1、1,高斯公式,物理意義-通量與散度,小結(jié) 思考題 作業(yè),flux,divergence,第六節(jié) 高斯 (Gauss)公式 通量與散度,高斯 Gauss,K.F. (17771855) 德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家,2,格林公式把平面上的閉曲線(xiàn)積分與,本節(jié)的高斯公式表達(dá)了空間閉曲面,上的曲面積分與曲面所圍空間區(qū)域上的,它有明確的物理背景,三重積分的關(guān)系.,所圍區(qū)域的二重積分聯(lián)系起來(lái).,通量與散度.,3,一、高 斯 公 式,具有,則有公式,一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),或,高斯公式,外側(cè),4,證明思路,分別證明以下三式,從而完成定理證明.,只證其中第三式,其它兩式可完全類(lèi)似地證明.,5,證,設(shè)空間區(qū)域,母線(xiàn)平

2、行于z軸的柱面.,即邊界面,三部分組成:,(取下側(cè)),(取上側(cè)),(取外側(cè)),6,由三重積分的計(jì)算法,投影法(先一后二法),7,由曲面積分的計(jì)算法,取下側(cè),取上側(cè),取外側(cè),一投,二代,三定號(hào),8,于是,9,同理,合并以上三式得,高斯公式,10,若區(qū)域的邊界曲面,與任一平行于坐標(biāo)軸,的直線(xiàn)的交點(diǎn)多于兩點(diǎn)時(shí),可以引進(jìn)幾張輔助的,曲面把分為有限個(gè)閉區(qū)域,使得每個(gè)閉區(qū)域滿(mǎn),足假設(shè)條件,并注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩,個(gè)曲面積分的絕對(duì)值相等而符號(hào)相反,相加時(shí)正,好抵消.,因此,高斯公式對(duì)這樣的閉區(qū)域仍是正,確的.,11,由兩類(lèi)曲面積分之間的關(guān)系知,高斯公式為計(jì)算(閉)曲面積分提供了,它能簡(jiǎn)化曲面積分的計(jì)

3、算.,一個(gè)新途徑,表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其,邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.,高斯Gauss公式的實(shí)質(zhì),12,解,例,外側(cè).,13,使用Guass公式時(shí)易出的差錯(cuò):,(1) 搞不清,是對(duì)什么變量求偏導(dǎo);,(2) 不滿(mǎn)足高斯公式的條件, 用公式計(jì)算;,(3) 忽略了,的取向,注意是,取閉曲面的,外側(cè).,高斯公式,14,有時(shí)可作,輔助面,(將輔助面上的積分減去).,化為閉曲面的曲面積分,然后利用,高斯公式.,對(duì)有的,非閉曲面,的曲面積分,15,例,計(jì)算曲面積分,之間,下側(cè).,的法向量的方向余弦.,部分的,解,空間曲面在xOy面上的,曲面 不是,為利用高斯公式.,投影域?yàn)?補(bǔ),構(gòu)成封閉曲面,

4、使用高斯公式.,封閉曲面,16,先二后一法,17,故所求積分為,18,練習(xí),利用高斯公式計(jì)算三重積分,提示,則,取,考慮到,選取相當(dāng)自由，,19,由高斯公式,極坐標(biāo),20,被積函數(shù)中有抽象函數(shù),故無(wú)法直接計(jì)算.,?,如直接計(jì)算,分析,用高斯公式.,例,是錐面,所圍立體的表面,計(jì)算設(shè)f(u)是有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算,和球面,及,外側(cè).,21,解,由于,故由高斯公式,=,22,解,(如圖),練習(xí),計(jì)算曲面積分,繞y軸旋轉(zhuǎn)曲面方程為,一周所成的曲面,它的法向量與y軸正向的夾角,繞y軸旋轉(zhuǎn),23,取右側(cè).,有,高斯公式,24,取右側(cè),故,25,1. 通量,為向量場(chǎng),設(shè)有一向量場(chǎng),則稱(chēng)沿場(chǎng)中有向曲面某一側(cè)的

5、曲面積分:,通量.,flux,divergence,穿過(guò)曲面這一側(cè)的,二、物理意義 通量與散度,上式即為通量的計(jì)算公式,26,2.散度,設(shè)有向量場(chǎng),為場(chǎng)中任一點(diǎn),在P點(diǎn)的某鄰域內(nèi)作一包含P點(diǎn)在其內(nèi)的閉曲面,它所圍成的小區(qū)域及其體積記為,表示,內(nèi)穿出的通量,若當(dāng),縮成P點(diǎn)時(shí),極限,記為,散度.,存在,則該極限值就稱(chēng)為向量場(chǎng),在P點(diǎn)處的,即,27,散度的計(jì)算公式,設(shè),均可導(dǎo),點(diǎn)處的散度為,高斯公式,散度：?jiǎn)挝粫r(shí)間單位體積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量的平均值。,28,例,向量場(chǎng),解,29,練習(xí),設(shè)函數(shù),解,先求梯度,30,再求,的散度.,設(shè)函數(shù),31,高斯Gauss公式,物理意義-通量與散度,三、小結(jié),表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其,邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.,高斯Gauss公式的實(shí)質(zhì),(注意使用的條件