1x(arcsinx )11x 2(arccosx )11x 2(arctanx )1x21( arccotx )11x 2x a dx1x a1C,(a1)a1ex dxexCsin xdxcosxC1dxarctanxC1 x 2dxxsec2 xdxtan xCcos2dxxcsc2 xdxcot xCsin 2secxtan xdxsecxCcscxcot xdxcscxCax dxaxCln ashxdxchxCchxdxshxCdxa 2ln(xx 2a2 ) Cx 2;

3、.a cos xbsin x dxAx B ln c cos xd sin xCc cos xd sin x其中， a cos xb sin xA (c cos xd sin x ) B(c cos x d sin x)AcBdaAd BcbA , B三角函數(shù)的有理式積分：2u1u2x2dusin x1 u 2 ， cos x1u2，u tan2， dx1 u 2一些初等函數(shù)：雙曲正弦: shxexe x2雙曲余弦: chxexe x2雙曲正切: thxshxexechxexearshxln( xx2）1archxln( xx21)arthx1 ln 1x21xxx兩個(gè)重要極限：lim sin

4、 x1x 0xlim (1 1 ) xe 2.718281828459045.x x三角函數(shù)公式：誘導(dǎo)公式：函數(shù)sincostancot角 A-sin cos -tan -cot90-cos sin cottan90+cos -sin -cot-tan180-sin -cos -tan-cot180+-sin -cos tancot270-cos -sin cottan270+-cos sin -cot-tan360-sin cos -tan-cot360+sin cos tancot;.和差角公式：和差化積公式：sin()sincoscossinsinsin2sincoscos()cosco

5、ssinsin22tan()tantansinsin2 cossin1 tan tan22coscos2coscoscotcot1cot()22cotcotcoscos2 sinsin22倍角公式：sin 22sincos4 sin 3cos22112sin22sin2sin 33sin2coscos4 cos3cot 2cot21cos33cos32 cottan33 tantantan 22 tan213 tan21tan半角公式：1coscos1cossin2222tan1cos1cossincot1cos1cossin1cossin1cos1cossin1 cos22正弦定理：abc2

6、R余弦定理： c2a2b22ab cosCsin Asin Bsin C反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsin xarccos xarctan xarccot x22高階導(dǎo)數(shù)公式萊布尼茲（Leibniz）公式：n(uv)( n)Cnk u( n k) v( k )k0u ( n )vnu( n 1) vn(n1) u ( n2) vn(n 1)(nk1) u (n k ) v( k )uv( n)2!k!;.中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理： f (b)f (a)f( )(b a)柯西中值定理： f (b)f (a)f ()F (b)F (a)F ()當(dāng) F( x) x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中

7、值定理。曲率：弧微分公式： ds1y 2 dx,其中 ytg平均曲率：Ks.: 從 M 點(diǎn)到 M 點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；M 點(diǎn)的曲率： Klimdy.sdsy 2 )3s 0(1直線： K0;1半徑為 a的圓： K.a定積分的近似計(jì)算：bba矩形法： f ( x)yn 1 )( y0 y1anbba 1 ( y0梯形法： f ( x)yn )y1yn1 an2bba ( y0拋物線法： f ( x)yn )2( y2y4yn 2 )4( y1 y3a3n定積分應(yīng)用相關(guān)公式：功： W Fs水壓力： FpA引力： Fk m1m2,k為引力系數(shù)r 21b函數(shù)的平均值： yf (x)dxba ab

8、均方根：1f 2 (t )dtba a空間解析幾何和向量代數(shù)：s： MM 弧長(zhǎng)。yn 1 );.空間 2點(diǎn)的距離： dM 1M 2(x2 x1) 2( y2y1 )2( z2z1 )2向量在軸上的投影： Pr j u ABAB cos,是 AB與 u軸的夾角。Pr j u (a1a2 )Pr ja1 Pr ja2a b ab cosaxbxay byazbz ,是一個(gè)數(shù)量 ,兩向量之間的夾角： cosaxbxay byazbzax 2ay 2az2bx2by 2bz 2ijkc a baxayaz , cab sin .例：線速度： vwr .bxbybzaxayaz向量的混合積： ab c(

9、ab )cbxbybzabc cos , 為銳角時(shí)，cxc ycz代表平行六面體的體積。平面的方程：1、點(diǎn)法式： A ( xx 0 )B( yy 0 )C(zz0 )0，其中 n A , B, C, M 0 ( x 0 , y 0 , z 0 )2、一般方程： AxByCzD03、截距世方程： xyz1abc平面外任意一點(diǎn)到該平Ax 0By 0Cz0D面的距離： dA 2B 2C 2空間直線的方程： xx 0yy 0z z 0xx 0mtt,其中 s m, n, p; 參數(shù)方程： yy 0ntmnpzz 0pt二次曲面：1、橢球面： x 2y 2z 21a 2b 2c 2、拋物面： x 2y

10、2（同號(hào)）22qz,p, q2p3、雙曲面：?jiǎn)稳~雙曲面： x 2y 2za2b 2c雙葉雙曲面： x 2y 2za 2b 2c22221（1馬鞍面）;.多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dzz dxz dyduu dxu dyu dzxyxyz全微分的近似計(jì)算：z dzf x ( x, y)x f y (x, y)y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法 ：zf u(t ), v(t)dzzdtuzf u(x, y), v( x, y)zx當(dāng)u，時(shí)，u( x, y)v v( x, y)duu dxu dydvxy隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F ( x, y)，dy0dx隱函數(shù)F ( x, y, z)， z0xuzvtv

11、tzuzvuxvxv dxv dyxyFx ，d 2 yFxFxdyFydx 2()()x Fyy FydxFzFyx，F(xiàn)zyFzF (x, y,u, v)0( F ,G)FFFuFvuv隱函數(shù)方程組：0JGGGuGvG(x, y,u, v)(u,v)uvu1( F ,G)v1(F , G)xJ( x, v)xJ(u, x)u1( F ,G)v1(F , G)yJ( y,v)yJ(u, y)微分法在幾何上的應(yīng)用：;.x(t ), z0 )處的切線方程： x x0y y0zz0空間曲線 y(t )在點(diǎn) M (x0, y0z(t)(t 0 )(t0 )(t0 )在點(diǎn) M 處的法平面方程：(t0 )

12、( x x0 )(t0 )( y y0 )(t 0 )( zz0 )0F ( x, y, z) 0FyFzFzFxFx若空間曲線方程為：,則切向量 T G y,G ( x, y, z) 0G z G zG x Gx曲面 F ( x, y, z) 0上一點(diǎn) M ( x0 , y0 , z0 )，則：1、過(guò)此點(diǎn)的法向量： n Fx (x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程： Fx ( x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0 , y0 , z0 )( yy0 )3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程：x

13、x0y y0zz0Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 )Fz (x0 , y0 , z0 )Fy G yFz ( x0 , y0 , z0 )( zz0 )0方向?qū)?shù)與梯度：函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)沿任一方向的方向?qū)?shù)為： ffcosfsinp( x, y)llxy其中 為 軸到方向的轉(zhuǎn)角。xl函數(shù)zf ( x, y)在一點(diǎn)的梯度：gradf ( x, y)ffp( x, y)ijxy它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是 ：f，其中e cosisin j，為方向上的grad f (x, y) ell單位向量。f 是 gradf (x, y)在l上的投影。l多元函數(shù)

14、的極值及其求法：設(shè) f x ( x0 , y0 )f y (x0 , y0 )0，令： f xx (x0 , y0 ) A, f xy (x0 , y0 ) B, f yy (x0 , y0 ) CACB2A 0,( x0 , y0 )為極大值0時(shí)，B 2A 0,( x0 , y0 )為極小值則： AC0時(shí)，無(wú)極 值A(chǔ)CB 20時(shí) ,不確定重積分及其應(yīng)用：;.f ( x, y)dxdyf (r cos,r sin)rdrdDD22曲面 z f ( x, y)的面積 A1zzdxdyDxyM xx ( x, y)dM yy ( x, y)d平面薄片的重心：D,yDxM( x, y) dM( x,

15、 y)dDD平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對(duì)于 x軸 I xy2( x, y)d,對(duì)于 y軸 I yx 2( x, y)dDD平面薄片（位于 xoy平面）對(duì) z軸上質(zhì)點(diǎn) M (0,0, a), (a0)的引力： F Fx , Fy , Fz，其中：( x, y) xdFyf( x, y) yd3，F(xiàn)zfa( x, y) xdFx f3，3D ( x2y2a 2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2D ( x2y 2a2 ) 2柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：xr cos柱面坐標(biāo)： yr sin ,f ( x, y, z)dxdydzF (r , z) rdrddz,zz其中： F (r ,球面坐標(biāo)：, z) f (

16、r cos , r sin , z)x r sin cosyr sinsin，dvrdr sinddrr 2 sindrddzr cos2r (, )f (x, y, z)dxdydzF ( r , )r 2 sindrddddF (r , )r 2 sindr0001xdv,y1z1z dv，其中 Mxdv重心： xy dv,MMM轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： I x( y 2z2 )dv，I y( x2z2 )dv，I z( x2y2 ) dv曲線積分：第一類曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）：設(shè) f (x, y)在 L上連續(xù)， L的參數(shù)方程為： x(t) ,(t), 則：y(t)f (x, y)dsf (t )

17、,(t )2 (t )2 (t)dt()特殊情況：xtLy(t );.第二類曲線積分（對(duì)坐標(biāo)的曲線積分）：設(shè)L 的參數(shù)方程為 x(t)，則：y(t )P( x, y)dxQ( x, y)dy P(t ),(t )(t )Q(t ),(t)(t ) dtL兩類曲線積分之間的關(guān) 系：PdxQdy(P cosQ cos，其中 和 分別為) dsLLL上積分起止點(diǎn)處切向量 的方向角。格林公式：QP格林公式：QPPdx Qdy(x)dxdyPdx Qdy()dxdyDyLDxyL當(dāng)Py,Qx，即： QP時(shí)，得到D的面積：A1xdy ydxxy2dxdyD2 L平面上曲線積分與路徑 無(wú)關(guān)的條件：、是一個(gè)單

18、連通區(qū)域；1 G2、 P( x, y)， Q( x, y)在 G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ，且Q P 。注意奇點(diǎn)，如 (0,0)，應(yīng)xy減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分， 注意方向相反！二元函數(shù)的全微分求積 ：在 Q P 時(shí)， Pdx Qdy才是二元函數(shù) u(x, y)的全微分，其中：x y( x, y)u(x, y)P( x, y) dx，通常設(shè)x0。Q( x, y)dyy0 0( x0 , y0 )曲面積分：對(duì)面積的曲面積分：f ( x, y, z) dsf x, y, z(x, y) 1 zx2 ( x, y) zy2 (x, y) dxdyD xy對(duì)坐標(biāo)的曲面積分：，其中：P(x, y, z)dydz

19、Q( x, y, z)dzdx R( x, y, z) dxdyR( x, y, z) dxdy，取曲面的上側(cè)時(shí)取正 號(hào)；R x, y, z(x, y)dxdyD xyP( x, y, z) dydzP x( y, z), y, zdydz，取曲面的前側(cè)時(shí)取正 號(hào)；D yzQ( x, y, z)dzdxQ x, y( z, x), zdzdx，取曲面的右側(cè)時(shí)取正 號(hào)。D zx兩類曲面積分之間的關(guān) 系： PdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosRcos )ds高斯公式：;.(PQR )dvPdydzQdzdxRdxdy(P cosQ cosR cos )dsxyz高斯公式的物理意義

20、通量與散度：散度：divPQR 即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div0,則為消失.xyz,通量：A ndsAn ds(P cosQ cosR cos，)ds因此，高斯公式又可寫成： div AdvAnds斯托克斯公式曲線積分與曲面積分的關(guān)系：( RQ ) dydz (PR) dzdx ( QP ) dxdyPdxQdyRdzyzzxxydydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無(wú) 關(guān)的條件： RQ ， PR， QPyzzxxyijk旋度： rotAxyzPQR向量場(chǎng) 沿有向閉曲線的環(huán)流量：PdxQdyRdz A t dsA常數(shù)項(xiàng)級(jí)

21、數(shù)：等比數(shù)列：qq2n11 qn1q1q等差數(shù)列：23(n1)n1n2調(diào)和級(jí)數(shù)： 111 是發(fā)散的123n級(jí)數(shù)審斂法：;.、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判 別法）：1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂1設(shè)：limnun，則時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散1n時(shí)，不確定1、比值審斂法：2時(shí)，級(jí)數(shù)收斂U n 1 ，則1設(shè)：lim時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散U n1n時(shí)，不確定1、定義法：3sn u1u2un ; lim sn 存在，則收斂；否則發(fā) 散。n交錯(cuò)級(jí)數(shù)u1u2u3u4或的審斂法 萊布尼茲定理：(u1 u2 u3,un 0)如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足un un1u1 ,其余項(xiàng) rn的絕對(duì)值 rn un 1。lim un，那么級(jí)數(shù)收斂且其和 s0n絕對(duì)

22、收斂與條件收斂：(1)u1u2un，其中 un 為任意實(shí)數(shù)；(2) u1u2u3un如果 ( 2)收斂，則 (1)肯定收斂，且稱為絕對(duì) 收斂級(jí)數(shù)；如果 ( 2)發(fā)散，而 (1)收斂，則稱 (1)為條件收斂級(jí)數(shù)。調(diào)和級(jí)數(shù)：1 發(fā)散，而( 1)n 收斂；nn級(jí)數(shù)：1 收斂；n2p級(jí)數(shù)：1 時(shí)發(fā)散n pp1時(shí)收斂?jī)缂?jí)數(shù)：;.x1時(shí)，收斂于11 x x 2x3x n1 xx1時(shí)，發(fā)散對(duì)于級(jí)數(shù) (3) a0a1x a2 x 2an x n，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全xR時(shí)收斂數(shù)軸上都收斂，則必存在 R，使x R時(shí)發(fā)散 ，其中 R稱為收斂半徑。x R時(shí)不定10時(shí)， R求收斂半徑的方法：設(shè)liman

23、 1，其中 an， an 1是 (3)的系數(shù)，則0時(shí)， Rnan時(shí)， R 0函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)：f (x)f ( x0 )( xx0 )f ( x0 ) ( xx0 )2f ( n) ( x0 ) ( x x0 )nf ( n1) ( ) ( x2!n!余項(xiàng)： Rnx0 )n 1 , f ( x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是： lim Rn 0(n1)!nx0 0時(shí)即為麥克勞林公式：f (x) f (0)f (0)xf (0) x2f (n ) (0) xn2!n!一些函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)：(1 x) m1mxm( m1) x2m(m1)(mn 1) xn( 1 x 1)2!n

24、!sin x xx3x5( 1)n 1x2 n 1(x)3!5!(2n 1)!歐拉公式：cosxeixeix2或e cosx i sin xeixesin x2ixix三角級(jí)數(shù)：f (t ) A0An sin( nta0( an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， anAn sinn， bnAn cos n， tx。正交性：sin nx,cosnx任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在 , 1,sin x, cos x, sin 2x,cos2x上的積分 0。傅立葉級(jí)數(shù)：;.f (x)a0(an cosnx bn sin nx)，周期22n 1an1f (x) cosnxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x)sinnxdx(n1,2,3)11211121（相加）1522232423286111211121（相減）2242622232422412正弦級(jí)數(shù)： an2f ( x) sin nxdxn1,2,3f ( x)bn sin nx是奇函數(shù)0，