1、上海大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系 崔洪泉,高等數(shù)學(xué),A,（一）,辦公室 F-608 (66132415),緒 論,1. 高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象與方法,數(shù)學(xué)是研究客觀世界的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué), 即研究的是數(shù)與形，是辯證思維的輔助工具和表現(xiàn)形式。,我們可以將數(shù)學(xué)思想按其演變的線索分成為：常量數(shù)學(xué)變量數(shù)學(xué)隨機(jī)數(shù)學(xué)模糊數(shù)學(xué) 等四種數(shù)學(xué)思想，每種數(shù)學(xué)思想之間不僅發(fā)生了質(zhì)的變化，而且標(biāo)志著數(shù)學(xué)研究對(duì)象和方法的重大變化。,一般說，常量數(shù)學(xué)思想時(shí)期是從公元前6世紀(jì) 到17世紀(jì)，研究的對(duì)象是不變的數(shù)量關(guān)系 和固定的空間形式，數(shù)與形是分開研究的。,其主要標(biāo)志是算術(shù)代數(shù)與幾何，算術(shù)是研究離散固定的數(shù)，代數(shù)研究方程的固定解，幾

2、何研究平面和空間固定的圖形。常量數(shù)學(xué)思想是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界固定的數(shù)與形的抽象，是孤立靜止地研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系。,變量數(shù)學(xué)思想時(shí)期是從17世紀(jì)到19世紀(jì)20 年代。數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是變量。變量數(shù)學(xué)思想是用 運(yùn)動(dòng)、發(fā)展和聯(lián)系的辨證觀點(diǎn)來分析和把握對(duì)象的 數(shù)與形統(tǒng)一關(guān)系，其主要標(biāo)志是解析幾何和微積分。 解析幾何在數(shù)學(xué)概念思維領(lǐng)域里實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形關(guān)系 的溝通，微積分使人類思維進(jìn)入無限小分析領(lǐng)域， 使人類視野由有限發(fā)展到無限，由靜止發(fā)展到運(yùn)動(dòng)， 微積分為人們描述宇宙運(yùn)動(dòng)提供了簡明而精確的數(shù) 學(xué)工具，成為自然科學(xué)與技術(shù)發(fā)展中精確表述 它們的規(guī)律和解決它們的問題的有力武器。,在理科各系，高等數(shù)學(xué)是以微積分為主體的

3、。,微積分的起源主要來自兩方面的問題：一是力 學(xué)的一些新問題，已知路程對(duì)時(shí)間的關(guān)系求速度， 及已知速度對(duì)時(shí)間的關(guān)系求路程，二是幾何學(xué)的一 些相當(dāng)老的問題，作曲線的切線和確定面積和體積 等問題。這些在古代就研究過，在17世紀(jì)初期開普 勒、卡瓦列里和許多其他數(shù)學(xué)家也研究過，但是這 兩類問題之間的顯著關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，解決這些問題的 一般方法的形成，要?dú)w功于牛頓(Newton，英)和萊 布尼茲(Leibniz，德) 。,微積分是人類二千年來智力奮斗的結(jié)晶，有著 廣泛而深刻的應(yīng)用，又是其他課程的基礎(chǔ)。,牛頓和萊布尼茲超越前人的功績?cè)谟冢麄兡軌蛘驹诟叩慕嵌?，?duì)于以往分散的努力加以綜合，將自古希臘以來求解無

4、窮小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普遍的算法微分和積分，并且確定了兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最后的、也是最關(guān)鍵的一步，在17世紀(jì)后半葉建立了微積分。微積分的發(fā)現(xiàn)在科學(xué)史上具有決定性的意義。,下面我們以兩個(gè)具體的問題為例，來簡單了 解一下用微積分解決問題時(shí)所采用的一般方法。 其中用到的有關(guān)概念和方法在以后的課程中我們 會(huì)作深入細(xì)致的介紹和分析。,求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題。,速度 =,路程,時(shí)間,設(shè)變速直線運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)為 s = s(t) ,求 t0 時(shí)刻的瞬時(shí)速度 v(t0) .,t = 0, v = v0,t = t0 - v = ?,t,s,在時(shí)間 t 內(nèi)的平均速度：,t =

5、 t0+t -,例1：,所以物體運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度是位置函數(shù)的 增量和時(shí)間增量的比當(dāng)時(shí)間增量趨于零時(shí)的 極限。,兩個(gè)增量比的極限稱為變化率。,速度就是位置函數(shù)對(duì)時(shí)間的變化率。,例2.,已知：質(zhì)點(diǎn)作變速直線運(yùn)動(dòng)。速度 v = v(t) 是時(shí)間間隔 T1, T2 上的一個(gè)連續(xù)函數(shù), 且 v(t) 0. 求：在 T1, T2 內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的 位移 S。,因?yàn)樗俣葀(t)是在 T1, T2 上連續(xù)變 化，那么在很小的一段時(shí)間間隔中變化不 大，可看成是勻速運(yùn)動(dòng)。,分析:,S = v t,求變速直線運(yùn)動(dòng)的位移問題。,步驟：,(1) 分割,將 T1, T2 用分點(diǎn)任意分成幾個(gè)小區(qū)間,其長度分別為,(i = 1,

6、2,n).,設(shè)在這些時(shí)間段內(nèi)質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)過的路程依次為:,則,(2) 取近似,任取一點(diǎn)（時(shí)刻）,(3) 作和,(4) 求極限,即為所求路程。,上述兩個(gè)問題盡管所求的量不同， 但采用方法卻是相同的：即都是在 微小局部“以勻代非勻”，將問題轉(zhuǎn) 化為勻速運(yùn)動(dòng)，求得近似值，通過 求極限轉(zhuǎn)化為精確值。這是微積分 解決問題的基本思想方法。體現(xiàn)了 分析矛盾、通過矛盾的轉(zhuǎn)化解決矛 盾的辯證法。與初等數(shù)學(xué)主要依據(jù) 形式邏輯的推理方法有很大不同。,由于高等數(shù)學(xué)的研究對(duì)象和研究方法 與初等數(shù)學(xué)有很大的不同，因此，高等數(shù) 學(xué)呈現(xiàn)出概念更復(fù)雜、理論性更強(qiáng)、表達(dá) 形式更加抽象和推理更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘@著特點(diǎn)。 同學(xué)在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時(shí)

7、候，應(yīng)當(dāng)認(rèn)真閱 讀和深入鉆研教材的內(nèi)容，并配合做大量 的習(xí)題。通過閱讀和練習(xí)，使我們不但掌 握數(shù)學(xué)的基本運(yùn)算方法，而且可以幫助我 們更好地理解概念、理論和思想方法。,2. 本門課程的特點(diǎn),（1）進(jìn)度快，復(fù)習(xí)時(shí)間少,（2）習(xí)題多，計(jì)算量大,（3）概念、公式多，學(xué)分高,為全校統(tǒng)考課程（教考分離）,3. 作業(yè) 自我訓(xùn)練的重要一步,要求：清潔工整、抄上題目、寫出步驟。,完成質(zhì)量的好壞將在平時(shí)成績中體現(xiàn)。,每周一按小組收作業(yè)，交作業(yè)的次數(shù)及,3. 微積分教程,韓云瑞、扈志明主編,參 考 書 目,1. 微積分,2.微積分學(xué)習(xí)指導(dǎo)書,同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系,高等教育出版社,高等教育出版社,清

8、華大學(xué)出版社,本 學(xué) 期 內(nèi) 容,第一章 函數(shù)與極限 第二章 導(dǎo)數(shù)與微分 第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第四章 不定積分,第 一 章,函 數(shù) 與 極 限,1. 映射與函數(shù),一、集合,把一定的并且彼此可以明確識(shí)別的事物 （這種事物可以是直觀的對(duì)象，也可以是思 維的對(duì)象）放在一起，稱為一個(gè)集合。, 喬治 康托,（德國數(shù)學(xué)家、集合論創(chuàng)始人）,集合：,A、B、C、D、E、,元素：,a, b, c, d, e, x, y, z, ,a 屬于A :,x 不屬于 E ：,集合 A 包含于集合 B ：,(B包含A),A 稱為 B 的子集。,A = B ：,集 合 的 運(yùn) 算,集合A與B的并集,集合A與B的

9、交集,集合A的余集,集合 A 是基本集 I 的子集，,集合A與B的差集,I A 稱為 A 的余集。,記為 AC。,.,。,區(qū)間與鄰域,區(qū)間用不等式表示：,x,-1,1,0,區(qū)間用集合表示：,x,0,?,表示滿足不等式,的所有,點(diǎn) x 的集合。,此區(qū)間稱為點(diǎn) a 的 鄰域, 記為,稱為點(diǎn) a 的 去心鄰域,x,。,。, 稱為鄰域半徑。,a,a 稱為鄰域中心，,若此鄰域中不包含點(diǎn) a , 即,記為,或,二、映射,某校學(xué)生的集合,學(xué)號(hào)的集合,某班學(xué)生的集合,某教室座位的集合,引例1.,引例2.,引例3.,(點(diǎn)集),(點(diǎn)集),向 y 軸投影,定義：,設(shè) X, Y 是兩個(gè)非空集合，如果存在,一個(gè)法則 f

10、 , 使得對(duì) X 中每個(gè)元素 x , 按法則,f ，在 Y 中有唯一確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng)，,則稱 f 為從 X 到Y(jié) 的映射 (算子)，記作,f ：X Y,其中 y 稱為元素 x (在映射 f 下)的像，記作,f (x)，,即 y = f (x),而元素 x 稱為 y (在映射 f 下)的一個(gè)原像。,X 映射的定義域，記作 Df,X 中所有元素的像所組成的集合稱為映射,注：像唯一，原像不一定唯一。,幾種特殊的映射：,設(shè) f 是 X 到Y(jié) 的映射，若Rf =Y ，則稱,的值域，記作 Rf 或 f (X).,f 為 X 到 Y 上的映射或滿射。,2. 若對(duì) X 中任意兩個(gè)不同的元素,它們的像,

11、則稱 f 為 X 到 Y,的單射（或一對(duì)一映射）,3. 若 f 既是滿射，又是單射，則稱 f 為,雙射（或一一映射）,4. 逆映射和復(fù)合映射的概念請(qǐng)同學(xué)們自己,例見書第6頁例2。,看教材。,三、函數(shù),近代數(shù)學(xué)的主體主要是圍繞著函數(shù)和極限概念展開的。函數(shù)概念最早是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲(1646-1716)引進(jìn)的。他在1673年的一篇手稿里使用了函數(shù)一詞。在數(shù)學(xué)史上，這是一大進(jìn)步。它使得人們可以從數(shù)量上描述運(yùn)動(dòng)了。當(dāng)時(shí)的函數(shù)指的是可以用解析式子表示的函數(shù)。但這種概念對(duì)數(shù)學(xué)和科學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展來說是太狹窄了。用符號(hào)“x”表示一般函數(shù)的是瑞士數(shù)學(xué)家伯努利(1667-1748)，他在1718年使用了這一表示

12、。這是函數(shù)概念從解析表達(dá)式走向抽象表示的第一步。1734年瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(1707-1783)用 f (x) 作為函數(shù)的記號(hào)。歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷(1805-1859)。他在1829年給出了下面的著名函數(shù)：,這個(gè)函數(shù)具有兩個(gè)特點(diǎn)：,（1）沒有公式；函數(shù)定義從解析式子中解放了 出來；,（2）沒有圖形；函數(shù)定義從幾何直觀中解放了 出來。,這個(gè)進(jìn)步相當(dāng)于從具體數(shù)字到字母表示。,進(jìn)而，在1837年他給出了函數(shù)的如下定義：,如果對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè) x 值，都有惟一的 y 值與它對(duì)應(yīng)，那么 y 是 x 的函數(shù)。,下面我們從映射的角度來定義函數(shù)， 它與狄利克雷在1837年給

13、出的函數(shù)的一般 定義是完全相符的。,直到19世紀(jì)集合論誕生后，才出現(xiàn)現(xiàn) 在的函數(shù)定義。,x 自變量，,y 因變量。,定義在 D 上的函數(shù)，簡記為,定義域、函數(shù)值、值域。,1. 函數(shù)的定義：,例：,構(gòu)成函數(shù)的基本要素： 定義域及對(duì)應(yīng)法則,函數(shù)的圖象：,由,所確定的平面點(diǎn)集。(一般為平面曲線),函數(shù)相等：,判斷下列函數(shù)是否為相等函數(shù)：,必須定義域及對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同。,例：,（常值函數(shù)）,定義域不同,對(duì)應(yīng)關(guān)系不同,四組函數(shù)均為不同函數(shù),(1) 絕對(duì)值函數(shù),(2) 符號(hào)函數(shù),幾個(gè)函數(shù)的例子：,sgn x =,1,-1,顯然，,.,。,。,(3) 取整函數(shù),表示不大于 x 的最大整數(shù)。,如：,3.14,0

14、.15,= 3,= 0.,函數(shù)的表示法：,公式法，圖象法，列表法。,公式法中,當(dāng)自變量在不同范圍內(nèi)取值時(shí)用,不同的式子所表示的函數(shù),稱為分段函數(shù)。,又如：,1,2,如符號(hào)函數(shù)。,例1.,解：,函數(shù)的隱式表示：, 隱函數(shù),為函數(shù)的顯式表示,如, 顯函數(shù),為函數(shù)的隱式表示,若其中隱含,公式法的幾種表示形式：,函數(shù)的參數(shù)表示：,表示擺線（旋輪線）的一擺。,引入?yún)?shù)來建立 x, y 的函數(shù)關(guān)系：,表示：,f ： X Y,如：,表示上半圓周,a,圓上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,旋輪線的動(dòng)畫演示,一圓沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，,來看動(dòng)點(diǎn)的慢動(dòng)作,圓上任一點(diǎn)所畫出的曲線。,一圓沿直線無滑動(dòng)地滾動(dòng)，,旋輪線的動(dòng)畫演示,2

15、a,2a,a,x = a ( t sin t ) y = a (1 cos t ),t,a,當(dāng) t 從 0 2，x 從 0 2a,即曲線走了一拱,a,觀察動(dòng)點(diǎn)的軌跡:,a, a,星形線,(圓內(nèi)旋輪線),一圓沿另一圓內(nèi)緣無滑動(dòng) 地滾動(dòng)，動(dòng)圓圓周上任一 點(diǎn)所畫出的曲線。,觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),a, a,觀察動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),星形線,(圓內(nèi)旋輪線),a, a,0 2,或,.,P,星形線,(圓內(nèi)旋輪線),2. 函數(shù)的性質(zhì),(1) 奇偶性,f (x) 的定義域 D 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱, 對(duì)任一,若都有,則稱 f (x)為偶函數(shù)；,若都有,則稱 f (x)為奇函數(shù)。,* 偶函數(shù)的圖形關(guān)于 y 軸對(duì)稱，,* 奇函數(shù)的圖形關(guān)于

16、原點(diǎn)對(duì)稱。,思考,設(shè) f (x) 為 ( l, l ) 上的任意函數(shù)，則,f (x)能否表示成一奇函數(shù)與一偶函數(shù)的和？,關(guān)于奇偶函數(shù)的一些常用的結(jié)論,可以參見教材第 24 頁習(xí)題 7。,能!,(2) 有界性,否則稱無界。,設(shè) f (x) 的定義域?yàn)镈，若存在正數(shù) M，,使對(duì)任一,則稱 f (x) 在 D 上有界，,如：,= M，,為D上的有界函數(shù)。,無界。,有界。,1,2,(3) 單調(diào)性,統(tǒng)稱 f (x)為 I 上的單調(diào)函數(shù), I 為單調(diào)區(qū)間。,設(shè) f (x) 的定義域?yàn)镈，區(qū)間,對(duì) I 上任二點(diǎn) x1, x2 , 當(dāng) x1 x2 時(shí)，若都有,則稱 f (x) 在 I 上單調(diào)增加,則稱 f (

17、x) 在 I 上單調(diào)減少,如：,(4) 周期性,l 如存在，則可能不唯一。一般我們,設(shè) f (x) 的定義域?yàn)镈，若存在數(shù) l ( l 0),使對(duì)任一個(gè),都有,則稱 f (x) 為周期函數(shù)，l 為 f (x) 的周期。,y = sin x , y = cos x 都是周期函數(shù)。,且周期都為,且,說周期函數(shù)的周期是指最小正周期。,注: 周期函數(shù)不一定存在最小正周期.,例如,又如狄里克雷函數(shù),x 為有理數(shù),x 為無理數(shù),常量函數(shù),任一不為零的實(shí)數(shù)都是它的周期.,可以證明任一不為零的有理數(shù)都是它的周期.,其反函數(shù)：, 直接函數(shù),3. 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù),函數(shù),與其反函數(shù),的圖形關(guān)于直線,對(duì)稱.,注：單

18、調(diào)是函數(shù)存在反函數(shù)的充分非必要條件。,如：,復(fù)合函數(shù),簡稱復(fù)合函數(shù)，記作,其中 u 稱為中間變量。,即 u = g(x) 的值域 R(g) 與 y = f (u) 的定義域,D( f ) 的交集非空時(shí)，,為復(fù)合函數(shù)。,設(shè) y 是 u 的函數(shù)：y = f (u),而 u 又是 x 的函數(shù)：u = g(x),且 g(x) 的值域全部或部分包含在 f (u) 的定義域內(nèi),則 y 通過 u 成為 x 的函數(shù)：,它是由 y = f (u), u = g(x) 復(fù)合而成。,同學(xué)們：你們好！,本學(xué)期作業(yè)安排在每周一交。為了 有一個(gè)良好的教學(xué)環(huán)境，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谀?的作業(yè)本封面的右上角寫上英文字母編 號(hào)，并在姓名處寫上學(xué)號(hào)，謝謝配合。,A組： B組： C組： D組： E組：