1、1,2,3,4,6.證明：函數(shù) 在點(diǎn) 連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、但不可微.,所以在點(diǎn) 連續(xù),所以在點(diǎn) 偏導(dǎo)數(shù)都存在,5,所以在點(diǎn) 不可微。,6,7.設(shè) 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 ，,解：,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,已知平面上兩定點(diǎn) A( 1 , 3 ) , B( 4 , 2 ) ,試在橢圓,圓周上求一點(diǎn) C ,使 面積最大.,解:,設(shè) C 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x, y ), 則 面積,18,設(shè)拉格朗日函數(shù),解方程組,得駐點(diǎn),對(duì)應(yīng)面積,而,比較可知，點(diǎn) C 與 E 重合時(shí),三角形面積最大。,19,在圓錐面 與平面 所圍成的錐體內(nèi)作底面與 面平行的長(zhǎng)方體，求最大長(zhǎng)方體的體積。,解

2、 設(shè)長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn) 在錐面，則長(zhǎng)方體的體積：,20,將式乘以x與式乘以y相比較得,將 代入式并由式得 ，,將 代入式得 。,所以得唯一駐點(diǎn)為 ，,依題意必有最大值，從而長(zhǎng)方體的最大體積為,21,22,23,24,25,26,27,.計(jì)算 ， 其中域由 圍成。,解：由積分域及被積函數(shù)的特點(diǎn),故采用“先二后一”的方法較方便，即,28,( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過(guò)程中, 其,側(cè)面滿足方程,設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米 ,時(shí)間單位為小時(shí), 已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比 (比例系數(shù) 0.9 ) , 問(wèn)高度為130(厘米) 的雪堆全部融化需 要多少小時(shí)?,5.設(shè)有一高度為,29,記雪堆體積為 V, 側(cè)面積為

3、 S ,則,側(cè)面方程:,30,由題意知,令,得,(小時(shí)),因此高度為130厘米的雪堆全部融化所需的時(shí)間為100 小時(shí).,31,例6. 設(shè),在,上連續(xù) , 證明,證: 左端,= 右端,32,7.求均勻球體 （體密度為1）繞 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。,解：即求,方法1：,33,方法2：（先二后一）,34,其中 由錐面 與平面 圍成的立體。,解：,用球面 將 分成 和 兩部分,35,36,37,38,39,40,41,其中 是圓柱面,被平面 所截出部分的外側(cè)。,42,增加上截面上側(cè)及下截面下側(cè) 。,43,14.設(shè) 為一簡(jiǎn)單光滑閉曲面， 上的點(diǎn) 處的外法線，,不在 上，,證明：,設(shè) 的單位向量,44,45,(1

4、) 當(dāng) 不包含 ,直接用高斯公式,(2) 當(dāng) 包含 時(shí),取充分小 ，作球面,含在內(nèi) ， 取小球內(nèi)側(cè),46,47,48,49,50,51,52,原級(jí)數(shù)為條件收斂。,故原級(jí)數(shù)收斂,53,當(dāng) ，即 時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂，于是原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。,當(dāng) ，即 時(shí)，級(jí)數(shù) 發(fā)散，于是原級(jí)數(shù)條件收斂。,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,常微分方程,66,解:原方程改寫為,分離變量,兩邊積分,從而通解為,67,解:將原方程寫成,68,解:原方程變形為,屬于 的伯努利方程。,69,70,解:將方程改寫為,代入方程得,故原方程通解為,71,由初始條件 知 代入上式得：,兩邊積分并整理得,故所求特解為,72,73,74,75,76,解：由線性微分方程解的結(jié)構(gòu)理論知，,及 是對(duì)應(yīng)齊次方程,的解且它們線性無(wú)關(guān)，,77,78,79,14.求滿足 的具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) ，使,是全微分方程，并求此全微分方程的積分曲線