1、1,全微分的定義,可微的條件,小結(jié) 思考題 作業(yè),total differentiation,第三節(jié) 全 微 分,第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用,2,函數(shù)的變化情況.,偏導(dǎo)數(shù)討論的只是某一自變量變化時(shí),函數(shù)的變化率.,現(xiàn)在來討論當(dāng)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí),3,先來介紹,全增量的概念,為了引進(jìn)全微分的定義,全增量.,域內(nèi)有定義,函數(shù)取得的增量,全增量.,一、全微分的定義,4,全微分的定義,處的,全微分.,可表示為,可微分,在點(diǎn),則稱函數(shù),稱為函數(shù),記作,即,函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí),則稱,可微函數(shù).,這函數(shù)在D內(nèi)的,而不依賴于,5,可微與偏導(dǎo)數(shù)存在有何關(guān)系呢？,?,微分系數(shù),全微分有類似一元

2、函數(shù)微分的,A=? B=?,兩個(gè)性質(zhì):,全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).,的線性函數(shù);,高階無窮小.,6,1. 可微分的必要條件,由下面的定理來回答：,( 可微必可導(dǎo)).,定理1,(可微必要條件),如果函數(shù),可微分,且函數(shù),的全微分為,二、可微的條件,7,證,總成立,同理可得,上式仍成立,此時(shí),的某個(gè)鄰域,如果函數(shù),可微分,8,都不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).,多元函數(shù)在某點(diǎn)可微是否保證,事實(shí)上,顯然,答:,由全微分的定義有,可得,多元函數(shù)可微必連續(xù),連續(xù)的定義,?,不連續(xù)的函數(shù),上一節(jié)指出,多元函數(shù)在某點(diǎn)各個(gè)偏導(dǎo)數(shù),即使都存在,函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù),如果函數(shù),可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).,一定是不

3、可微的.,9,多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在,如，,下面舉例說明,二元函數(shù)可微一定存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).,一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在,?,但兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定可微.,(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得),由定理1知,10,則,說明它不能隨著,而趨于0,因此,如果考慮點(diǎn),沿直線,趨近于,11,說明,這也是一元函數(shù)推廣到多元函數(shù)出現(xiàn)的又,函數(shù)是可微分的.,多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證,全微分存在.,一個(gè)原則區(qū)別.,現(xiàn)再假定函數(shù)的,則可證明,各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),12,2. 可微分的充分條件,證,在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思.,定理2,(今后常這樣理解).,用拉氏定理,(微分充分條件),假定偏導(dǎo)數(shù)

4、在點(diǎn)P(x,y)連續(xù),就含有偏導(dǎo)數(shù),偏導(dǎo)數(shù),13,14,同理,15,在原點(diǎn)(0,0)可微.,并非必要條件.,如,事實(shí)上,注,定理2的條件,(即兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù),在點(diǎn),連續(xù)),可微的充分,僅是函數(shù),在點(diǎn),條件,同樣,16,在原點(diǎn)(0,0)可微.,于是,17,即函數(shù)f(x,y)在原點(diǎn)(0,0)可微.,但是,事實(shí)上,偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).,所以,特別是,不存在.,即fx(x,y)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù).,極限,函數(shù)在一點(diǎn)可微,此題說明:,在這點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù).,18,記全微分為,通常把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏微分之和,疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況.,一元函數(shù)的許多微分性質(zhì),(一階)全

5、微分形式的不變性.,同樣有:,習(xí)慣上,稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理,這里仍適用.,如三元函數(shù),則,19,解,計(jì)算函數(shù),在點(diǎn),的全微分.,所以,例,20,解,例,21,答案,練習(xí),22,解,例,試比較,的值.,23,解,例,計(jì)算,的近似值.,利用函數(shù),在點(diǎn),處的可微性,可得,24,2002年考研數(shù)學(xué)一, 3分,考慮二元函數(shù) f (x, y)的下面4條性質(zhì):, f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處可微,f (x, y)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.,若用“”,表示可由性質(zhì)P

6、推出性質(zhì)Q,則有,單項(xiàng) 選擇題,25,上海交大考題(95級(jí)),連續(xù).,D,結(jié)論不正確的是( ).,都存在,26,上海交大考題(98級(jí)),D,27,上海交大考題(93級(jí)),上海交大考題(96級(jí)),填空題,28,上海交大考題(97級(jí)),(非),事實(shí)上,是非題,29,全微分的定義,全微分的計(jì)算,多元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導(dǎo)、可微的關(guān)系,(注意：與一元函數(shù)有很大的區(qū)別),可微分的必要條件、,可微分的充分條件,三、小結(jié),30,對(duì)一元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微間的關(guān)系：,可微 可導(dǎo) 連續(xù) 有極限,對(duì)多元函數(shù)的極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系：,偏導(dǎo)連續(xù) 可微 連續(xù) 有極限,有偏導(dǎo),31,問,全微分公式,恒成立嗎?,答,不一定.,考慮函數(shù),思考題1,32,某城市的大氣污染指數(shù) P 取決于兩個(gè)因素,即空氣中固體廢物的數(shù)量 x 和空氣中有害氣體的數(shù)量 y .它們之間的關(guān)系可表示成,(1) 計(jì)算,和,并說明它們的實(shí)際,意義.,(2),該城市空氣污染的情況怎樣?,(3),城市空氣污染的,狀況是否有所改善.,思考題2,33,作業(yè)