1、直線、平面平行的判定及其性質(zhì),走進(jìn)高考第一關(guān)基礎(chǔ)關(guān),教 材 回 歸,1.直線與直線(1)空間兩條直線的位置關(guān)系有_、_、_三種(2)過直線外一點(diǎn)_一條直線和這條直線平行(3)公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相_，又叫做空間平行線的傳遞性,平行,相交,異面,有且僅有,平行,(4)定理：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角_(5)空間四邊形：順次連結(jié)不共面的四點(diǎn)A、B、C、D所構(gòu)成的圖形，叫做_，這四個(gè)點(diǎn)中的各個(gè)點(diǎn)叫做空間四邊形的頂點(diǎn)；所連結(jié)的相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做_；連結(jié)不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做_空間四邊形用表示頂點(diǎn)的四個(gè)字母表示,空間四邊形的對角線,相等,空

2、間四邊形,四邊形的邊,2直線與平面平行(1)直線與平面的位置關(guān)系有：1)平行：_2)_：直線和平面有且只有1個(gè)公共點(diǎn)3)直線在平面內(nèi)：_，其中1)、2)也叫_,直線和平面沒有公共點(diǎn),相交,直線和平面有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn),直線在平面外,(2)直線與平面平行1)判定定理：平面外的一條直線與_，則該直線就與此平面平行2)性質(zhì)定理：一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的_也與該直線平行,平面內(nèi)的一條直線平行,交線,3平面與平面平行(1)平面與平面的位置關(guān)系1)平行_2)_有一條公共直線(2)平面與平面的平行1)判定定理：_.2)性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線

3、_,平行,兩平面無公共點(diǎn),兩平面相交,一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一平面平行， 則這兩個(gè)平面平行,考 點(diǎn) 陪 練,1.設(shè)AA是長方體的一條棱，這個(gè)長方體中與AA平行的棱共有()A1條B2條C3條D4條,解析：AABBCCDD.,答案：C,2b是平面外一條直線，下列條件中可得出b的是()Ab與內(nèi)一條直線不相交Bb與內(nèi)兩條直線不相交Cb與內(nèi)無數(shù)條直線不相交Db與內(nèi)任意一條直線不相交,解析：只有在b與內(nèi)所有直線都不相交，即b與無公共點(diǎn)時(shí)，b.,答案：D,3在空間，下列命題正確的是()A若a，ba，則bB若a，b，a，b，則C若，b，則bD若，a，則a,解析：若a，ba，則b或b，故A錯(cuò)誤；由面面平行

4、的判定定理知，B錯(cuò)誤；若，b，則b或b，故C錯(cuò)誤,答案：D,4.已知兩個(gè)不同的平面和兩條不重合的直線mn,有下列四個(gè)命題:若mn,n ,則m;若m,n ,則mn;若,m ,則m. 其中正確命題的個(gè)數(shù)是( ) A.1B.2 C.3D.0,答案:A,解析:有可能m ;mn還可能是異面直線;正確,故正確答案是A.,5a，b，c為三條不重合的直線，、為三個(gè)不重合的平面，現(xiàn)給出四個(gè)命題：其中正確的命題是_,答案：,解讀高考第二關(guān)熱點(diǎn)關(guān),類型一：直線與直線平行,解題準(zhǔn)備：平行于同一直線的兩條直線互相平行,典例1如圖，若a，b，c，且ab，求證：abc.,分析利用線面平行的判定定理及性質(zhì)定理及公理4即可證得

5、,證明ba，a，b，b(線線平行，則線面平行)b，c，bc(線面平行，則線線平行)，abc.,評析(1)判定定理應(yīng)用時(shí)要注意條件是平面外的一條直線，應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)注意確保這條直線是經(jīng)過這條直線的平面與已知平面的交線，條件必須充分滿足了才得結(jié)論(2)本題證明是：線線線面線線,類型二：線面平行,解題準(zhǔn)備：1.證明線面平行的方法(1)依定義采用反證法(2)判定定理法(線線平行線面平行)(3)面面平行的性質(zhì)定理(面面平行線面平行),2應(yīng)用線面平行判定定理的思路在應(yīng)用線面平行的判定定理證明線面平行時(shí)，要在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，在找(或作)這一條直線時(shí)，由線面平行的性質(zhì)定理知，在平面內(nèi)和

6、已知直線共面的直線才和已知直線平行，所以要通過平面來找(或作)這一條直線在應(yīng)用其他判定定理和性質(zhì)定理時(shí)，要注意充分利用條件構(gòu)造定理的題設(shè)，在分析思路時(shí)也要以定理作為指導(dǎo),典例2如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)且B1EC1F.求證：EF平面ABCD.,分析要證EF平面ABCD，方法有兩種：一是利用線面平行的判定定理，即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線；二是利用面面平行的性質(zhì)定理，即過EF作與平面ABCD平行的平面,證明方法一：過E作EMAB于M，過F作FNBC于N，連結(jié)MN(如圖)則EMBB1，F(xiàn)NBB1，EMFN.,AB1BC1，B1EC1F，

7、AEBF，EMFN，四邊形EMNF是平行四邊形，EFMN.又EF平面ABCD，MN平面ABCD，EF平面ABCD.,方法二：連結(jié)B1F，并延長交BC的延長線于點(diǎn)P，連結(jié)AP(如圖)BPB1C1，B1FC1PFB，又EF平面ABCD，AP平面ABCD，EF平面ABCD.,方法三：過點(diǎn)E作EHBB1于點(diǎn)H，連結(jié)FH(如圖)B1C1BC，F(xiàn)HBC.EHFHH，平面EFH平面ABCD.EF平面EFH，EF平面ABCD.,評析判斷或證明線面平行的常用方法有：(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；(2)利用線面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(，aa)；(4)利用面面平行的性

8、質(zhì)(，a，a，aa),探究1如圖，已知：P是ABCD所在平面外一點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)求證：PD平面MAC.,分析根據(jù)線面平行判定定理知要證線面平行關(guān)鍵是尋找線線平行,證明連結(jié)AC、BD相交于O點(diǎn)，連結(jié)MO.O為BD的中點(diǎn)，M為PB的中點(diǎn)，MOPD.又MO平面ACM，PD平面ACM，PD平面MAC.,評析證明線面平行，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線b，使ab，如果沒有現(xiàn)成的平行線，應(yīng)根據(jù)條件作出平行線，有中點(diǎn)的常作中位線，簡稱中位線法,類型三：面面平行的證明方法,解題準(zhǔn)備：1.證明面面平行的方法除了面面平行的判定定理外，還有：(1)如果兩個(gè)平面垂直于同一條直線，那么這兩個(gè)平面平行(2)如果兩個(gè)平面和同一

9、個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行,2平行問題的轉(zhuǎn)化方向如圖所示：,注意：(1)在平面和平面平行的判定定理中，“兩條相交直線”中的“相交”兩個(gè)字不能忽略，否則結(jié)論不一定成立(2)若由兩個(gè)平面平行來推證兩條直線平行，則這兩條直線必須是這兩個(gè)平行平面與第三個(gè)平面的交線，有時(shí)第三個(gè)平面需要作出來,典例3如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，其棱長為1.求證：平面AB1C平面A1C1D,分析要證明面AB1C面A1C1D，根據(jù)面面平行的判定定理或推論，只要證明AC面A1C1D，AB1面A1C1D，且ACAB1A，即可,評析證明平面與平面相互平行，一般利用面面平行的判定定理或其推論，將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平

10、行或線線平行來證明具體方法有：(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行；(4)兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化,探究2如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1，D是BC上一點(diǎn)，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1平面AC1D.,解連結(jié)A1C交AC1于點(diǎn)E，四邊形A1ACC1是平行四邊形，E是A1C的中點(diǎn)，連結(jié)ED，A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，A1BED，E是A

11、1C的中點(diǎn)，D是BC的中點(diǎn)又D1是B1C1的中點(diǎn)，在三棱柱ABCA1B1C1中，BD1C1D，A1D1AD，又A1D1BD1D1，ADC1DD平面A1BD1平面AC1D.,笑對高考第三關(guān)成熟關(guān),名 師 糾 錯(cuò),誤區(qū)：以特殊代替一般、以偏概全致誤,典例已知，AB，CD是夾在與間的兩條線段，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，CD上，且AE:EBCF:FDm:n， 求證：EF，EF.,剖析容易利用下圖(1)或圖(2)中的特殊圖形代替一般證明，對AB與CD異面這種更一般的情形缺乏分析，由此產(chǎn)生特殊代替一般的證明錯(cuò)誤,正解當(dāng)AB，CD共面時(shí)，如圖(1)、(2)所示，根據(jù)平行線分線段成比例定理，知EFAC，EFBD，立

12、即推出EF，EF；當(dāng)AB，CD異面時(shí)，如圖(3)所示，過點(diǎn)A作AGCD交平面于點(diǎn)G，連接DG，過點(diǎn)F作FHAC交AG于點(diǎn)H，連接HE.由，知ACGD，則HFGD，所以HF；由于ACHFGD，故CF:FDAH:HGm:nAE:EB，則EHBG，所以EH.綜上，可知平面EFH平面，又，故平面EFH 平面.由于EF平面EFH，故EF，EF.,評析在立體幾何中當(dāng)已知兩條直線時(shí)，要充分考慮到這兩條直線的各種位置關(guān)系，不要只考慮兩條直線共面的情況，還要把它們異面的情況考慮進(jìn)去由于空間圖形位置關(guān)系的多樣性，就導(dǎo)致了部分考生僅僅憑借這種多樣位置關(guān)系的一種解決問題的情況，導(dǎo)致解答不全,變式：如圖所示，平面四邊形

13、ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，D均在平行四邊形ABCD所確定的平面外，且AA，BB，CC，DD互相平行求證：四邊形ABCD是平行四邊形,證明：四邊形ABCD 是平行四邊形，ADBC.AABB，且AA，AD是平面AADD內(nèi)的兩條相交直線，BB，BC是平面BBCC內(nèi)的兩條相交直線，平面AADD平面BBCC.又AD，BC分別是平面ABCD與AADD，平面BBCC的交線，故ADBC.同理可證ABCD.四邊形ABCD是平行四邊形.,解 題 策 略,1.線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換 2解答或證明線面、面面平行的有關(guān)問題，常常要作輔助線或輔助面,注意：(1)所作的輔助線或面需要有理論依據(jù)；(2)輔助線

14、或面具有什么性質(zhì)，一定要以某一性質(zhì)定理作為依據(jù)，不能隨意添加,3證“線面平行”的方法(1)依定義采用反證法；(2)判定定理(線線線面)；(3)面面平行的性質(zhì)定理(面面線面)；(4)向量法(平面外的直線的方向向量a與平面的法向量n垂直，即an0),4證明“面面平行”的方法(1)依定義采用反證法；(2)用判定定理或推論；(3)用“同垂直于一條直線的兩個(gè)平面平行”來判定；(4)依據(jù)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行來判定；(5)向量法(兩個(gè)平面的法向量平行),快 速 解 題,典例 如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1棱AA1，CC1上的點(diǎn)且AEC1F.求證：四邊形EBFD1是平行四邊

15、形,錯(cuò)解在正方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ADD1平面B1BCC1，由兩平行平面與第三平面相交，得交線平行，故D1EFB，同理可證D1FEB，故四邊形EBFD1為平行四邊形,錯(cuò)解分析錯(cuò)解主要錯(cuò)在盲目地在立體幾何證明中套用平面幾何定理立體幾何問題只有在化歸為平面幾何問題后才能直接使用平面幾何知識解題正確的思路應(yīng)分為兩步，第一步將立體幾何問題化歸為平面幾何問題，即先證明四邊形EBFD1為平面四邊形(四點(diǎn)共面)，第二步再證四邊形EBFD1為平行四邊形，或者用平行四邊形的充要條件證明,教 師 備 選,典例(一題多法)一條直線分別與兩個(gè)相交平面平行，那么這條直線必與它們的交線平行已知：平面平面

16、l，直線a平面，直線a平面.求證：直線a直線l.,證明證法1：作輔助平面如圖，a，過a作平面交平面于c，ac(線面平行的性質(zhì)定理)同理過a作平面交平面于d，ad.由公理4，ac，ad，得cd，又c，d，cd，c(線面平行的判定定理)c，c，l，cl(線面平行的判定定理)又ac，由公理4，al.,證法2：同一法如圖，在平面和平面的交線l上取一點(diǎn)A，過A作直線la.a，l在內(nèi)(一條直線與一個(gè)平面平行，那么過平面內(nèi)的一點(diǎn)而與這條直線平行的直線都在這個(gè)平面內(nèi))同理a，l也在內(nèi)l既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)由公理3知l就是平面與平面的交線，即l與l重合又la，la.,證法3：利用平行線關(guān)系如圖，a，過a作平面

17、交平面于不同于直線l的直線c，則ca.又a，c.而平面是過c的平面且與平面相交于直線l.由線面平行的性質(zhì)定理，得cl.又ac，由公理4知，al.,證法4：錯(cuò)助輔助平面如圖，過平面與平面的交線l上一點(diǎn)A和直線a作平面.與、有公共點(diǎn)A，則分別與、有過A的一條交線，設(shè)為l與l，但過A點(diǎn)有且只有一條直線平行于a，l與l重合，且這條直線既在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，故一定是平面與平面的交線l.l、l、l三條直線重合，則al.,證法5：反證法若直線a不平行于直線l，則a與l相交或異面當(dāng)a與l相交時(shí)，則a就與l所在的平面和平面相交，這與已知a，相矛盾，所以這是不可能的當(dāng)a與l異面時(shí)，過l平行于a的平面只有一個(gè)，但

18、已知平面和平面是兩個(gè)不同的平面都過l且均與直線a平行，因此a與l異面也是不可能的因此直線a與直線l既不相交也不異面，故al.,證法6：過a作平行平面研究交線關(guān)系如圖，過直線a作平面與平面平行平面與平面相交，平面也必與平面相交設(shè)平面與平面的交線為b.a，ab.又lb(如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行)由公理4，知al.,證法7：借助輔助平面，將平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系來證明如圖，作平面，使直線a.a，(一條直線如果平行于一個(gè)平面，那么平行于這條直線的平面也垂直于這個(gè)平面)同理可證，.l(兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線也垂直于第三個(gè)平面)l，a，al(垂直于

19、同一平面的兩條直線平行),評析(1)證法1、證法3、證法4是利用平行關(guān)系(線面平行的判定與性質(zhì)定理)證明，是直接法；證法2與證法4是同一法，證法5是反證法，同一法與反證法屬于間接證明，證法7利用垂直關(guān)系證明的(2)上述方法主要是掌握證法1、證法3、證法4，這三種證法思路簡捷、明快，是直接應(yīng)用線面平行的判定定理或性質(zhì)定理來證明的其他方法僅作了解，以拓寬知識面(3)證明過程中用到了一些常用的結(jié)論(括號內(nèi)結(jié)論)，對這些結(jié)論要在理解的基礎(chǔ)上牢記它們，這樣做有助于我們解決其他問題,課時(shí)作業(yè)五十直線、平面平行的判定及其性質(zhì),一、選擇題1(基礎(chǔ)題，易)下列命題中，是假命題的是()A三角形的兩條邊平行于一個(gè)平

20、面，則第三邊也平行于這個(gè)平面B平面平面，a，過內(nèi)的一點(diǎn)B有唯一的一條直線b，使baC，、分別與、的交線為a、b、c、d，則abcdD一條直線與兩個(gè)平面成等角是這兩個(gè)平面平行的充要條件,答案：D,解析：D錯(cuò)誤當(dāng)兩平面平行時(shí)，則該直線與兩個(gè)平面成等角；反之，如果一條直線與兩個(gè)平面成等角，這兩個(gè)平面可能是相交平面如圖，直線AB與、都成45角，但l.,2(基礎(chǔ)題，易)已知，a，B，則在內(nèi)過點(diǎn)B的所有直線中()A不一定存在與a平行的直線B只有兩條與a平行的直線C存在無數(shù)條與a平行的直線D存在唯一一條與a平行的直線,解析：B點(diǎn)與a確定一平面與相交，設(shè)交線為b，則ab.,答案：D,3(基礎(chǔ)題，易)對于直線m

21、、n和平面，下列命題中的真命題是()A如果m，n，m、n是異面直線，那么nB如果m，n，m、n是異面直線，那么n與相交C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，n，m、n共面，那么mn,答案：C,解析：A中當(dāng)nA，Am，則有m、n是異面直線，故A是錯(cuò)誤的B中n與可能相交，也可能平行，故B是錯(cuò)誤的C中由線面平行的性質(zhì)定理可知C是正確的D中m、n可能相交，也可能平行，故D是錯(cuò)誤的,評析：(1)該題主要考查直線和平面的位置關(guān)系和空間想象能力(2)n包括兩種情況n及n與相交，這是學(xué)生常出錯(cuò)的地方，應(yīng)引起重視,4(基礎(chǔ)題，易)如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系

22、一定是()A平行B相交C平行或相交 D垂直相交,答案：C,解析：可根據(jù)題意作圖，判斷之,如圖中的(1)、(2)分別為兩個(gè)平面平行、相交的情形,5(基礎(chǔ)題，易)平面平面的一個(gè)充分條件是()A存在一條直線a，a，aB存在一條直線a，a，aC存在兩條平行直線a，b，a，b，a，bD存在兩條異面直線a，b，a，b，a，b,答案：D,解析：對于選項(xiàng)A，當(dāng)、兩平面相交，直線a平行于交線時(shí)，滿足要求，故A不對；對于B，兩平面、相交，當(dāng)a在平面內(nèi)且a平行于交線時(shí)，滿足要求，但與不平行；對于C，同樣在與相交，且a，b分別在、內(nèi)且與交線都平行時(shí)滿足要求；故只有D正確，因?yàn)閍、b異面，故在內(nèi)一定有一條直線a與a平行

23、且與b相交，同樣，在內(nèi)也一定有一條直線b與b平行且與a相交，由面面平行判定的推論可知其正確,評析：本題主要考查了面面平行的判定與基本線面知識,6(基礎(chǔ)題，易)過平行六面體ABCDA1B1C1D1任意兩條棱的中點(diǎn)作直線，其中與平面DBB1D1平行的直線共有()A4條 B6條C8條 D12條,答案：D,解析：如圖，在平平六面體ABCDA1B1C1D1中E，F(xiàn)，G，H，M，N，P，Q分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，容易證明平面EFGH、平面MNPQ均與平面DBB1D1平行而平面EFGH和平面MNPQ中分別有6條直線(四條邊和兩條對角線)滿足條件；共有12條直線符合要求,二、填空題7(能力題，中)下圖中四個(gè)正方體

24、圖形，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB面MNP的圖形的序號是_(寫出所有符合要求的圖形序號),答案：(1)(3),解析：(1)面AB面MNP，AB面MNP.(2)觀察圖知AB與面MNP相交(3)易知ABMP，AB面MNP.(4)如圖所示，過M作MCAB，MC面MNP，AB與面MNP不平行,評析：要有線面平行，先有線線平行，故在面MNP內(nèi)找出或作出與AB平行的直線，是解決此題的關(guān)鍵另外有些同學(xué)對(4)這樣的稍微復(fù)雜的圖感到無從下手，也可借助向量法解決,8(基礎(chǔ)題，易)給出下列關(guān)于互不相同的直線l，m，n和平面，的三個(gè)命題：若l與m為異面直線，l，m，則；若，l

25、，m，則lm；若l，m，n，l，則mn.其中真命題的序號為_(寫出所有真命題的序號),答案：,解析：由線面關(guān)系知，也可能相交，故錯(cuò)；由線面關(guān)系知l，m還可能異面；三個(gè)平面兩兩相交，由線面平行關(guān)系知，mn正確,9(2010鄭州)(開放題，易)考察下列三個(gè)命題，在“_”處都缺少一個(gè)條件，補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi)，m為直線，、為平面)，則此條件為_,答案：l,解析：體現(xiàn)的是線面平行的判定定理，缺的條件是“l(fā)為平面外的直線”即“l(fā)”它同樣也適合，故填l.,三、解答題10(基礎(chǔ)題，易)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M、N分別為AB、PC的中點(diǎn)，平面PAD平面PBCl.(1)判斷BC與l的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)判斷MN與平面PAD的位置關(guān)