1、一、數(shù)與式的運(yùn)算必會的乘法公式【公式1】證明： 等式成立【例1】計算：解：原式=說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按某個字母的降冪或升冪排列【公式2】(立方和公式)證明: 說明:請同學(xué)用文字語言表述公式2.【例2】計算： （2a+b）（4a2-2ab+b2）=8 a3+b3【公式3】(立方差公式)1計算（1）（3x+2y）（9x2-6xy+4y2）=（2）（2x-3）（4x2+6xy+9）=（3）=（4）（a+b）（a2-ab+b2）（a-b）（a2+ab+b2）=2利用立方和、立方差公式進(jìn)行因式分解 （1）27m3-n3=（2）27m3-n3=（3）x3-125=（4） m6-n6=【公式4】【公

2、式5】【例3】計算：（1）（2）（3）（4）解：（1）原式=（2）原式=（3）原式=（4）原式=說明：（1）在進(jìn)行代數(shù)式的乘法、除法運(yùn)算時，要觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)是否滿足乘法公式的結(jié)構(gòu) （2）為了更好地使用乘法公式，記住1、2、3、4、20的平方數(shù)和1、2、3、4、10的立方數(shù)，是非常有好處的【例4】已知，求的值解： 原式=說明：本題若先從方程中解出的值后，再代入代數(shù)式求值，則計算較煩瑣本題是根據(jù)條件式與求值式的聯(lián)系，用整體代換的方法計算，簡化了計算請注意整體代換法本題的解法，體現(xiàn)了“正難則反”的解題策略，根據(jù)題求利用題知，是明智之舉【例5】已知，求的值解：原式= ，把代入得原式=說明：注意字母的

3、整體代換技巧的應(yīng)用【例6】設(shè)，求的值解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當(dāng)直接代入運(yùn)算較復(fù)雜時，可根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量二、因式分解因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形在分式運(yùn)算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用是一種重要的基本技能因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等（一）、公式法【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多項式：(1) (2) 分析： (1)中，(2)中解：(1

4、) (2) 說明：(1) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時，經(jīng)常要逆用冪的運(yùn)算法則，如，這里逆用了法則；(2) 在運(yùn)用立方和(差)公式分解因式時，一定要看準(zhǔn)因式中各項的符號【例2】分解因式：(1) (2) 分析：(1) 中應(yīng)先提取公因式再進(jìn)一步分解；(2) 中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或解：(1) (2) （二)、分組分解法從前面可以看出，能夠直接運(yùn)用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提取因此，可以先將多項式分組處理這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組1分組后能提取公因式【例3】把分解因式

5、分析：把多項式的四項按前兩項與后兩項分成兩組，并使兩組的項按的降冪排列，然后從兩組分別提出公因式與，這時另一個因式正好都是，這樣可以繼續(xù)提取公因式解：說明：用分組分解法，一定要想想分組后能否繼續(xù)完成因式分解，由此合理選擇分組的方法本題也可以將一、四項為一組，二、三項為一組，同學(xué)不妨一試【例4】把分解因式分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號打開后重新分組，然后再分解因式解：說明：由例3、例4可以看出，分組時運(yùn)用了加法結(jié)合律，而為了合理分組，先運(yùn)用了加法交換律，分組后，為了提公因式，又運(yùn)用了分配律由此可以看出運(yùn)算律在因式分解中所起的作用2分組后能直接運(yùn)用公式【例5】把分解因式分析：把第

6、一、二項為一組，這兩項雖然沒有公因式，但可以運(yùn)用平方差公式分解因式，其中一個因式是；把第三、四項作為另一組，在提出公因式后，另一個因式也是.解：【例6】把分解因式分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式解：說明：從例5、例6可以看出：如果一個多項式的項分組后，各組都能直接運(yùn)用公式或提取公因式進(jìn)行分解，并且各組在分解后，它們之間又能運(yùn)用公式或有公因式，那么這個多項式就可以分組分解法來分解因式（三）拆、添項法【例12】分解因式分析：此多項式顯然不能直接提取公因式或運(yùn)用公式，分組也不易進(jìn)行細(xì)查式中無一次項，如果它能分解成幾個因式的

7、積，那么進(jìn)行乘法運(yùn)算時，必是把一次項系數(shù)合并為0了，可考慮通過添項或拆項解決解： 說明：本解法把原常數(shù)4拆成1與3的和，將多項式分成兩組，滿足系數(shù)對應(yīng)成比例，造成可以用公式法及提取公因式的條件本題還可以將拆成，將多項式分成兩組和一般地，把一個多項式因式分解，可以按照下列步驟進(jìn)行：(1) 如果多項式各項有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各項沒有公因式，那么可以嘗試運(yùn)用公式來分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以嘗試用分組或其它方法(如十字相乘法)來分解；(4) 分解因式，必須進(jìn)行到每一個多項式因式都不能再分解為止練 習(xí)1把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 2把下列各式分解因

8、式：(1) (2) (3) 3把下列各式分解因式：(1) (2) (3) 4把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) 5把下列各式分解因式：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 6已知，求代數(shù)式的值7證明：當(dāng)為大于2的整數(shù)時，能被120整除8已知，求證：答案：123，4 ； ；5；678三、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【例1】已知實數(shù)、滿足，試求、的值解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：，代入原方程得：綜上知：四、一元高次方程的解法含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次項的次數(shù)大于2的整式方程叫做一元高次方程。一元高次

9、方程的解法通常用試根法因式分解或換元法達(dá)到降次的目的，轉(zhuǎn)換為一元一次方程或一元二次方程，從而求出一元高次方程的解?！纠?】解方程 （1）x3+3x2-4x=0 （2）x4-13x2+36=0解：（1）原方程可化為 x（x-1）（x+4）=0（2）原方程可化為（x2-9）（x2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0，練 習(xí)解方程（1）x3+5x2-6x=0（2）（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0答案：（1）（2）五、三元一次方程組的解法舉例1）三元一次方程組的概念：三一次方程組中含有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程。注：（1）“未知項”與“未

10、知數(shù)”不同。（2）每個方程不一定都含有三個未知數(shù)。它的一般形式是 未知項的系數(shù)不全為零，其中每一個方程都可以是三元、二元、一元一次方程，但方程組中一定要有三個未知數(shù)。2）解三元一次方程組的基本思想方法是：【例1】 解方程組 分析：方程只含x，z，因此，可以由，消去y，再得到一個只含x，z的方程，與方程組成一個二元一次方程組解：3，得 11x10z35 （4） 與組成方程組 解這個方程組，得把x5，z2代入，得253y29， 【例2】 解方程組分析：三個方程中，z的系數(shù)比較簡單，可以考慮用加減法，設(shè)法先消z。解：+，得 5x+6y=17 +2，得， 5x+9y=23 與組成方程組 解這個方程組，

11、得 把x=1，y=2代入得：21+22-z=3， z=3 另解：+-，得3y=6，y=2把y=2分別代入和，得 解這個方程組，得： 注：此題確定先消去z后，就要根據(jù)三個方程消兩次z（其中一個方程要用兩次），切忌消一次z，再消一次其他未知數(shù)，這樣得不到一個二元一次方程組，達(dá)不到消元的目的。此題的“另解”是先同時消去兩個未知數(shù)，直接求出一個未知數(shù)的值，然后把所求得的未知數(shù)的值代入方程組中的兩個方程組中，得到一個二元一次方程組，再求出另兩個未知數(shù)的值。這種解法是一種特殊解法，只有認(rèn)真觀察，才能做出。練 習(xí)1. 解下列三元一次方程組1） 2） 3） 2已知 ，且x+y+z=24，求x、y、z的值。3代

12、數(shù)式ax2+bx+c在x為1，-1，2時，它的值分別是-6，-8，-11，求：a，b，c的值；當(dāng)x=-4時，求代數(shù)的值。*4已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz0求： 的值。*5已知 且xyz0，求x：y：z*6用100元恰好買了三種筆共100支，其中金筆每支10元，鉑金筆每支3元，圓珠筆每支05元，試問三種筆各買了多少支？答案： 1.(1) (2) (3) 2. x=6,y=8,z=10 3.a=-2,b=1,c=-5;-414.5. 6.金筆 5支 鉑金筆5支 圓珠筆90支 六、簡單的二元二次方程組的解法舉例（1）二元二次方程及二元二次方程組觀察方程 ，此方程的特點(diǎn)：含有

13、兩個未知數(shù)；是整式方程；含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2.定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做二元二次方程.二元二次方程的一般形式是： （a、b、c不同時為零）.其中 叫做二次項， 叫做一次項， 叫做常數(shù)項.定義：二元二次方程組即有兩個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的方程組由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程及兩個二元二次方程組成的方程組是我們所研究的二元二次方程組.例如：都是二元二次方程組.（2）二元二次方程組求解的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，即通過“降次”、“消元”，將方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程或二元一次方程組。由于這類方程組形式龐雜，解題方法靈活多樣，具有較強(qiáng)

14、的技巧性，因而在解這類方程組時，要認(rèn)真分析題中各個方程的結(jié)構(gòu)特征，選擇較恰當(dāng)?shù)姆椒āＳ梢粋€二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組的解法.我們已經(jīng)學(xué)過二元一次方程組的解法，所謂解二元一次方程組就是求方程組中兩個方程的公共解，同樣，解二元二次方程組也就是求方程組中兩個方程的公共解.解二元二次方程組的基本思想是消元和降次，消元就是化二元為一元，降次就是把二次降為一次，因此可以通過消元和降次把二元二次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組、一元二次方程甚至一元一次方程.對于由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組來說，代入消元法是解這類方程組的基本方法.【例1】 解方程組分析：由于方程

15、組是由一個二元一次方程和二元二次方程組成的，所以通過代入可以達(dá)到消元的目的，通過得 再代入可以求出 的值，從而得到方程組的解.解：由，得把代入，整理，得解這個方程，得 .把 代入，得 ；把 代入，得 .所以原方程的解是 【例1】 解方程組分析：可用“代入法”解。也可以根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看作一元二次方程的兩個根，通過解這個一元二次方程來求x，y。 解：從根與系數(shù)的關(guān)系，這個方程組的解，可以看作一元二次方程的兩個根。解此方程得，t的這兩個值，不論哪一個作為x、y都可以。因此，所求的解為 練 習(xí)*1. 解方程組 *2. 解方程組分析（1）3（2）得（x2y）（3xy）0 3. 解方程組 答案：1. （把第一個方程因式分解為，得兩個一次方程，從而降次）解為 2.解為： 3.解為：七、平面上任意兩點(diǎn)間距