1、數(shù)學(xué)文化與文化數(shù)學(xué),華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 張奠宙 2003. 12. 3 上海,目錄,一。 數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭。四 個數(shù)學(xué)高峰 二。爭取中國數(shù)學(xué)在世界上的平等 與獨(dú)立 三。一些數(shù)學(xué)文化的理論問題 四。 數(shù)學(xué)文化視角,數(shù)學(xué)是人類文明的火車頭 四個數(shù)學(xué)高峰,古希臘文明 - 歐幾里得幾何原本 文藝復(fù)興 - 牛頓力學(xué)-微積分 18、19世紀(jì)人類文明 - 伽羅華群論、非歐幾何 電磁學(xué)方程 黎曼幾何與愛因斯坦相對論 信息時代文明 - 馮. 諾依曼計(jì)算機(jī)方案,第一高峰：古希臘數(shù)學(xué)文化,“對頂角相等”是否要證明？ 中國古代算學(xué)沒有角的概念， 談不上對頂角。 認(rèn)為這是顯然的， 不需證明。 幾何原本。 命題15

2、：對頂角相等。用公理3：等量減等量， 其差相等。,A,B,C,古希臘和中國的春秋戰(zhàn)國,古希臘城邦實(shí)行奴隸主的“民主政治”。 男性奴隸主選舉執(zhí)政官， 決定財(cái)政、戰(zhàn)爭等大事。 民主需要辯論， 平等地說服。 理性思考。 崇尚精神上的真理追求 中國春秋戰(zhàn)國， 實(shí)行君王統(tǒng)治。 知識分子可以百家爭鳴， 但是以說服君王為目標(biāo)。 中國古代數(shù)學(xué)是官方的管理數(shù)學(xué)。崇尚實(shí)用。 九章算術(shù)以丈量田畝，分配徭役，工程土方等計(jì)算方法。 文化差異決定數(shù)學(xué)文化： 理性演繹數(shù)學(xué) 實(shí)用管理數(shù)學(xué),中國古代算學(xué),中國古代的算學(xué) 以算法為特征 吳文俊繼承特點(diǎn) 以機(jī)器證明（計(jì)算 機(jī)算法）獲國家科學(xué)獎 祖沖之計(jì)算Pi享譽(yù)世界 中國數(shù)學(xué)整體上

3、比 埃及、巴比倫、印度晚,第二高峰 牛頓、萊布尼茲發(fā)明微積分,文藝復(fù)興：笛卡兒創(chuàng)立解析幾何、坐標(biāo)， “運(yùn)動進(jìn)入數(shù)學(xué)”。 微積分思想：費(fèi)馬論證：周長一定的矩形以正方形面積最大。取無窮小量E B(A-B) = (B+E)A-(B+E) BA B2 = BA B2 +AE 2BE + E2 整理得到 （A-2B）E + E2 = 0 略去 E ，得到結(jié)論 A =2B。,B,A,牛頓：自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理,1687 完成， 1736出版“流數(shù)術(shù)”。 基督教鎮(zhèn)壓科學(xué)、處死科學(xué)家 基督教的教義為科學(xué)留下了空間：人生來是平等的。 王室邀請數(shù)學(xué)家進(jìn)入宮廷 牛頓（爵士）、萊布尼茲是外交家 歐拉（德國腓特烈大帝邀請

4、到柏林、俄過沙皇喀德林一世邀請去彼得堡） 中國除康熙邀請梅文鼎以外， 數(shù)學(xué)家不受重視,17世紀(jì)中國數(shù)學(xué)。 牛頓發(fā)明微積分的時代,前奏 1606 徐光啟和利瑪竇翻譯幾何原本前6卷。 1690年， 康熙帝向傳教士白晉等學(xué)習(xí)幾何學(xué)， 對數(shù)。 1701年， 萊布尼茲將2進(jìn)制數(shù)表交給白晉， 白晉把伏羲64卦交給萊布尼茲。,鴉片戰(zhàn)爭后的中國數(shù)學(xué)落后歐洲三百年。,李善蘭（1811 - 1882）。 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最后一人， 吸收西方數(shù)學(xué)，開創(chuàng)中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)第一人。 與偉列亞力（1815-1867）合作翻譯幾何原本后9卷，美國Loomis的代微積拾級（1859）。日本用此書。,中國最早的微積分譯作,李善蘭（181

5、1 1882）,禾彳天 意思是 dx,第三高峰：19-20世紀(jì)初數(shù)學(xué)成就,法國大革命和法國數(shù)學(xué)學(xué)派（柯西、蒙日） 德國工業(yè)的興起和格丁根學(xué)派（高斯、黎曼） 群論、非歐幾何、復(fù)數(shù)、四元數(shù)、分析的嚴(yán)密化 （強(qiáng)調(diào)理性思維） 三個偉大的方程：忽略少談的數(shù)學(xué)家 熱傳導(dǎo)方程 傅立葉 （內(nèi)燃機(jī)） 流體力學(xué)方程 拉普拉斯 （航空） 電磁學(xué)方程 馬克斯韋爾 （電磁波）,傅立葉（1768 1830）,馬克思韋爾 1831-1879,數(shù)學(xué)與物理,狹義相對論與四維時空。 廣義相對論與黎曼幾何。 楊-米爾斯場 陳省身的纖維叢理論 高維 低維（四維最難） Witten（ 物理學(xué)家）獲得數(shù)學(xué)最高獎 霍金（理論物理學(xué)家）參加

6、2002 數(shù)學(xué)家大會,科學(xué)文化的代表：,希爾伯特提出23個數(shù)學(xué)問題（1900）,報(bào)載：瑞典的一位女助教解決了第16問題 16。代數(shù)曲線和代數(shù)曲面的拓?fù)鋯栴} 第二部分 討論 dy/dx = Y/X 的極限環(huán)的最大數(shù)目。 其中 Y,X 分別是x,y 的n次多項(xiàng)式 蘇聯(lián)和中國的數(shù)學(xué)家研究過 n =2 的情形,希爾伯特 1862-1943,陳省身和華羅庚 （清華“雙子”星座）,E. Cartan 陳省身 吳文俊 創(chuàng)立大范圍微分幾何 哈代 華羅庚 陳景潤、王元 中國的解析數(shù)論學(xué)派 如果華羅庚到漢堡隨阿?。‥. Artin)學(xué)習(xí)代數(shù)數(shù)論， 中國的數(shù)學(xué)歷史將要改寫了？,兩人唯一照片1972。 北京,希爾伯特

7、的形式主義思潮,形式主義和邏輯主義、直覺主義展開論戰(zhàn)。 形式主義思潮占據(jù)主導(dǎo)地位。 形式主義。 。 兩點(diǎn)之間有且只有一條直線， 也可以說成兩個啤酒瓶之間有一張桌子。 數(shù)學(xué)=形式， 內(nèi)容無關(guān)緊要 數(shù)學(xué)是公理體系。 一切數(shù)學(xué) 命題都可以形式地判定真?zhèn)?哥德爾說： 不。（1931） 數(shù)學(xué)： 思想的體操？ 數(shù)學(xué)= 公理；數(shù)學(xué)= 邏輯？,第四高峰：第二次世界大戰(zhàn)改造數(shù)學(xué),維納、科莫哥羅夫： 火炮自動控制 運(yùn)籌學(xué)產(chǎn)生于戰(zhàn)場 原子彈爆炸。馮.諾依曼的數(shù)學(xué)參與. 美國國家的應(yīng)用數(shù)學(xué)小組(AMP). 柯朗. 水下爆破。 轟炸機(jī)的流體力學(xué)計(jì)算 密碼破譯. 圖靈機(jī)的誕生 電子計(jì)算機(jī)產(chǎn)生 （中國數(shù)學(xué)仍然停留在純粹數(shù)學(xué)

8、， 沒有介入反法西斯戰(zhàn)爭的努力,戰(zhàn)后： 1948年的數(shù)學(xué)地圖,1948： 美國仙農(nóng)發(fā)表信息的數(shù)學(xué)理論 1948：維納發(fā)表控制論。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？ 1948： von Neuman 計(jì)算機(jī)方案形成 中國缺乏這樣的數(shù)學(xué)偶像,信息時代的數(shù)學(xué)技術(shù),馮.諾依曼組織“數(shù)字天氣預(yù)報(bào)”(1950) 線性規(guī)劃大發(fā)展. 計(jì)算機(jī)實(shí)時控制. 調(diào)度. 卡爾曼濾波. 航天技術(shù) CT掃描. 拉東變換. 計(jì)算機(jī)模擬技術(shù). 軍事模擬. 計(jì)算機(jī) 軟件的數(shù)學(xué)技術(shù) 金融數(shù)學(xué)技術(shù) （中國沒有以上原創(chuàng)的數(shù)學(xué)技術(shù)，緊跟）,中國科學(xué)最高獎,吳文?。?機(jī)器證明 王 選： 印刷革命 數(shù)據(jù)壓縮 陳景潤： 1980年代的數(shù)學(xué)英雄,1970年：

9、走出布爾巴基的光環(huán),布爾巴基的結(jié)構(gòu)主義 沖破“函數(shù)論”王國的統(tǒng)治 用“代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)”統(tǒng)一數(shù)學(xué)。 集合論、測度論、李群論、抽象代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分?融為一體。 不能包括微分幾何、數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)算數(shù)學(xué)、離散數(shù)學(xué) 1950年。吳文俊在科學(xué)通報(bào)介紹布爾巴基。 無人喝彩。 1970年。 年輕數(shù)學(xué)家走出布爾巴基的影響 1980年。 中國大規(guī)模介紹布爾巴基學(xué)派。,20世紀(jì)核心數(shù)學(xué)飛速發(fā)展,從局部到整體 （拓?fù)洌?從交換到非交換 （算子代數(shù)。 K理論） 從線性到非線性 （混沌、分維） 從低維到高維、無限維 隨機(jī)數(shù)學(xué)大發(fā)展,第二部分,爭取中國數(shù)學(xué)在世界上的 平等與獨(dú)立,二十世紀(jì)數(shù)學(xué)簡史,數(shù)

10、學(xué)中心的轉(zhuǎn)移： 巴黎 - 格丁根 -普林斯頓 1900 (1900-1933) (1933 -) 莫斯科大學(xué). Steklov數(shù)學(xué)研究所 劍橋大學(xué)三一學(xué)院 巴黎Poincare 研究所 波恩Max-Plank研究所 加拿大Fields數(shù)學(xué)研究所,黑色的1933年,希特勒上臺. 排擠迫害猶太人. 4月,命令一切猶太籍的教授立即離開校園. 愛因斯坦; H.外耳( Weyl , 妻子是猶太人); 馮.諾依曼; 柯朗; 諾特; 哥德爾; 波利亞; 蘭道; 世界一流的頂尖的數(shù)學(xué)家到了美國. 那時美國正在經(jīng)濟(jì)危機(jī)之中. 普林斯頓高級研究所的成立. 6名教授: 愛因斯坦; 馮. 諾依曼; 外耳; Veble

11、n, Alexander, Morse.,中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的艱難歷程,同文館中設(shè)天文算學(xué)館的爭論。（1860） x,y,z,w 取代 天地人元的歷程 1902年， 江南考場某舉子在試卷上寫阿拉伯?dāng)?shù)字， 主考官黃漱蘭：“以夷變夏， 其心殊不可問”。 逐出考場。 1847 容閎帶學(xué)生到美留學(xué), 沒人學(xué)數(shù)學(xué). 1862年日本派人來中國考察, 帶回, 為日本唯一的微積分讀本. 1898年, 中國向日本大量派遣留學(xué)生. 19世紀(jì),中國到歐美學(xué)數(shù)學(xué)的竟無一人.,中國數(shù)學(xué)的發(fā)展,第一個數(shù)學(xué)博士胡明復(fù)。 哈佛大學(xué)（1917） 1920年代數(shù)學(xué)系： 學(xué)士水平 1930年代數(shù)學(xué)系： 碩士水平 1940年代： 實(shí)際上能

12、夠培養(yǎng)博士 1980年代： 大陸正式授予第一批數(shù)學(xué)博士,世界著名的華人數(shù)學(xué)家,陳省身（美籍）整體微分幾何的奠基人）獲沃爾夫獎（終身成就）。 丘成桐（美籍）獲費(fèi)爾茲獎（40歲以下） 華羅庚（1910-1985）美國科學(xué)院外籍院士。數(shù)論， 多復(fù)分析， 代數(shù)。 馮康。 計(jì)算數(shù)學(xué)。 有限元方法創(chuàng)始人之一 許寶錄（1910-1970）數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)創(chuàng)始人之一 年輕的華人數(shù)學(xué)家正在迅速發(fā)展中： 田剛、夏志宏、張偉平,2002年國際數(shù)學(xué)家大會,霍金來了！ 納什來了！ 中國數(shù)學(xué)取得世界矚目的成就。 格局：美俄繼續(xù)領(lǐng)先； 西歐緊隨其后 日本正在迎頭趕上； 中國是一個未知數(shù)。,陳省身猜想,“21世紀(jì)數(shù)學(xué)大國”（198

13、8）。 數(shù)學(xué)大國的含義：“在獨(dú)立平等的基礎(chǔ)上與世界各國的數(shù)學(xué)家進(jìn)行交流”！ 數(shù)學(xué)上還沒有真正的獨(dú)立！ 離開皇冠上的明珠還很遠(yuǎn),費(fèi)爾茲獎?wù)拢ㄖ皇谟璨怀^40歲數(shù)學(xué)家）,拉法格（法國） 沃沃斯基（俄-美） 他們都出生于 1966年， 今年36歲。 大學(xué)畢業(yè)后， 得到扶植攻Langlangds 猜想 - 頂尖的數(shù)學(xué)課題。 田剛上屆（1998）獲得提名， 但沒有獲得。他是南京大學(xué)學(xué)士、北京大學(xué)碩士、隨丘成桐在美國讀博士?，F(xiàn)在是麻州理工學(xué)院（MIT）教授,考試文化的影響,競賽不是在考場上！ 奧林匹克數(shù)學(xué)競賽金牌 = 數(shù)學(xué)家？ 好勝與好奇。一字之差。 某大學(xué)副教務(wù)長說：“優(yōu)秀學(xué)生不是高考狀元， 而是在60

14、0分以上的0. 618處。 如果你的孩子是狀元， 當(dāng)心他/她太注重細(xì)枝末節(jié)， 沒有大前途。,21國參加的國際數(shù)學(xué)教育調(diào)查（IAEP）1989。 13歲學(xué)生成績,中國大陸 80 中國臺灣 73 韓國 73 瑞士 71 蘇聯(lián) 70,法國 64 英國 61 美國 55 巴西 37 莫桑比克 28,中國數(shù)學(xué)水平怎么樣？,新華社：中國現(xiàn)在十分有陳省身、華羅庚那樣的大數(shù)學(xué)家？離國際水平多遠(yuǎn)？ 吳文俊：“不好說”，“不好說” 丘成桐：“還差得很遠(yuǎn)” 中國只是潛在的數(shù)學(xué)大國！ 許多人以為“中國離皇冠上明珠僅一步之遙” 大錯特錯！ “取法乎上， 僅得乎其中”， “取法乎中， 則得乎其下矣！”,第三部分： 一些數(shù)

15、學(xué)文化的理論問題,1。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)？絕對主義的破滅。 2。檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)。純粹數(shù)學(xué)為什么會有用？ 3。 數(shù)學(xué)美的認(rèn)識。 4。 推測數(shù)學(xué)是否允許存在？ 5。 中國考據(jù)學(xué)派對數(shù)學(xué)的影響。,（1）數(shù)學(xué)絕對主義的破滅,數(shù)學(xué)結(jié)論絕對正確是做不到的， 但是并沒有到達(dá)“危機(jī)”的程度。 選擇公理是否準(zhǔn)許使用？ 無限多盤糖果， 每盤各取一顆， 構(gòu)成一個拼盤。,拼盤里的元素不確定， 沒有指出“選擇”的是什么糖！,用選擇公理可以得出巴拿赫怪論（1923） “一個球， 可以分割為兩個與原球全等的球”。 于是傾向于不準(zhǔn)用選擇公理 但是選擇公理十分有用， 例如有界的無限點(diǎn)列必可選出收斂子列。 如圖： 究竟用不用？

16、沒有絕對 正確的選擇。 數(shù)學(xué)和其他學(xué)科一樣，沒有 絕對。,第三次數(shù)學(xué)危機(jī)， 是故作“驚人之語”,數(shù)學(xué)在一日千里地發(fā)展， 沒有危機(jī)。 數(shù)學(xué)和其他科學(xué)一樣， 真理都是相對的， 不存在絕對正確。 但是， 數(shù)學(xué)是思想材料， 按照邏輯展開， 在可以感受到的日常數(shù)學(xué)問題中， 數(shù)學(xué)仍然比其他“經(jīng)驗(yàn)科學(xué)”， 更加準(zhǔn)確。 數(shù)學(xué)大廈的底層有裂縫， 但是不會傾覆倒塌。,（2）檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的標(biāo)準(zhǔn)是實(shí)踐嗎？,邏輯正確是數(shù)學(xué)論文發(fā)表的基本要求。 不必通過實(shí)踐檢驗(yàn)， 結(jié)論一定正確。 數(shù)學(xué)結(jié)論有好壞之分。只有“好”數(shù)學(xué)才值得發(fā)表。 陳省身的好數(shù)學(xué)例子： 方程。 流形。 球面上用一個直角坐標(biāo)系是不夠的， 經(jīng)緯線在北極相交， 坐

17、標(biāo)和點(diǎn)不能一一對應(yīng)。,陳省身：不大好的數(shù)學(xué)的例子,拿破侖定理：一個三角形， 在三邊上各作一個正三角形， 其中心聯(lián)起來也是一個正三角形。 奧林匹克競賽的題目， 都不是好的數(shù)學(xué)。 馮 諾依曼說： 數(shù)學(xué)象在沙漠中的河流， 如果在一些枝節(jié)上停留過多， 就有干涸的危險(xiǎn)。,懸賞100萬美圓的數(shù)學(xué)題目,P =NP ？ 黎曼猜想。 龐加萊猜想 Hodge猜想 Birch等 猜想 Naiver Stokes 方程組3維光滑解的存在 楊振寧-Mills場質(zhì)量間隙的存在,數(shù)學(xué)需要實(shí)踐檢驗(yàn)！,有效性：信息論、控制論、計(jì)算機(jī)方案設(shè)計(jì)。 馮 諾依曼放棄純粹數(shù)學(xué)研究， 投身應(yīng)用數(shù)學(xué) 深刻性：揭示客觀世界的規(guī)律！黎曼幾何，

18、楊-Mills場，陳省身-西蒙斯理論 美學(xué)價(jià)值：公認(rèn)的科學(xué)價(jià)值。 費(fèi)馬定理的證明。 創(chuàng)新需要時間的檢驗(yàn)。 康托的集合論。 模糊數(shù)學(xué)的價(jià)值（數(shù)學(xué)的里程碑？）,3。數(shù)學(xué)美的通俗認(rèn)識（一）,壯觀的描述： 三體問題 有效的手段。 王選的數(shù)據(jù)壓縮。 和諧的規(guī)律。 公式ei + 1 =0. 奇特的證明。 素?cái)?shù)無限多的證明。 絢麗的變化。 分形演示 藝術(shù)的圖案。 Esher 的畫,數(shù)學(xué)畫,俄羅斯數(shù)學(xué)家 佛明科作品 隨機(jī)過程,愛舍兒的畫,另外的世界,3。 數(shù)學(xué)美的通俗認(rèn)識（二）,1。 美觀。 1/2+ 1/3 = 2/5 ？ （和諧的天性） 2。 美好。 （a+b)2 = a 2+ b2 (2ab) 二次方程

19、求根公式， 丑陋但美好。 3。美妙。 三條高交于一點(diǎn)。妙！ 輔助線， 代換， 變形， 對人的沖擊。 4。完美。 數(shù)學(xué)的體系。 數(shù)學(xué)的發(fā)展， 人類的數(shù)學(xué)追求。,4。儒家文化與中國數(shù)學(xué),數(shù)學(xué)在儒家學(xué)說中沒有地位。數(shù)學(xué)家 不受重視。 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)缺少邏輯論證。思辨的理性精神， 不如古希臘。 儒家文化是演繹的。 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)也是演繹的。只是：缺乏 形式邏輯的演繹！ 中國中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的邏輯要求遠(yuǎn)超西方,宋明以后的儒學(xué)不再 面對原始問題,孔孟經(jīng)典 不可動搖的公理 朱熹的注疏 必須遵循的定理和推論 讀書人的文章 不過做一個練習(xí)而已 八股文： 按朱熹老夫子的標(biāo)準(zhǔn)答案做“學(xué)答” - - 美其名“代圣賢立言”,

20、清 戴震（1722-1777）考據(jù)學(xué)派對科學(xué)的影響,文字獄使讀書人回避“原始問題” 在“故紙堆”中考據(jù)、訓(xùn)詁， 重證據(jù)、重演繹， 接近西方的邏輯推理。 儒家文化 - 宏觀上的演繹系統(tǒng) 考據(jù)文化 - 微觀上的演繹方法,考據(jù)學(xué)派的地位,梁啟超： “中國舊學(xué)， 考據(jù)、掌故、詞章為三大宗”。 考據(jù)列在第一位。 清代學(xué)術(shù)之特色為考據(jù)學(xué)。明清一代學(xué)術(shù)走的是， 從反義理， 重訓(xùn)詁，到獨(dú)尊考據(jù)， 再到兼重義理的道路。 清末民初， 中西文化屢有沖突， 但考據(jù)文化和西方科學(xué)一直相安無事。,梁啟超談考據(jù)文化,自清代考據(jù)學(xué)派200年之訓(xùn)練， 成為一種遺傳。 我國學(xué)子之頭腦漸趨于冷靜慎密。 此種精神實(shí)為科學(xué)成立之基本要

21、素。我國對于形的科學(xué)（數(shù)理）， 淵源本遠(yuǎn)。 用其遺傳上極優(yōu)異之科學(xué)頭腦， 將來必可成為全世界第一等之科學(xué)國民 （清代學(xué)術(shù)概論） 考據(jù)遺傳 = 科學(xué)頭腦,胡適與考據(jù) （周昌龍：戴東原哲學(xué)與胡適的知識主義。 漢學(xué)研究 12卷1期,1910年， 參加庚款考試。 發(fā)覺做學(xué)問要從十三經(jīng)注疏開始。 留美期間， 熟悉西方科學(xué)的同時， 完成詩言字解爾汝篇吾我篇諸子不出于王官論。 回國后繼續(xù)整理國故從事紅樓夢考證以及“三國”“水滸”等考證研究。 考據(jù)影子：“大膽假設(shè)， 小心求證”。,胡適：戴東原哲學(xué)（1922）,中國舊有的哲學(xué)，只有清代的“樸學(xué)”確有科學(xué)精神。 這個時代是一個考證學(xué)昌明的時代， 是一個科學(xué)的時代

22、。戴氏是一個科學(xué)家， 他長于算學(xué)， 精于考據(jù)。 他的治學(xué)方法最精密， 故能用這個時代的科學(xué)精神到哲學(xué)上去。 它的哲學(xué)是科學(xué)精神的哲學(xué)。 胡適文存3集卷2,考據(jù)學(xué)派與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué),戴震編修四庫全書， 校訂九章算術(shù)算經(jīng)十書等。 乾嘉考據(jù)學(xué)派的另一代表人物是錢大昕。他的弟子有 李銳（1769 - 1817） 汪萊（1768-1894） 焦循（1764-1849） 羅士琳（1789-1817） 他們努力使算學(xué)從經(jīng)學(xué)的負(fù)數(shù)地位解放出來。,訓(xùn)詁與數(shù)學(xué),阮元（1764-1848） 經(jīng)學(xué)大師兼數(shù)學(xué)家。 疇人傳 - 中國第一部算學(xué)家傳記 李善蘭（1811-1882）。 清末中國數(shù)學(xué)的代表人物：“詞章、訓(xùn)詁之學(xué)雖

23、皆涉獵， 然好之終不及算學(xué)”。 古典數(shù)學(xué)為乾嘉學(xué)派所重視（錢寶琮） 近來200年間， “小學(xué)”、“算學(xué)”是同時長進(jìn)的 。（章太炎）,考據(jù)與現(xiàn)代數(shù)學(xué),考據(jù)學(xué)派奉行“復(fù)古主義”， 主張“西學(xué)中源”。 終于沒有走向現(xiàn)代數(shù)學(xué)。 考據(jù)必須使用邏輯。 例如要“考據(jù)傳綦即八大山人， 先證明“八大山人”就是“個山”， 而 “個山”即“傳綦”。 這里用了“甲是乙， 乙是丙， 于是甲是丙”的邏輯上的“傳遞性”原理。（洪萬生、劉鈍） “歷代學(xué)者僅以訓(xùn)詁當(dāng)名學(xué)。 殊不知名學(xué)義大而經(jīng)， 訓(xùn)詁義小而粗。”（劉鼎和。19184月29日北京大學(xué)日刊）,“數(shù)學(xué) = 邏輯”的文化淵源,數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面: 創(chuàng)造思考與邏輯證明 中國提

24、法：數(shù)學(xué)能力是基本運(yùn)算能力， 空間想象能力， 邏輯思維能力（核心）。 但是， “數(shù)學(xué)不等于邏輯”。 邏輯是數(shù)學(xué)家得以保持健康的衛(wèi)生規(guī)則。（大數(shù)學(xué)家H。外耳語） 極而言之， 我覺得數(shù)學(xué)和邏輯沒有什么關(guān)系 （日本著名數(shù)學(xué)家小平邦彥）,考據(jù)文化對數(shù)學(xué)的正反作用,中國傳統(tǒng)文化對西方數(shù)學(xué)是否包容？（鄭毓信） 考據(jù)文化將數(shù)學(xué)的邏輯層面進(jìn)行同化, 成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的核心思想. 同樣, 考據(jù)文化和演繹式的儒家文化,將創(chuàng)新性 的數(shù)學(xué)思維方式進(jìn)行過濾, 沒有很好吸收溶入. 適度強(qiáng)調(diào)邏輯， 提倡數(shù)學(xué)創(chuàng)造。,5。 推測數(shù)學(xué)能否允許存在？,1993年美國哈佛大學(xué)教授A. Jaffe 和弗吉尼亞大學(xué)教授 A.Quin

25、n 發(fā)表文章。 物理學(xué)的分工：理論物理學(xué)家提出猜想和推測， 實(shí)驗(yàn)物理學(xué)家進(jìn)行驗(yàn)證。 數(shù)學(xué)家卻必須把提出猜想和進(jìn)行證明全部承擔(dān)。 將來的數(shù)學(xué)是否可以由一些數(shù)學(xué)家進(jìn)行猜測， 推想， 探討。 另外一些數(shù)學(xué)家進(jìn)行證明？,各方反映,英國皇家學(xué)會會長M. Atuiyh 表示贊同。 他的老師 提出“幾何大綱”， 證明不夠， 由他補(bǔ)正。 美國代數(shù)學(xué)家 S MacLane 反對， 證明萬歲！ 分形理論的創(chuàng)立者 B. Mandelbroit 說， 現(xiàn)在數(shù)學(xué)的清規(guī)戒律太多， 警察太多。 龐加萊很多原創(chuàng)的思想， 證明不嚴(yán)密。如果“警察”禁止， 數(shù)學(xué)的損失太大了 龐卡萊受畢卡(Picard) 的制約， 沒有在巴黎大學(xué)上

26、過數(shù)學(xué)課程， 因?yàn)椴粐?yán)格。,突變理論創(chuàng)立者R. Thom,嚴(yán)格性是一個拉丁名詞， 讓人想起“僵尸”。 數(shù)學(xué)分為三類： （1） 嬰兒為標(biāo)記。 正在成長允許修改。 （2） 以十字架為標(biāo)記。 已經(jīng)證明， 永遠(yuǎn)不朽。 （3） 以教堂為標(biāo)記。 由高級教士組成， 專門評論數(shù)學(xué)論文應(yīng)該屬于那一類， 價(jià)值如何。,姜伯駒的講話 1995.,“數(shù)學(xué)往往是最后取勝的法寶。 數(shù)學(xué)用得好， 你就贏了” “數(shù)學(xué)在20世紀(jì)下半葉有很大的發(fā)展， 其中最大的發(fā)展是應(yīng)用。 跟第二次世界大戰(zhàn)以前不一樣， 現(xiàn)在到處在用數(shù)學(xué)， 更多的地方在試圖用數(shù)學(xué)。 因此， 數(shù)學(xué)系、數(shù)學(xué)專業(yè)起什么作用？ 如果還是培養(yǎng)數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教授， 就業(yè)的情況擺

27、在哪兒， 社會的需求量不是很大。 數(shù)學(xué)系是畢業(yè)生， 相當(dāng)多的人， 甚至多一半的人， 要到其他行業(yè)里去起作用?！保ㄒ灾袊鴶?shù)學(xué)會通訊1996年第九期）,前國際數(shù)學(xué)家聯(lián)盟主席Mumford答記者問 1995,一個重要的問題是恢復(fù)純粹數(shù)學(xué)家和應(yīng)用數(shù)學(xué)家之間的思想交流。 在19世紀(jì)， 你可以看到大多數(shù)的數(shù)學(xué)家都是一身二任的。 例如傅立葉（Fourier）發(fā)現(xiàn)和研究級數(shù)， 就是受了應(yīng)用的刺激。但以后發(fā)生了分隔， 尤其在美國。 . 對科學(xué)的投資, 將不至于簡單地化很多錢去搞純粹數(shù)學(xué)研究, 而是相反, 應(yīng)當(dāng)引向一個共同目標(biāo), 使得純粹數(shù)學(xué)研究人員能在應(yīng)用中受到啟發(fā), 運(yùn)用他們的理論思維更有效地解決實(shí)際問題”

28、 (引自1996年第3期),第四部分,文化數(shù)學(xué)的案例,案例1 丘成桐談史記,華人唯一的費(fèi)爾茲獎?wù)芦@得者。 8月20日早上中央電視臺東方時空的“東方之子”欄目 （方靜采訪） “我讀史記象欣賞歌劇， 一幕幕地展開。” 華彩樂章如：高山仰止， 景行景止。 歷史是宏觀的。 學(xué)習(xí)歷史會使人用宏觀觀點(diǎn)考察事物。 我提出的數(shù)學(xué)想法往往和別人的不一樣， 就是得力于史記,例2。數(shù)學(xué)與文學(xué)：對稱與對仗,對稱是變換以后的不變性質(zhì) x2 + y2 是對稱多項(xiàng)式 （ x -y, y -x) 明月松間照， 清泉石上流。 上聯(lián)變成下聯(lián)：但是許多是不變的 明月 - 清泉 自然景物不變 明-清（形容詞）； 月-泉 （名詞） 變

29、中有不變。 道理是一樣的！,例3 數(shù)學(xué)與語言,不管三七二十一”（乘法口訣） “三下二除五就解決了”（算盤口訣）。 “萬無一失”，在中國語言里比喻“有絕對把握”。 但是， 這句成語可以聯(lián)系“小概率事件”進(jìn)行思考?！笆f有一失”在航天器的零件中也是不允許的。 “指數(shù)爆炸”、“直線上升”等等已經(jīng)進(jìn)入我們的日常語言。 它們的含義可與事物的復(fù)雜性相聯(lián)系（計(jì)算復(fù)雜性問題），,例4 數(shù)學(xué)和倫理,。 西方學(xué)者作過十分認(rèn)真的嘗試。 一個例子是， 兩個人每人有1，000元， 從其中一個人那里拿500元給另外一個人。 這一行動所產(chǎn)生的快樂比痛苦少， 因?yàn)榈玫降娜说呢?cái)富只增加了1/3， 而失去者的損失是1/2。7,例

30、5。數(shù)學(xué)和日常生活,“方程”的思想， 說穿了不過是“拉關(guān)系“ 為了認(rèn)識“未知數(shù)”先生， 必須請已知數(shù)“先生為媒介， 找到一種關(guān)系， 根據(jù)關(guān)系就能認(rèn)識“未知數(shù)”先生了。 樸素的思想， 正是一種文化現(xiàn)象。,例6張恭慶院士的問題,一條毛巾平攤著， 有東西向、南北向、以及上下共三組6個方向， 那么是否可能作一個運(yùn)動使得這三組的兩個方向恰好調(diào)換位置？答案是不可能。一個“右手系”無論怎樣“旋轉(zhuǎn)、平移、翻折”都不可能變成“左手系”。 中學(xué)里有那么多的立體幾何難題， 卻很少觸及這樣簡單又有巨大數(shù)學(xué)內(nèi)涵的觀察與思考。 奧林匹克數(shù)學(xué)競賽也不處理詞類問題。,例7史樹中教授的問題,有一筆賭金， 甲、乙兩人競賭， 輸贏

31、的概率各為1/2， 以先累計(jì)達(dá)到5盤勝利者獲得這筆賭金。在進(jìn)行過程中， 因故突然終止。 此時， 甲贏了4局， 乙贏了3局。 問這筆賭金該如何分配才合理？ 4/7 和 3/7 比較合理 ？,麻將為什么不能產(chǎn)生概率論？,答案是：假設(shè)再進(jìn)行一局，若甲勝（概率1/2）可得全部的1份賭金。 若乙勝（概率也是1/2）， 則大家各勝4局， 應(yīng)當(dāng)平分， 甲得1/2。 總之， 甲可得 （1/2） 1 + （1/2）（1/2） = 3/4。 我的思考是， 中國是一個缺乏概率思考的國家。傳統(tǒng)文化中缺乏隨機(jī)數(shù)學(xué)的因素， 公眾中應(yīng)當(dāng)盡快補(bǔ)上這一課。,（例8）（荷蘭）甲離學(xué)校10公里， 乙離甲3公里， 問乙離學(xué)校幾公里？

32、,訓(xùn)練學(xué)生的表示能力。 甲、乙、學(xué)校在一條直線上？ 沒有說。 校 乙 甲 乙,余弦定理。,坐標(biāo)。參數(shù)。復(fù)數(shù)?？臻g,（例9）公說公有理， 婆說婆有理。 香港某廠 業(yè)績 年份 90 91 92股東紅利 5萬 7。5萬 10萬工資總額 10萬 12。5萬 15萬,90 91 92,15 10 5,90 91 92,200%,150%,100%,老板所畫,工會主席所畫,（例10）正三角形的案例,美國北卡三個分校， 位于正三角形的三個頂點(diǎn)。要建設(shè)校內(nèi)網(wǎng)。 貝爾電話公司收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：兩邊長 2。 在北卡三校的中心（荒漠）， 要求裝電話。因?yàn)榘词召M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為 31/2 “連接正三角形三點(diǎn)的方法， 有多少種？距離多少

33、？ 中國青年數(shù)學(xué)家堵丁柱證明 2：31/2 是極限。,（例11）門后的車,1 2 3 任選一門 （例如 1 號）； 主持人打開無車的門（3號） 是否要換2 號？ 應(yīng)該換。 因?yàn)檐囋?號門的概率是1/3， 而在2、3號門的概率是2/3。 既然3號門無車，在2號門的概率是2/3。 考慮100扇門的情形， 當(dāng)主持人打開3-100扇無車的門， 你是否覺得車在2號門的概率很大很大呢？,（案例12）蘇聯(lián) 的一道空間想象題,四維空間單位方體的頂點(diǎn)數(shù).棱數(shù), 面數(shù), 三維面數(shù), 四維體數(shù)? 解：頂點(diǎn)數(shù)：23 =16。 棱數(shù)：（16 4）/2 = 32 二維面：（16 C42）/4 = 24 三維面： （16

34、C43 ）/8 = 8 四維面： 1 一般地 （2 +1）n = 2n + n2n-1 + + 1,（例13）分蘋果問題（推廣）,某A在果園摘了一堆蘋果， 把它的一半加半個給第一個看門人， 又將剩下的蘋果的一半加半個給第二個看門人。 那時只剩下兩個蘋果了。 問原來有幾個蘋果？ 兩個因子： 剩下的蘋果數(shù)，看門人個數(shù) 思辨： 看門人比我多一個；A和看門人蘋果之和等于上次剩下的蘋果 1，2；3，4；7，8；15，16； 31，32；63，64 ；. 2，3；5，6；11，12； 23，24；47，48；95，96； 3,4; 7,8;15,16； 31， 32； 63，64；127，128 一半加一

35、個？一般加兩個？,（例14）X大王名裂上海南京路（1999）,溜溜球（25元/只). 溜溜蛋卷（1.5/包) 每包蛋卷中有一張卡片, 分紅,白,綠,黃藍(lán)五種花色. 集齊5種花色卡片, 可以換溜溜球一只. 如5種卡片投放的概率為 P1, P2 P3 P4 P5, 中獎率為 (P1, P2 P3 P4 P5 ) x 5! P1 = P2 = P3 = P4= P5 =(1/5) 時最大.(0.04) 實(shí)際 紅色僅為 1/100. 記者披露H后, x大王名裂出南京路.,例15 投票的數(shù)學(xué),5種投票法: 1. 簡單多數(shù) 2. 最高兩人選一. .3. 一票贊成, 一票否定. 4. 贊成投票法. 5. 排

36、序打分法. 6. 奧運(yùn)投票法 實(shí)力指標(biāo) 1972加拿大選舉 自由(109);保守黨(107) 新民主黨(31);其他(17) 總計(jì)264 51;28,24,24 51;26,26,2651,40,25,20,15 選舉實(shí)力指標(biāo)分析,（案例16）數(shù)據(jù)誤導(dǎo),班平均分為76分. 我得到78分在班上屬中上水平. 全班30人, 數(shù)學(xué)成績?yōu)?個90分, 22個80分, 一個78分以及2分和10分. 算得 平均數(shù) 76.67. 78分者平均分以上, 倒數(shù)第三. 據(jù)校友問卷調(diào)查, 1924年耶魯大學(xué)畢業(yè)生的年收入為25111美圓. 1936年美國總統(tǒng)大選, 電話調(diào)查蘭登將高票當(dāng)選, 結(jié)果羅斯福勝出.,（例17）仙農(nóng)(Shannon)研究信息論,一.信息量 烽火臺. 傳送一個信息量 log2 2 =1. 兩個烽火臺. 1. 敵人來? 2.要否補(bǔ)給? 四種情況. log2 4 =2. 信息是 0,1 符號串. 二 . 概率和信息量: “狗咬人” “人咬狗”. “今天太陽升起”, “今天日食”. 事件的概率P(E)大, 傳送此事件的信息量H(E)小. H(E) = 1/ P(E)? H(E) = - P(E) log2 P(E).,（案例18）仙