1、2007 年廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷題號(hào)一二三合計(jì)（ 11）（ 12）（ 13）（ 14）（ 15）得分評(píng)卷員考生注意：用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答；不準(zhǔn)使用計(jì)算器；考試用時(shí) 120 分鐘，全卷滿分 150 分一、選擇題： 本大題共 4 小題， 每小題 6 分，共 24 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的請(qǐng)將正確選項(xiàng)前的字母代號(hào)填在該小題后的括號(hào)內(nèi)x17, x0,1設(shè)函數(shù) f ( x)2，若 f (a 1)1 ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（）x ,x0.a - ,-4b4,0c 0,d , 4 u 0,x2y21的焦點(diǎn)為 f1 和 f2 ，點(diǎn) p 在橢圓上， 如果線段 pf1 的中

2、點(diǎn)在 y 軸上，那么 pf1 是 pf2 的（2橢圓3）12a 7 倍b 5 倍c 4 倍d 3 倍3已知集合 mx, ylg x21 y2lg xlg y，則集合 m 中元素的個(gè)數(shù)為（）4a 0 個(gè)b 1 個(gè)c 2 個(gè)d 無(wú)數(shù)個(gè)4 設(shè) m 是uuuruuurbac 30o ， 定 義 f ( m ) (m, n, p) ， 其 中 m, n, p 分 別 是abc 內(nèi) 一 點(diǎn) ， 且 abac 2 3,mbc ,mca , mab 的面積，若f ( p)1 , x, y ，則 14的最小值是（）2xya 9 3 1b 18c 16d 9二、填空題：本大題共6 小題，每小題6 分，共 36 分

3、把答案填在題中橫線上5已知復(fù)數(shù) z 滿足： z2z10 ，則 1 z z2z3z2007_6在區(qū)間2,2上任取兩實(shí)數(shù)a， b，則二次方程 x2ax b20 有實(shí)數(shù)解的概率為7已知函數(shù) f (x) 滿足： f (mn) f (m) f (n), f (1)4 ，則f 2 (1)f (2)f 2 (2)f (4) f 2 (3) f (6)lf 2 (251)f (502)f (1)f (3)f (5)f (501)8奇函數(shù)fx 在 r 上為減函數(shù)，若對(duì)任意的x0,1 ，不等式fkxfx2x20 恒成立，則實(shí)數(shù)k 的取值范圍為9 四面體abcd中， ab cd 6 ，其余的棱長(zhǎng)均為5 ，則與該四面

4、體各個(gè)表面都相切的內(nèi)切球的半徑長(zhǎng)等于10已知 x, y 滿足 1 x24y316x2 ，則函數(shù) zxy10 的最大值與最小值之和為44三、解答題：本大題共5 小題，共90 分要求寫出解答過(guò)程11（本小題滿分15 分）已知函數(shù)f ( x)m gn ，其中 m(sinxcosx,3 cosx) ， n(cosxsinx,2sinx)（0 ），若 f ( x) 相鄰兩對(duì)稱軸間的距離不小于2（）求的取值范圍；（）在abc 中， a, b,c 分別是角 a, b,c 的對(duì)邊， a3, b c 3 ，當(dāng)最大時(shí)， f ( a)1，求abc 的面積12（本小題滿分 20 分）各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列 ann2an

5、的前 n 項(xiàng)和為 s ，已知 2 sn 1an（）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（ ） 若 數(shù) 列 bn 滿 足 b12 ， bn 1 2bn ， 數(shù) 列 cn 滿 足cnan(n為奇數(shù) )bn，數(shù)列 cn 的前 n 項(xiàng)和為 tn，當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，(n為偶數(shù) )（）同學(xué)甲利用第（）問(wèn)中的tn 設(shè)計(jì)了一個(gè)程序如圖，但同學(xué)乙個(gè)程序如果被執(zhí)行會(huì)是一個(gè)“死循環(huán)”（即程序會(huì)永遠(yuǎn)循環(huán)下去，結(jié)束）你是否同意同學(xué)乙的觀點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由n： 0求 tn；n： n 2認(rèn) 為 這而 無(wú) 法n2pn ：24n4tn pn ： 2007 ？yes打印 nno結(jié)束13（本小題滿分20 分）多面體 abcda1b1c1d1 的

6、直觀圖，主視圖，俯視圖，左視圖如下所示c1d1ab11a2aadc2aaaab2a2直觀圖主 視 圖俯視圖左視圖（）求 a1 a 與平面 abcd 所成角的正切值；（）求面aa1 d1 與面 abcd 所成二面角的余弦值；（）求此多面體的體積14（本小題滿分20 分）如圖，已知拋物線 c : x22 py p0 與圓 o : x2y2uuur uuur0 （ o 為坐標(biāo)原8 相交于 a 、 b 兩點(diǎn)，且 oagob點(diǎn)），直線 l 與圓 o 相切，切點(diǎn)在劣弧?兩點(diǎn)）上，且與拋物線c 相交于 m 、 n 兩點(diǎn)， d 是 m 、 nab （含 a、b兩點(diǎn)到拋物線c 的焦點(diǎn)的距離之和( ) 求 p 的

7、值；( ) 求 d 的最大值，并求d 取得最大值時(shí)直線l 的方程ylnmbafo ox15（本小題滿分 20 分）已知函數(shù) f ( x)xsin x 是區(qū)間1,1上的減函數(shù)（）若 f ( x)t 2t 1在 x1,1上恒成立，求t 的取值范圍；（）討論關(guān)于x 的方程 ln xx22ex m 的根的個(gè)數(shù)x2007 年廣州市高二數(shù)學(xué)競(jìng)賽參考答案1選 b 2選 a 3選 d4選 b 5填 16填 1 47填 2008 8填,2 9填 37 810填 2011 解：（） f (x)m gncos2xsin 2x23 cosxsinxcos2x3 sin 2x2 sin(2x) 260，函數(shù) f ( x

8、) 的周期 t2由題意可知 t,即22, 解得 0122故的取值范圍是 |01 （）由（）可知的最大值為1，f ( x)2sin(2x) 16f ( a)1，sin(2 a)21365而2 a，2a，a666636由余弦定理，知 cos ab 2c2a 2，b2c2bc 3 ，又 bc 3 ，2bcb2b1聯(lián)立解得c或c12s abc1 bc sin a3 22（或用配方法() 233bc3,bc2s1bc sin a3b cbcabc）2212解：（）當(dāng) n1 時(shí)，由2s11a12a1 ，解得 a12，當(dāng) n 2 時(shí)，由 2 sn1an2an ，得 2 sn 11an 12an 1 兩式相減

9、，并利用ansnsn1 ，求得 anan11數(shù)列 an 是首項(xiàng)為2，公差為1 的等差數(shù)列ann1 （ nn * ）（） bn是首項(xiàng)為 2，公比為2 的等比數(shù)列，bn2n 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， tna1a3lan12224l2na1an 1 n4 12n2n 2n 4 2n 1 142243n2（） pn24n （ n 為偶數(shù)），4設(shè) dntnpn4 2n47 n4（ n 為偶數(shù)），323 d4d6d8d102007d12 d14l且 d22007 ，（利用數(shù)列的單調(diào)性或函數(shù)的單調(diào)性判斷） dn2007 ，即 tnpn2007 （ n 為偶數(shù)）因此同學(xué)乙的觀點(diǎn)正確d1c113（） 解： 由已知圖可

10、得，平面a1 ab平面 abcd ，取 ab 中a1b1點(diǎn) h ， 連 接a1 h ，在等腰a ab 中，有 a hab ，則 a h平面 abcddc111a ab 是 a a 與平面 abcd 所成的角kbah11 a1h2 ah ， tana1 h2a1 abah故 a1 a 與平面 abcd 所成角的正切值為2（）解法 1：取 ad 中點(diǎn) k ，連接 d1k , kh ，同理有 d 1 k平面 abcd ，即ahk 是aa1 d1 在平面 abcd內(nèi)的射影取 hk 的中點(diǎn) m，取 a1d1 的中點(diǎn) n，連接 mn ， am，an，則man 就是面 aa1 d1 與面 abcd 所成的二

11、面角 mn a， am2 a ， tanmanmn2 2 即 cos man14am3面 aa1 d1 與面 abcd 所成二面角的余弦值為1 3解法 2：取 ad 中點(diǎn) k ，連接 d1k , kh ，同理有 d1 k平面 abcd ，即ahk 是aa1d1 在平面 abcd 內(nèi)的射影，在aa1d1 中， aa1ad15 a, a1d12 a ， s aa d3a 2 ，又 s ahk1a2 ，221188設(shè)面 aa1 d1 與面 abcd 所成二面角的大小為，則 coss ahk1s aa1d13面 aa1 d1 與面 abcd 所成二面角的余弦值為1 31 1aa1（） 解： 該多面體為

12、長(zhǎng)方體削去四個(gè)全等的三棱錐，每個(gè)三棱錐的體積都為aa3 4 1 a35 a3 322224此多面體的體積 va324614 ( )解：設(shè)點(diǎn) a 的坐標(biāo)為x1, y1x10，由于拋物線c 和圓 o 關(guān)于 y 軸對(duì)稱，故點(diǎn) b 的坐標(biāo)為x1 , y1uuur uuury120 ， 即 x12y12q oagob0 ，x1 g(x1 )0q 點(diǎn) a 在拋物線 c 上，x122 py1 2 py1y120 ， 即 y 2 p y0 11q y1 0,y12 p x12p 點(diǎn) a 的坐標(biāo)為2 p,2 p q 點(diǎn) a 在圓 o 上，22 p28 ，又 p0，解得 p 12 pyl( ) 解法 1：設(shè)直線

13、l 的方程為： ykx b ，因?yàn)?l 是圓 o 的有 k 0 0b2 2 ，k21nmabf切線，則又 b0 ，則 b22k 22 即 l 的方程為： ykx2 2k22 聯(lián)立ykx2 2k 22,x22 y.即 y22k 24 2k22 y 8 k 2 1 0 設(shè) m xm , ym , nxn , yn ，則 ym yn 2k 24 2k22 如圖，設(shè)拋物線c 的焦點(diǎn)為 f ，準(zhǔn)線為 l ，作 mm 1 l, nn1o oxm1n1l ，垂足分別為m 1 , n1 由拋物線的定義有：d mf nf mm 1nn1ymyn1 2k 24 2k 22 1令 t2k 22 ，則 2k2t 22

14、 d t 225 4t 1 t 2又1k1， 2t 2當(dāng) t2時(shí)， d 有最大值 11當(dāng) t2時(shí)， k1 ，故直線 l 的方程為 yx4 解法 2：設(shè)直線l 與圓 o 相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為x0 , y0，則切線 l 的方程為 x0x y0 y 8 由x0 x y0 y8, 消去 x ，得 y02 y216 y02x02 y 64 0 x22 y.設(shè) mxm , ym , n xn , yn ，則 ymyn16 y2x200y02如圖，設(shè)拋物線c 的焦點(diǎn)為 f ，準(zhǔn)線為 l ，作 mm 1l, nn1l ，垂足分別為 m 1 , n1 由拋物線的定義有：d mf nf mm 1nn1ymyn116y

15、02x021 y02q x028 y02 ，16 y02 8 y0216 162d11 1y2y02y01 165y020q 2y022 ，當(dāng) y02 時(shí)， d 有最大值 11當(dāng) y02 時(shí)， x02 ，故直線 l 的方程為 yx4 15解： （） qf ( x)xsin x 在1,1 上是減函數(shù)，f ( x)cos x0 在1,1 上恒成立，cos x,cos xcos1,1 ，- 1又qf ( x) 在1,1 上單調(diào)遞減，f ( x) maxf (1)sin1,只需sin1 t 2t1，(t1)t 2sin110 （其中- 1）恒成立令 g()(t1)t 2sin11(-1 ) ，t10,，即t10,則10.t 1t 2sin1 10.gt-1,而 t 2tsin10 恒成立，t2tsin10.t-1（）令 f1(x)ln x , f2 (x)x22exm ，xq f1( x)