1、第一章 集合與函數(shù)概念,第二章 基本初等函數(shù),第三章 函數(shù)應(yīng)用,數(shù)與形,本是相倚依 焉能分作兩邊飛 數(shù)無形時少直覺 形少數(shù)時難入微 數(shù)形結(jié)合百般好 隔離分家萬事休 切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體 永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離 華羅庚,圖示法,一、知識結(jié)構(gòu),一、集合的含義與表示,1、集合：把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合,2、元素與集合的關(guān)系：,3、元素的特性：確定性、互異性、無序性,（一）集合的含義,(二)集合的表示,1、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并放在 內(nèi),2、描述法：用文字或公式等描述出元素的特性，并放在x| 內(nèi),3.圖示法 Venn圖,數(shù)軸,二、集合間的基本關(guān)系,1、子集：對于兩個集

2、合A，B如果集合A中的任何一個元素都是集合B的元素，我們稱A為B的子集. 若集合中元素有n個，則其子集個數(shù)為 真子集個數(shù)為 非空真子集個數(shù)為,2、集合相等：,3、空集：規(guī)定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集,2n,2n-1,2n-2,三、集合的并集、交集、全集、補(bǔ)集,全集：某集合含有我們所研究的各個集合的全部元素，用U表示,A,B,0或2,題型示例,考查集合的含義,考查集合之間的關(guān)系,考查集合的運算,1,2,3,4,5,3,返回,1.設(shè) , 其中 ,如果 ，求實數(shù)a的取值范圍,擴(kuò)展提升,2.設(shè)全集為R，集合 ， （1）求： AB，CR(AB)；（數(shù)軸法） （2）若集合 ,滿足 ，求實

3、數(shù)a的取值范圍。,練習(xí),1.集合A=1,0,x,且x2A,則x 。,3.滿足1,2 A 1,2,3,4的集合A的個數(shù)有 個,-1,B,3,函數(shù)的復(fù)習(xí)主要抓住兩條主線,1、函數(shù)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。,2、幾種初等函數(shù)的具體性質(zhì)。,函數(shù),函數(shù)知識結(jié)構(gòu),B,C,x1 x2 x3 x4 x5,y1 y2 y3 y4 y5,y6,A,函數(shù)的三要素：定義域，值域，對應(yīng)法則,A.B是兩個非空的數(shù)集,如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合A中的每一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它對應(yīng)，這樣的對應(yīng)叫做從A到B的一個函數(shù)。,一、函數(shù)的概念：,思考:函數(shù)值域與集合B的關(guān)系,二、映射的概念,設(shè)A,B是兩個非空的集合,

4、如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y于之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為集合A到集合B的一個映射,映射是函數(shù)的一種推廣,本質(zhì)是:任一對唯一,函數(shù)的定義域：,使函數(shù)有意義的x的取值范圍。,求定義域的主要依據(jù),1、分式的分母不為零. 2、偶次方根的被開方數(shù)不小于零. 3、零次冪的底數(shù)不為零. 4、對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零. 5、指、對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不為1.,6、實際問題中函數(shù)的定義域,（一）函數(shù)的定義域,1、具體函數(shù)的定義域,1.【-1,2）（2，+） 2.（-，-1）（1，+） 3.（34,1】,練習(xí)：,2、抽象函數(shù)的定義域,1）已知函數(shù)y=

5、f(x)的定義域是1，3，求f(2x-1)的定義域,2）已知函數(shù)y=f(x)的定義域是0，5)，求g(x)=f(x-1)- f(x+1)的定義域,3),1.1,2 ; 2.1,4); 3. - ,思考：若值域為R呢？,分析：值域為R等價為真數(shù)N能?。?，+）每個數(shù)。 當(dāng)a=0時，N=3只是（0，+）上的一個數(shù)，不成立； 當(dāng)a0時，真數(shù)N?。?，+）每個數(shù)即,求值域的一些方法：,1、圖像法，2 、 配方法，3、分離常數(shù)法，4、換元法，5單調(diào)性法。,1),2),3),4),三、函數(shù)的表示法,1、解 析 法 2、列 表 法 3、圖 象 法,例10求下列函數(shù)的解析式,待定系數(shù)法,換元法,賦值法,構(gòu)造方

6、程組法,(4) 已知 , 求 的解析式,配湊法,增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)是 對定義域上的某個區(qū)間而言的。,注意,三、函數(shù)單調(diào)性,定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I： 如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1、x2，當(dāng)x1f(x2) ，那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。區(qū)間D叫做函數(shù)的減區(qū)間。,寫出常見函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 并指明是增區(qū)間還是減區(qū)間,用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:,(1) 設(shè)元，設(shè)x1,x2是區(qū)間上任意兩個實數(shù)，且x1x2;,(2) 作差， f(x1)f(x2) ;,(3)變形，通過因式分解轉(zhuǎn)化為易于判斷符號的形式,(4)判號， 判斷 f(x1)f(x2) 的符號；,（5）下

7、結(jié)論.,1. 函數(shù)f (x)=,2x+1, (x1),x, (x1),則f (x)的遞減區(qū)間為( ),A. 1, ),B. (, 1),C. (0, ),D. (, 0,B,2、若函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間4,+)上是增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍,3 判斷函數(shù) 的單調(diào)性。,拓展提升復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由兩個函數(shù)共同決定；,引理1：已知函數(shù)y=fg(x)，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域為(c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。 x增 g(x)增 y增:故可

8、知y隨著x的增大而增大,引理2：已知函數(shù)y=fg(x)，若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域為(c,d),又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)。 x增 g(x)減 y增:故可知y隨著x的增大而增大,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,規(guī)律：當(dāng)兩個函數(shù)的單調(diào)性相同時，其復(fù)合函數(shù)是增函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)的單調(diào)性不相同時，其復(fù)合函數(shù)是減函數(shù)。 “同增異減”,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,例題：求下列函數(shù)的單調(diào)性y=log4(x24x+3),解 設(shè) y=log4u（外函數(shù)）,u=x24x+3（內(nèi)函數(shù)）.由 u0, u=x24x+3，解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為x

9、|x1或x3. 當(dāng)x(，1)時，u=x24x+3為減函數(shù)，而y=log4u為增函數(shù)，所以(，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；當(dāng)x(3，)時，u=x24x+3為增函數(shù)y=log4u為增函數(shù)，所以，(3，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.,解：設(shè)u=x24x+3 ，u=x24x+3=(x2)21, x3或x1，(復(fù)合函數(shù)定義域) x2 (u減) 解得x1.所以x(，1)時，函數(shù)u單調(diào)遞減. 由于y=log4u在定義域內(nèi)是增函數(shù)，所以由引理知：u=(x2)21的單調(diào)性與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一致，所以(，1)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. u=x24x+3=(x2)21, x3或x1，(復(fù)合函數(shù)定義域) x2 (u增)

10、解得x3.所以(3，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.,代數(shù)解法：,解: 設(shè) y=logu,u=2xx2.由u0,u=2xx2 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為0 x2. 由于y=log13u在定義域(0，+)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù) u=2xx2的單調(diào)性正好相反.易知u=2x-x2=-(x1)2+1在x1時單調(diào)增. 由 0 x2 （復(fù)合函數(shù)定義域） x1，(u增) 解得0 x1,所以(0，1是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間. 又u=(x1)2+1在x1時單調(diào)減，由 x2， (復(fù)合函數(shù)定義域) x1， (u減) 解得0 x2,所以0，1是原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.,例2 求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

11、： y=log(2xx2),例題：求函數(shù) 的單調(diào)性。,解：設(shè) ， f(u)和u(x)的定義域均為R 因為，u在 上遞減，在 上遞增。 而 在R上是減函數(shù)。 所以， 在 上是增函數(shù)。在 上是減函數(shù)。,例4：求 的單調(diào)區(qū)間.,解: 設(shè) 由uR, u=x22x1, 解得原復(fù)合函數(shù)的定義域為xR. 因為 在定義域R內(nèi)為減函數(shù)，所以由二次函數(shù)u=x22x1的單調(diào)性易知,u=x22x1=(x1)22在x1時單調(diào)減，由 xR, (復(fù)合函數(shù)定義域) x1， (u減) 解得x1.所以(，1是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.同理1，+)是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性小結(jié),復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性可按下列步

12、驟判斷： (1) 將復(fù)合函數(shù)分解成兩個簡單函數(shù)：y=f(u)與u=g(x)。其中y=f(u)又稱為外層函數(shù), u=g(x)稱為內(nèi)層函數(shù); (2) 確定函數(shù)的定義域； (3) 分別確定分解成的兩個函數(shù)的單調(diào)性； (4) 若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同（即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=fg(x)為增函數(shù)； (5) 若兩個函數(shù)在對應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異（即一個是增函數(shù)，而另一個是減函數(shù)），則復(fù)合后的函數(shù)y=fg(x)為減函數(shù)。 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可概括為一句話：“同增異減”。,四、函數(shù)的奇偶性,1.奇函數(shù):對任意的 ,都有,2.偶函數(shù):對任意的 ,都有,3.奇函數(shù)和偶函數(shù)的必要條

13、件:,注:要判斷函數(shù)的奇偶性,首先要看其定義域區(qū)間是否關(guān)于原點對稱!,定義域關(guān)于原點對稱.,奇(偶)函數(shù)的一些特征,1.若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,則 f(0)=0.,2.奇函數(shù)圖像關(guān)于原點對稱,且在對稱的區(qū)間上不改變單調(diào)性.,3.偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱,且在對稱的區(qū)間上改變單調(diào)性,例12 判斷下列函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的圖象,1、用學(xué)過的圖像畫圖。,2、用某種函數(shù)的圖象變形而成。,（1）關(guān)于x軸、y軸、原點對稱關(guān)系。,（2）平移關(guān)系。,（3）絕對值關(guān)系。,反比例函數(shù),1、定義域 . 2、值域,3、圖象,k0,k0,二次函數(shù),1、定義域 . 2、值域,3、圖象,a0,a0,指數(shù)函數(shù)

14、,1、定義域 . 2、值域,3、圖象,a1,0a1,R+,y,x,o,1,y,x,o,1,對數(shù)函數(shù),1、定義域 . 2、值域,3、圖象,a1,0a1,R+,1,1,在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出冪函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x1/2，y=x-1的圖象：,(-,0)減,(-,0減,(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),公共點,(0,+)減,增,增,0,+)增,增,單調(diào)性,奇,非奇非偶,奇,偶,奇,奇偶性,y|y0,0,+),R,0,+),R,值域,x|x0,0,+),定義域,y=x-1,y=x3,y=x2,y=x,函數(shù) 性質(zhì),冪函數(shù)的性質(zhì),2,1,x,y,=,對號函數(shù)

15、(a0) 的性質(zhì)及應(yīng)用,.函數(shù) (a0)的大致圖像,x,y,0,獲取新知,利用所掌握的函數(shù)知識,探究函數(shù) (a0)的性質(zhì).,1. 定義域 2.奇偶性,(-,0) (0 ,+),奇函數(shù) f(-x)=-f(x),3.確定函數(shù) (a0)的單調(diào)區(qū)間,. 當(dāng)x (0 ,+)時,確定某單調(diào)區(qū)間,. 當(dāng)x (-,0)時,確定某單調(diào)區(qū)間,綜上,函數(shù) (a0)的單調(diào)區(qū)間是,單調(diào)區(qū)間的分界點為:,a的平方根,4.函數(shù) (a0)的大致圖像,x,y,0,5.函數(shù) (a0)的值域,運用知識,1.已知函數(shù),2.已知函數(shù) ,求f(x)的最小值,并求此時的x值.,3.建筑一個容積為800米3,深8米的長方體水池(無蓋).池壁

16、,池底造價分別為a元/米2和2a元/ 米2.底面一邊長為x米,總造價為y. 寫出y與x的函數(shù)式,問底面邊長x為何值時總造價y最低,是多少?,函數(shù)圖象與變換 1平移變換 (1)水平方向的變換： yf(xa)的圖象可由yf(x)的圖象沿x軸向左平移(a0)或向右平移(a0)或向下平移(b0)|b|個單位而得到,2對稱變換 (1)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱 (2)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于x軸對稱 (3)yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱 (4)y|f(x)|的圖象是保留yf(x)圖象中位于x軸上方的部分及與x軸的交點，將yf(x)的圖象中位于x軸下方的部分翻折到x軸上方去

17、而得到 (5)yf(|x|)的圖象是保留yf(x)中位于y軸右邊部分及與y軸的交點，去掉y軸左邊部分而利用偶函數(shù)的性質(zhì)，將y軸右邊部分以y軸為對稱軸翻折到y(tǒng)軸左邊去而得到,(2)先作函數(shù)yx22x的位于x軸上方的圖象，再作x軸下方圖象關(guān)于x軸對稱的圖象，得函數(shù)y|x22x|的圖象，如圖所示,(3)先作函數(shù)yx22x位于y軸右邊的圖象，再作關(guān)于y軸對稱的圖象，得到函數(shù)yx22|x|的圖象，如圖所示,例 作函數(shù)的圖象,y,x,o,1,1,抓住函數(shù)中的某 些性質(zhì)，通過局 部性質(zhì)或圖象的 局部特征，利用 常規(guī)數(shù)學(xué)思想方 法（如類比法、 賦值法添、拆項等）。,高考題和平時的 模擬題中經(jīng)常出 現(xiàn) 。 抽象

18、性較強(qiáng)； 綜合性強(qiáng)； 靈活性強(qiáng)； 難度大。,沒有具體給出函 數(shù)解析式但給出 某些函數(shù)特性或 相應(yīng)條件的函數(shù),抽象函數(shù)問題,一、研究函數(shù)性質(zhì)“賦值” 策略對于抽象函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的概念和性質(zhì)，通過觀察與分析，將變量賦予特殊值，以簡化函數(shù)，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化為要解決的問題的目的。,(1)令x=,-2,-1,0,1,2,等特殊值求抽象函數(shù)的函數(shù)值；,(3)令y=-x,判斷抽象函數(shù)的奇偶性；,(4)換x為x+T,確定抽象函數(shù)的周期；,(2)令x=x2,y=x1或y= ,且x1x2,判斷抽象函數(shù)的單調(diào)性；,(5)用x= + 或 換為x等來解答抽象函數(shù)的其它一些問題.,證明：,二、求參數(shù)范圍“穿脫”策略加上函數(shù)符號即為“穿”，去掉函數(shù)符號即為“脫”。對于有些抽象函數(shù)，可根絕函數(shù)值相等或者函數(shù)的單調(diào)性，實現(xiàn)對函