1、2.2.2向量減法運(yùn)算及其幾何意義,1.相反向量 (1)定義：與a長度_，方向_的向量，記作_，并且 規(guī)定，零向量的相反向量是_. (2)結(jié)論： -(-a)=_，a+(-a)=(-a)+a=_. 若a與b互為相反向量，則a=_，b=_，且a+b=_.,相等,相反,-a,零向量,a,0,-b,-a,0,2.向量的減法 (1)定義：a-b=_.減去一個(gè)向量就等于加上這個(gè)向量的 _. (2)幾何意義：a-b表示為從向量b的終點(diǎn)指向_的 向量.,a+(-b),相反向量,向量a的終點(diǎn),1.判一判(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”) (1) () (2)a-b的相反向量是b-a.() (3)|a-b|a+b|.

2、(),【解析】(1)錯(cuò)誤.根據(jù)向量減法的幾何意義可知 (2)正確.因?yàn)?a-b)+(b-a)=0. (3)錯(cuò)誤.|a-b|與|a+b|的大小不確定. 答案：(1)(2)(3),2.做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)在平行四邊形ABCD中， =. (2)向量a，b共線反向時(shí)，向量a-b與向量a的方向 . (3)化簡： =.,【解析】2.(1)由于向量 和向量 互為相反向量， 故 =0. 答案：0 (2)因?yàn)橄蛄縜，b共線反向， 則向量a與(-b)同向， 故a-b與向量a的方向相同. 答案：相同 (3) =0. 答案：0,【要點(diǎn)探究】 知識(shí)點(diǎn) 相反向量的含義及向量減法的定義 1.相反向量的

3、意義 (1)在相反向量的基礎(chǔ)上，可以通過向量加法定義向量減法. (2)為向量的“移項(xiàng)”提供依據(jù).利用(-a)+a=0在向量等式的兩端加上某個(gè)向量的相反向量，實(shí)現(xiàn)向量的“移項(xiàng)”.例如由abcd可得acdb.,2對相反向量的三點(diǎn)說明 (1)a與-a互為相反向量. (2)相反向量與方向相反的向量不是同一個(gè)概念，相反向量是方向相反的向量，反之不成立 (3)相反向量與相反數(shù)是兩個(gè)不同的概念，相反數(shù)是兩個(gè)數(shù)符號(hào)相反，絕對值相等；相反向量是方向相反，模長相等的兩個(gè)向量.,3.向量減法的兩種定義方法 (1)將向量減法定義為向量加法的逆運(yùn)算，也就是，如果b+x=a,則x叫做a與b的差，記作a-b. (2)在相反

4、向量的基礎(chǔ)上，通過向量加法定義向量減法，即定義a-b=a+(-b).,【微思考】 (1)若a-c=b-d，則a+d=c+b成立嗎？ 提示：成立，移項(xiàng)法則對向量等式適用. (2)若|a|=|b|，則a=b或a=b嗎？ 提示：若|a|=|b|，但兩向量不一定共線，故不一定有a=b且a=b成立. (3)作兩個(gè)向量的差的前提是什么？ 提示：將兩個(gè)向量移到共同的起點(diǎn).,【知識(shí)拓展】非零向量的差的三角不等式 (1)當(dāng)a,b不共線時(shí)，根據(jù)三角形邊長的不等關(guān)系知|a|-|b|b|，則a-b與a,b同向，且|a-b|=|a|-|b|； 若|a|b|，則a-b與a,b反向，且|a-b|=|b|-|a|.,(3)當(dāng)

5、a,b共線且反向時(shí)，a-b與a同向，與b反向,且|a-b|=|a| +|b|. 綜上所述，對于任意兩個(gè)非零向量，總有下列向量不等式成立： |a|-|b|a-b|a|+|b|.,【即時(shí)練】 1.在平行四邊形ABCD中,向量 的相反向量為_. 2.計(jì)算 【解析】1.在平行四邊形ABCD中, 向量 與向量 互 為相反向量. 答案： 2.因?yàn)?故,【題型示范】 類型一 向量的減法及其幾何意義 【典例1】 (1) 可以寫成： 其中正確的是( ) A. B. C. D. (2)化簡： ,(3)如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量a+b-c.,【解題探究】1.兩起點(diǎn)相同的向量相減，差向量方向如何確定？

6、2.題(2)中的向量加減混合運(yùn)算時(shí)，為了應(yīng)用向量加法和減法的幾何意義，應(yīng)該用向量加法的交換律和結(jié)合律變形出哪些形式？ 3.題(3)中兩向量差與和的作圖依據(jù)是什么？,【探究提示】1.兩起點(diǎn)相同的向量相減，差向量指向被減向量. 2.變形出以下兩種形式：向量相加首尾相接的形式；向量相減共起點(diǎn)的形式. 3.兩向量差的作圖依據(jù)是向量減法的幾何意義及三角形法則；兩向量和的作圖依據(jù)是三角形法則和平行四邊形法則.,【自主解答】(1)選D.因?yàn)?所以選D. (2) =0； =0； ,(3)方法一：如圖 (1) 所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 =a, =b，則 =a+b，再作 =c, 則 =a+b-c. 方法二：如

7、圖(2)所示，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作 =a, =b，則 =a+b,再作 =c，連接OC，則 =a+b-c.,【方法技巧】 1.向量加法與減法的幾何意義的聯(lián)系 (1)如圖所示，平行四邊形ABCD中， 若 =a， =b，則 =a+b， =a-b. (2)類比|a|-|b|a+b|a|+|b|.可知|a|-|b| |a-b|a|+|b|.,2.向量加減法化簡的兩種形式 (1)首尾相連且為和. (2)起點(diǎn)相同且為差. 做題時(shí)要注意觀察是否有這兩種形式，同時(shí)要注意逆向應(yīng)用.,【變式訓(xùn)練】(2014淄博高一檢測)化簡 =( ) 【解析】選C.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】化簡 所得結(jié)果是( ) 【解析】選C.因?yàn)?類型二

8、 用已知向量表示其他向量 【典例2】 (1) 如圖，O為平行四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn)， =a， =b， =c，則 _.,(2)設(shè)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且 =a， =b， =c，若以線段 OA，OB為鄰邊作平行四邊形，第四個(gè)頂點(diǎn)為D，再以O(shè)C，OD為 鄰邊作平行四邊形，其第四個(gè)頂點(diǎn)為H.試用a,b,c表示,【解題探究】1.題(1)中與向量 有關(guān)聯(lián)的是哪個(gè)向量？ 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，這個(gè)向量又與哪個(gè)向量相等？ 2.題(2)中的OD和OH與作出的平行四邊形有何關(guān)系？向量 和 如何用已知向量表示？,【探究提示】1.向量BA與向量 關(guān)系密切，并且 2.OD和OH分別是已作出的平行四邊形的對角線，根據(jù)向量加法

9、和減法的幾何意義，可得,【自主解答】(1)因?yàn)?所以 所以 ab+c. 答案：ab+c (2)由題意可知四邊形OADB為平行四邊形， 所以 =a+b， 所以 =c-(a+b). 又四邊形ODHC為平行四邊形， 所以 =c+a+b, 所以 =a+b+c-b=a+c.,【延伸探究】若題(2)的條件不變，如何用向量a,b,c表示出向 量 【解析】由以上可得 =c+a+b,則 =c+a+b-a=b+c.,【方法技巧】用已知向量表示其他向量的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)搞清楚圖形中的相等向量、相反向量、共線向量以及構(gòu)成 三角形三向量之間的關(guān)系，確定已知向量與被表示向量的轉(zhuǎn)化 渠道. (2)注意綜合應(yīng)用向量加法、減

10、法的幾何意義以及加法的結(jié)合 律、交換律來分析解決問題. (3)注意在封閉圖形中利用向量加法的多邊形法則. 例如四邊形ABCD中，,【變式訓(xùn)練】如圖所示，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是 平行四邊形，且 =a， =b， =c，試用向量a，b，c表 示向量 【解題指南】解答本題要注意 及向量加法減法幾何 意義的應(yīng)用.,【解析】因?yàn)樗倪呅蜛CDE是平行四邊形， 所以 =c， =ba， =ca， =cb, 所以 =bac.,【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列四式中不能化簡為 的是( ),【解析】選D.選項(xiàng)A中， = 選項(xiàng)B中， 選項(xiàng)C中， 選項(xiàng)D中，,【易錯(cuò)誤區(qū)】向量的加減運(yùn)算在平面幾何應(yīng)用中的誤區(qū) 【典例】如圖所示，O是平行四邊形ABCD的對角線AC，BD的交 點(diǎn)，設(shè) =a， =b， =c，則b+c-a等于( ) A. B. C. D. +b,【解析】選A.方法一：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形， 所以 所以b+c= 所以b+c-a= 方法二：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以 所以c-a= 因?yàn)?=b，所以 =-b, 所以 = -b. 所以c-a= -b，即b+c-a=,【常見誤區(qū)】,【防范措施】 1.線段平行的應(yīng)用 解答以幾何圖形為背景的向量加減法運(yùn)算問題，