1、1. 一老人60歲時(shí)將養(yǎng)老金10萬(wàn)元存入基金會(huì)，月利率0.4%， 他每月取1000元作為生活費(fèi)，建立差分方程計(jì)算他每歲末尚有多少錢？多少歲時(shí)將基金用完？如果想用到80歲，問(wèn)60歲時(shí)應(yīng)存入多少錢？分析：(1) 假設(shè)k個(gè)月后尚有元，每月取款b元，月利率為 r，根據(jù)題意，可每月取款，根據(jù)題意，建立如下的差分方程： ，其中a = 1 + r (1)每歲末尚有多少錢,即用差分方程給出的值。(2) 多少歲時(shí)將基金用完，何時(shí)由（1）可得：若，(3) 若想用到 80 歲，即 n(80-60)*12=240 時(shí)，利用 MATLAB 編程序分析計(jì)算該差分方程模型，源程序如下： clear allclose all

2、clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004;k=(0:n);y1=dai(x0,n,r,b);round(k,y1) function x=dai(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b;end (2)用MATLAB計(jì)算： A0=250000*(1.004240-1)/1.004240思考與深入： (2) 結(jié)論：128個(gè)月即70歲8個(gè)月時(shí)將基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 結(jié)論：若想用到80歲，60歲時(shí)應(yīng)存入15.409萬(wàn)元。2. 某人從銀行貸款購(gòu)房，若他今年初貸款10萬(wàn)元，月利率0.5%，他每月還

3、1000元。建立差分方程計(jì)算他每年末欠銀行多少錢，多少時(shí)間才能還清？如果要10年還清，每月需還多少？分析：記第k個(gè)月末他欠銀行的錢為x（k），月利率為r，且a=1+r，b為每月還的錢。則第k+1個(gè)月末欠銀行的錢為 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2 在 r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 計(jì)算得結(jié)果。編寫 M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b)a=1+r;x=x0;for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b;endMATLAB計(jì)算并作圖: k=(1:140); y=exf11(100000

4、,140,0.0005,-1000);所以如果每月還1000元，則需要11年7個(gè)月還清。 如果要10年即 n=120 還清，則模型為： r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n b=-r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n 用 MATLAB 計(jì)算如下： x0=100000; r=0.005; n=120; b=-r*x0*(1+r)n/1-(1+r)n b= 1.1102e+003 所以如果要10年還清，則每年返還1110.2元。3. 在某種環(huán)境下貓頭鷹的主要食物是田鼠，設(shè)田鼠的年平均增長(zhǎng)率為，貓頭鷹的存在引起的田鼠增長(zhǎng)率的減少與貓頭鷹的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為；貓頭鷹的年平均減少率為；田鼠的

5、存在引起的貓頭鷹減少率的增加與田鼠的數(shù)量成正比，比例系數(shù)為。建立差分方程模型描述田鼠和貓頭鷹共處時(shí)的數(shù)量變化規(guī)律，對(duì)以下情況作圖給出50年的變化過(guò)程。(1) 設(shè)開(kāi)始時(shí)有100只田鼠和50只貓頭鷹。（2）同上，開(kāi)始時(shí)有100只田鼠和200只貓頭鷹。（3）適當(dāng)改變參數(shù)（初始值同上）（4）求差分方程的平衡點(diǎn)，它們穩(wěn)定嗎？分析：記第k代田鼠數(shù)量為，第k代貓頭鷹數(shù)量為，則可列出下列方程：運(yùn)用matlab計(jì)算，程序如下：function z=disanti(x0,y0,a1,a2,r1,r2)x=x0;y=y0;for k=1:49 x(k+1)=x(k)+(r1-y(k)*a1)*x(k); y(k+1

6、)=y(k)+(-r2+x(k)*a2)*y(k);endz=x,y;(1)z=disanti(100,50,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),r)(2)z=disanti(100,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),r)(3)當(dāng)a1,a2分別取0.002,0.002時(shí)，得到如下圖像：可見(jiàn)，當(dāng)a1,a2參數(shù)在一定范圍內(nèi)改變時(shí)，貓頭鷹與田鼠數(shù)量在一定范圍內(nèi)震蕩，且不滅絕。(4)令；解方程得到如下結(jié)果：x=15

7、0y=200經(jīng)matlab驗(yàn)證如下：z=disanti(150,200,0.001,0.002,0.2,0.3)plot(1:50,z(:,1);hold on; plot(1:50,z(:,2),r)由此可知：平衡點(diǎn)為：x=150 y=2004. 研究將鹿群放入草場(chǎng)后草和鹿兩種群的相互作用。草的生長(zhǎng)遵從Logistic規(guī)律，年固有增長(zhǎng)率0.8，最大密度為3000（密度單位），在草最茂盛時(shí)每只鹿每年可吃掉1.6（密度單位）的草。若沒(méi)有草，鹿群的年死亡率高達(dá)0.9，而草的存在可使鹿的死亡得以補(bǔ)償，在草最茂盛時(shí)補(bǔ)償率為1.5。作一些簡(jiǎn)化假設(shè)，用差分方程模型描述草和鹿兩種群數(shù)量的變化過(guò)程，就以下情況

8、進(jìn)行討論：（1）比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場(chǎng)兩種情況。（2）適當(dāng)改變參數(shù)，觀察變化趨勢(shì)。模型假設(shè)：1草獨(dú)立生存，獨(dú)立生存規(guī)律遵從Logistic規(guī)律；2草場(chǎng)上除了鹿以外，沒(méi)有其他以草為食的生物；3鹿無(wú)法獨(dú)立生存。沒(méi)有草的情況下，鹿的年死亡率一定；4假定草對(duì)鹿的補(bǔ)償率是草場(chǎng)密度的線性函數(shù)；5每只鹿每年的食草能力是草場(chǎng)密度的線性函數(shù)。記草的固有增長(zhǎng)率為r，草的最大密度為N，鹿獨(dú)立生存時(shí)的年死亡率為d，草最茂盛時(shí)鹿的食草能力為a，草對(duì)鹿的年補(bǔ)償作用為b；第k1年草的密度為 ，鹿的數(shù)量為，第k年草的密度為，鹿的數(shù)量為。草獨(dú)立生存時(shí)，按照Logistic規(guī)律增長(zhǎng)，則此時(shí)草的增

9、長(zhǎng)差分模型為 ，但是由于鹿對(duì)草的捕食作用，草的數(shù)量會(huì)減少，則滿足如下方程： （1）鹿離開(kāi)草無(wú)法獨(dú)立生存，因此鹿獨(dú)立生存時(shí)的模型為，但是草的存在會(huì)使得鹿的死亡率得到補(bǔ)償，則滿足如下差分方程： （2）另外，記初始狀態(tài)鹿的數(shù)量為，草場(chǎng)密度初值為，各個(gè)參數(shù)值為：， ， ， ， 利用MATLAB編程序分析計(jì)算該差分方程模型，源程序如下：%定義函數(shù)diwuti，實(shí)現(xiàn)diwuti-Logistic綜合模型的計(jì)算，計(jì)算結(jié)果返回種群量function B =disiti(x0,y0,r,N,b,a,d,n) % 描述diwuti-Logistic綜合模型的函數(shù) x(1) = x0; % 草場(chǎng)密度賦初值 y(1)

10、 = y0; % 鹿群數(shù)量賦初值 for k = 1 : n; x(k+1) = x(k) + r*(1-x(k)/N)*x(k) - a*x(k)*y(k)/N; y(k+1) = y(k) + (-d + b*x(k)/N)*y(k); end B = x;y;%clear allC1 =disiti (1000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);C2 = disiti(3000,100,0.8,3000,1.5,1.6,0.9,50);k = 0 : 50;plot(k,C1(1,:),b,k,C1(2,:),b,k,C2(1,:),r,k,C2(2,:),r)a

11、xis(0 50 0 3000);xlabel(時(shí)間/年)ylabel(種群量/草場(chǎng)：?jiǎn)挝幻芏龋梗侯^)title(圖1.草和鹿兩種群數(shù)量變化對(duì)比曲線)gtext(x0=1000)gtext(x0=3000)gtext(草場(chǎng)密度)gtext(鹿群數(shù)量)比較將100只鹿放入密度為1000和密度為3000的草場(chǎng)兩種情況（繪制曲如圖1所示）： 由圖中可以看到，藍(lán)色曲線代表草場(chǎng)密度的初始值為1000時(shí)，兩種群變化情況；而紅色曲線則代表草場(chǎng)密度的初始值為3000時(shí)，兩種群的變化情況。觀察兩種情況下曲線的演變情況，可以發(fā)現(xiàn)大約40-50年左右時(shí)間后，兩種群的數(shù)量將達(dá)到穩(wěn)定。使用MatLab計(jì)算可以得到，當(dāng)

12、，即兩種群數(shù)量的平衡點(diǎn)為（1800，600）。為進(jìn)一步驗(yàn)證此結(jié)論，下面通過(guò)改變相關(guān)參數(shù)，研究?jī)煞N群變化情況，找到影響平衡點(diǎn)的因素：（1）改變草場(chǎng)密度初始值；從圖2中可以看到，改變草場(chǎng)的初始密度不會(huì)對(duì)兩種群數(shù)量的平衡點(diǎn)造成影響。（2）改變鹿的數(shù)量初值由圖2可以看到，鹿初始的數(shù)量的改變?cè)诶碚撋弦膊粫?huì)改變最終種群數(shù)量的平衡值。但是，我們可以看到，y0=2000的那條曲線（紫色曲線），在515區(qū)間內(nèi)降低到了非常小的值，這顯然是不符合鹿的現(xiàn)實(shí)繁殖規(guī)律的，因?yàn)槁沟姆N群可持續(xù)繁殖的最小數(shù)量是存在域值的。當(dāng)種群數(shù)量低于這個(gè)值時(shí)，在實(shí)際情況下，鹿的種群就要滅絕。同樣道理，草場(chǎng)的密度也存在一個(gè)最小量的域值，低于這

13、個(gè)閾值，草也將滅絕。綜合上面分析，可以在此得出一個(gè)結(jié)論：最大密度一定的草場(chǎng)所能承載的鹿的數(shù)量存在上限。（3）改變草場(chǎng)的最大密度N，畫圖比較結(jié)果；如圖4所示，如果草場(chǎng)密度的最大值N發(fā)生變化，則最終兩種群數(shù)量的平衡點(diǎn)也會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。結(jié)論：N值越大，平衡點(diǎn)兩種群的數(shù)量就越大；N越小，平衡點(diǎn)兩種群的數(shù)量就越小。（4）改變鹿群獨(dú)立生存時(shí)的死亡率實(shí)驗(yàn)中，改變了鹿單獨(dú)生存的死亡率得到如圖5.1和5.2兩幅圖，可以得出結(jié)論：鹿單獨(dú)生存的死亡率越大，則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間越短；相反，鹿單獨(dú)生存的死亡率越小，則兩種群數(shù)量達(dá)到平衡點(diǎn)的時(shí)間越長(zhǎng)（甚至有可能會(huì)出現(xiàn)分叉、混沌）。 （5）草場(chǎng)密度對(duì)鹿數(shù)量的補(bǔ)償作

14、用變化（b變化）從圖中可以看到，如果b增大，則達(dá)到穩(wěn)定點(diǎn)的時(shí)間會(huì)加長(zhǎng)，但如果b減小則會(huì)有一個(gè)域值，當(dāng)b低于域值時(shí)，草鹿種群數(shù)量的平衡時(shí)將不收斂于同一個(gè)平衡點(diǎn)，出現(xiàn)多值性。5. Leslie種群年齡結(jié)構(gòu)的差分方程模型 已知一種昆蟲每?jī)芍墚a(chǎn)卵一次，六周以后死亡（給出了變化過(guò)程的基本規(guī)律）。孵化后的幼蟲2周后成熟，平均產(chǎn)卵100個(gè)，四周齡的成蟲平均產(chǎn)卵150個(gè)。假設(shè)每個(gè)卵發(fā)育成2周齡成蟲的概率為0.09，（稱為成活率），2周齡成蟲發(fā)育成4周齡成蟲的概率為0.2。假設(shè)開(kāi)始時(shí)，02，24，46周齡的昆蟲數(shù)目相同，計(jì)算2周、4周、6周后各種周齡的昆蟲數(shù)目； 討論這種昆蟲各種周齡的昆蟲數(shù)目的演變趨勢(shì)：各周齡

15、的昆蟲比例是否有一個(gè)穩(wěn)定值？昆蟲是無(wú)限地增長(zhǎng)還是趨于滅亡？ 假設(shè)使用了除蟲劑，已知使用了除蟲劑后各周齡的成活率減半，問(wèn)這種除蟲劑是否有效？ 分析：將兩周分成一個(gè)時(shí)段，設(shè)k時(shí)段2周后幼蟲數(shù)量為：x1(k), 2到4周蟲的數(shù)量為：x2(K), 4到6周蟲數(shù)量為：x3(K)。據(jù)題意可列出下列差分方程：x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150 x2(k+1)=x1(k)*0.09 x3(k+1)=x2(k)*0.2運(yùn)用matlab編寫的程序如下：function z=diwuti(a,r1,r2,n)x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a;for k=1:n x(k+1)=y(k)*100+w(k)*150; y(k+1)=x(k)*r1; w(k+1)=y(k)*r2;endz=x,y,w;for k=1:n+1 m=x(k)+y(k)+w(k) end plot(1:n+1,x);hold onplot(1:n+1,y,r);hold onplot(1:n+1,w,k),grid計(jì)算前三年的結(jié)果為： z=diwuti(1