1、基本不等式,這是2002年在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會會標會標根據(jù)中國古代數(shù)學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去象一個風車，代表中國人民熱情好客。,思考：這會標中含有怎樣的幾何圖形？,思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？,探究1,a,b,1、正方形ABCD的 面積S=,、四個直角三角形的 面積和S =,、S與S有什么 樣的不等關系？,探究：,S_S,問：那么它們有相等的情況嗎？,重要不等式： 一般地，對于任意實數(shù)a、b，我們有,當且僅當a=b時，等號成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,思考：你能給出不等式 的證明嗎？,證明：（作差法）,結論：一般地，對于任

2、意實數(shù)a、b，總有 當且僅當a=b時，等號成立,文字敘述為:,兩數(shù)的平方和不小于它們積的2倍.,適用范圍：,a,bR,問題一,問題一,替換后得到：,即：,即：,你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？,問題二,證明：要證,只要證,要證，只要證,要證，只要證,顯然, 是成立的.當且僅當a=b時, 中的等號成立.,分析法,問題二,證明不等式：,特別地，若a0，b0，則,通常我們把上式寫作：,當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.,基本不等式,在數(shù)學中，我們把 叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)， 叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)；,文字敘述為： 兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).,適用范

3、圍：,a0,b0,你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問題三,RtACDRtDCB，,A,B,C,D,E,a,b,O,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點C是AB上一點, AC=a, BC=b. 過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD、OD.,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,你能用這個圖得出基本不等式的幾何解釋嗎?,問題三,如何用a, b表示CD? CD=_,如何用a, b表示OD? OD=_,OD與CD的大小關系怎樣? OD_CD,如圖, AB是圓的直徑, O為圓心，點C是AB上一點, AC=a, BC=b. 過點C作垂直于AB的弦DE,連

4、接AD、BD、OD.,幾何意義：圓的半徑不小于半弦長,A,D,B,E,O,C,a,b,例1 求證： （1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大； （2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。,例1 求證： （2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。,小結,即：和定積最大，積定和最小。,注意 用基本不等式求最值的三個必要條 件： 一“正”、二“定”、三“相等”,例2: 某居民小區(qū)要建一做八邊形的休閑場所,它的主體造型平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成的面積為200平方米的十字型地域.計劃在正方形MNPQ上建一座花壇,造價為每平方米4200元,在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪,造價每平方米210元,再在四個空角(圖中四個三角形)上鋪草坪,每平方米造價80元. (1)設總造價為S元,AD長 x 為米,試建立S關于x的函數(shù)關系式; (2)當為何值時S最小, 并求出這個最小值.,解:設AM=y米,課堂小結：,求最值時注意