1、“考研數(shù)學(xué)”做到更好，追求最好南工程考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)材料之一高等數(shù)學(xué)主編：楊降龍楊帆劉建新.翁連貴吳業(yè)軍序近幾年來，隨著高等教育的大眾化、普及化，相當(dāng)多的大學(xué)本科畢業(yè)生由于就業(yè)的壓力，要想找到自己理想的工作比較困難，這從客觀上促使越來越多的大學(xué)畢業(yè)生選擇考研繼續(xù)深造，希望能學(xué)到專業(yè)的知識，取得更高的學(xué)歷，以增強自己的競爭能力；同時還有相當(dāng)多的往屆大學(xué)畢業(yè)生由于種種的原因希望通過讀研來更好地實現(xiàn)自我。這些年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明：應(yīng)屆與往屆的考生基本各占一半。自 1989 年起，研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試實行全國統(tǒng)一命題，其命題的范圍與內(nèi)容嚴(yán)格按照國家考試中心制定的“數(shù)學(xué)考試大綱”， 該考試大綱除了在 1996 年

2、實施了一次重大的修補以外， 從 1997 年起一直沿用至今，但期間也進行了幾次小規(guī)模的增補。因此要求考生能及時了解掌握當(dāng)年數(shù)學(xué)考試大綱的變化，并能按大綱指明的“了解”，“理解”，“掌握”的不同考試要求系統(tǒng)有重點的復(fù)習(xí)。通常研究生入學(xué)數(shù)學(xué)考試與在校大學(xué)生的期末考試相比，考試的深度與難度都將大大的增加，命題者往往將考試成績的期望值設(shè)定在 80（按總分 150 分）左右命題，試題涉及的范圍大，基礎(chǔ)性強，除了需要掌握基本的計算能力、運算技巧外，還需掌握一些綜合分析技能（包括;.各學(xué)科之間的綜合）。這使得研究生數(shù)學(xué)入學(xué)考試的競爭力強，淘汰率很高。為了我院學(xué)生的考研需要， 我們編寫了這本輔導(dǎo)講義。 該講義

3、共分三個部分，編寫時嚴(yán)格按照考試大綱，含蓋面廣、量大，在突出重點的同時，注重于基本概念的理解及基本運算能力的培養(yǎng)，力求給同學(xué)們做出有效的指導(dǎo)。第一章函數(shù)極限與連續(xù)考試內(nèi)容函數(shù)的概念及其表示，函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性，復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、分段函數(shù)、隱函數(shù)，基本初等函數(shù)的圖形與性質(zhì)，初等函數(shù)的建立，數(shù)列極限與函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)的左右極限，無窮小與無窮大的關(guān)系，無窮小的性質(zhì)及無窮小的比較，極限的四則運算，極限存在的兩個準(zhǔn)則，兩個重要極限，函數(shù)連續(xù)的概念，函數(shù)間斷點的類型，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)?？荚囈?、理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系。2、了解函數(shù)的有

4、界性、單調(diào)性、奇偶性及周期性的概念，注意這些問題與其它概念的結(jié)合應(yīng)用。3、理解復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的概念，了解隱函數(shù)、反函數(shù)的概念。4、掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。5、理解極限、左右極限的概念，以及極限存在與左右極限的關(guān)系。6、掌握極限的性質(zhì)與四則運算。7、掌握極限存在的兩個準(zhǔn)則，并會利用它們求極限；掌握利用兩個重要極限求極限的方法。8、理解無窮小、無窮大的概念；掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小計算極限。;.9、掌握利用羅必達法則求不定式極限的方法。10、理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判別函數(shù)間斷點的類型。11、理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最值存在、介值定理），并會利用這些性質(zhì)。1 函

5、數(shù)一、函數(shù)的概念二、函數(shù)的性質(zhì)：有界性、單調(diào)性、奇偶性、周期性；三、函數(shù)的運算（重要考點）：四則運算、復(fù)合運算（復(fù)合函數(shù)）、逆運算（反函數(shù)） ；四、函數(shù)的分類：初等函數(shù)、非初等函數(shù)。例題21、（ 88 ）已知f ( x)ex ,f ( x)1x ，且( x)0 ，求(x) 及定義域。2、（ 92 ）已知f ( x)sin x,f ( x)1x2 ，求(x) 定義域。3、設(shè) f ( 1 ) x(1x21), x 0 ，求 f ( x) 。x4、 f (sin x1)sin2 x13 ，求 f ( x) 。sin xsin 2 x2x,x0x2 ,x05、（ 97 ） g( x)x,x,f ( x

6、)x,求 g f ( x) 。20x,01 x,x0，求 f f (x) 。6、設(shè) f ( x)x01,;.1,x17、（ 90 ） f ( x)x，求 f f ( x) 。0,1x221x08、求 y20x的反函數(shù)。x11 2x2 ,x19、（ 96 ）設(shè)函數(shù) f (x)x3 ,1 x2 ，12x 16,x2（ 1）寫出 f ( x) 的反函數(shù) g ( x) 的表達式；（ 2） g( x) 是否有間斷點、不可導(dǎo)點，若有，指出這些點。1cb ，試證： f (x) 為奇函數(shù)。10、設(shè) f (x) 滿足： af (x) bf ( ), a, b, c 為常數(shù)，且 axx11、xr,f (x) 滿足

7、： 2 f (x)f (1x)x2 ，求 f (x) 。12、設(shè) f (x) 連續(xù)，且 f ( x)sin x2limf ( x) ，求 f (x),lim f ( x) 。xxx13、（ 89）設(shè) f (x) 連續(xù)，且 f ( x)1x 2 f ( x) dx ，求 f ( x) 。014、（ 97）設(shè) f ( x)11 x2112f ( x) dx ，求f (x) dx 。1x00;.2 極限一、定義及性質(zhì)（ 1）唯一性；（ 2 ）局部有界性； （ 3）局部保號性 :（ i ） 若 f ( x)0,( 或 f ( x)0 ), 且 lim f ( x)a ， 則 a0 ( 或 a 0 );

8、x x0oo（ ii ） 若 limf ( x) a0 ( 或 a0 ),則 u( x0 , ), xu( x0 , ) ，f ( x)0 ( 或 f (x) 0 );x x0二、求極限的方法（重點）1 、用定義證明和觀察法11如 lim arctanx;lim arctanx;lim ex;lim ex0 。x2x2x 0x 02 、用極限的四則運算法則和函數(shù)的連續(xù)性3 、用兩個重要極限：i )sin x1sin u）limx（或 lim1x 0u0 u注意比較如下幾個極限：lim sin x0 ， lim sin x1 ， lim x sin 11， lim xsin 10xxx0xxxx

9、 0x1 ) x1) n1ii )lim(1e,lim(1e, lim(1x) xexxnnx011) u一般形式： lim (1u) ue ， lim (1eu0uu通常對于含三角函數(shù)的0 型極限用 i)，對于 1 型極限用 ii)。04 、 (1) 用等價無窮小計算極限x 0 時，常見的 等價無窮小 有sin x, tan x,ln(1x),ex1,arcsin x,arctan x x,1 cos x 1x2 ,(1x)1 x (0) .2注意：x 的廣泛的代表性;.sin u, tan u, ln(1u), eu1, arcsin u, arctan u u1 cosu 1u 2, (

10、1 u)1 u 等2(2) 有界函數(shù)乘無窮小仍為無窮小。5 、用羅必達法則設(shè)（ 1） limf (x)0() ， lim f (x)0( ) ，（ xx0 或 x）（ 2）在 x0 的某個去心鄰域內(nèi)（當(dāng)x 充分大時）f ( x), f ( x) 可導(dǎo)，且 f ( x) 0（ 3） limf( x)a()f ( x)則lim f ( x)limf (x)a()f ( x)f ( x)基本類型有 0和。對于 0,，可以通過初等變形轉(zhuǎn)化為0 和 。對于 1 ,0 , 00 ，00通過取對數(shù)再用羅必達法則。6 、用變量代換注意：該方法要視極限的具體形式而定，如：在計算xx0 的極限時，如果被求極限中含

11、有xx0 的因式時，可以令xx0 = t ；在計算 x的極限中，如果被求極限中含有1 ，則可令 1 t 。在研究xx生數(shù)學(xué)入學(xué)考試中不常出現(xiàn)7 、用極限存在的二個準(zhǔn)則i) 夾逼（兩邊夾）定理；ii) 單調(diào)有界定理：單調(diào)遞增（減）有上界（下界）的數(shù)列必有極限。8 、利用導(dǎo)數(shù)定義(ch.2)9 、用定積分定義(ch.3)當(dāng)已知函數(shù)f (x) 可積時，有;.nlimni1f ( i) 11nf (x)dx ， lim0nnni 1f (ia ) 1 n n101af ( ax) dx =f (x)dxa0ni ) 11a 1limf (af (ax)dx =f (x)dxn1nn0ainf (a(b

12、a)i ) b af ( x) dxlimbn1nnai10 、用微分和積分中值定理(ch.2)11 、用 taylor 公式 (ch.2)注意：下面幾類極限一般要討論左右極限：分段函數(shù)在分段點的極限；x x0 時，與絕對值或開偶次方根有關(guān)的極限；1x x0 時，含有形如 a x x0 因式的極限。三、無窮小階的比較設(shè) , 均為無窮小，且不為 0，如果：（ 1） lim/0 時，則稱是的高階無窮小，或稱是的低階無窮小，記0( ) 。（ 2） lim/c0時，則稱與為同階無窮小，特別當(dāng)c 1 時，稱與是等價無窮小。（ 3） lim/k0 時，則稱是的 k 階無窮小。c注意：無窮小的比較是在數(shù)學(xué)考

13、試中一個經(jīng)常考的考點，尤其在數(shù)二、三、四中。其主要考法有：已知函數(shù)f ( x) 與另一已知函數(shù)g(x) 是同階無窮小，求f ( x) 中所含的參數(shù)；當(dāng)函數(shù)f (x) 滿足什么條件時，是xn 的同階（高階）無窮??；將給出的幾個無窮小按其階從小到大排列。例題（一）極限的計算;.1、（ 00 ）設(shè)對任意的x，總有( x) f ( x) g(x) ，且 lim g( x)( x)0 ，則 lim f ( x) ：xx（ a）存在且等于零，（ b）存在但不一定為零，（ c）一定不存在，（d ）不一定存在。2、（ 1） limexsin x；（ 2 ） limtan x x ；x 0xcos xsin x

14、x 0x2 sin x3sin xx2 cos 1arctan x x（ 3 ）（ 97 ） limx；（ 4）（ 00） lim。x 0 (1 cos x)ln(1 x)x 0ln(1 2x3 )3、（ 1） lim1x1tan x ；（ 2 ）（ 99 ） lim1 tan x1 sin x。x 01x1sin xx 0x ln(1 x)x212exsin x（ 2 ）（ 05 ）（數(shù)三、四）1x134、（ 1）（ 00） lim(4) 。limx( )x0exxx 0 1ex215、（ 1） lim(11 )xex ；（ 2 ） limx( x2100 x) 。xxx6、（ 1）（ 04

15、）求極限 lim1 ( 2cos x) x1 ；（ 2 ）（ 93） lim3x25 sin 2 ；x 0x33x5x3x7、（ 1）（ 99） lim(11) ；（ 2）（94 ） lim xx2 ln(11 ) 。x 0x2x tan xxx1113x1axb xc x8、（ 1）（ 03） lim(cos x) ln(1x2 ) ；（ 2 ） lim, ( a, b, c 0) 。x 0x3;.x(xt ) f (t )dt0 ，求極限 lim019、（ 05 ）設(shè)函數(shù) f (x) 連續(xù)，且 f ( 0)x()x 0x0f (x t )dt210 、（ 07） limarctan x s

16、in x=。x 0x3（二）關(guān)于數(shù)列極限：10、（ 03）設(shè)an , bn, cn 均為非負數(shù)列，且 lim an0, lim bn 1,lim cn，則必有：nnn（ a） anbn 對任意 n 成立；（ b ） bncn 對任意 n 成立；（ c）極限 lim an cn 不存在；（ d）極限 lim bn cn 不存在。nn11、（ 98）設(shè)數(shù)列 xn 與 yn 滿足 lim( xn yn )0 ，則下列判斷正確的是：n（ a）若 xn 發(fā)散，則 yn 必發(fā)散，（b ）若 xn 無界，則 yn 必有界，（ c ）若 xn 有界，則 yn 必為無窮小，（ d ）若1為無窮小，則yn 必為無

17、窮小。xn12、（ 1 ）（ 98 ） lim( ntan 1 )n2；（2） lim n( n n1) 。nnn（ 3）（02 ） lim ln n2na1nn n(1 2a)13、 x12, x222 ,., xn22l2 ，求 lim xn 。n14、（ 96） x1 10, xn 16 xn ，證明 lim xn 存在并求之。n15、（ 97）設(shè) a1 2, an 11 (an1 ) ，證明： lim an 存在。2nan;.16、設(shè) x1 2, xn 1 21 , (n 1) ，求 lim xn 。nxn17、（ 06）設(shè)數(shù)列xn 滿足 0 x1， xn 1sin xn ， n 1,

18、2,1xn2證明：（ 1 ） lim xn 存在，并求該極限；（ 2 ）計算 limxn 1nnxn18、 lim(11.1) 。n2n2n2n12n19、（ 95） lim(12. 2n22) 。nnn 1n n 2nn n（三）極限中常數(shù)的確定20、（ 04）若 lim sin x (cos x b)5 ，求 a 、 b 。x 0 exa21、（ 1 ）（ 97 ）設(shè) x0 時， etan xex 與 xn 是同階無窮小，則n?（2 ）（ 96）設(shè) x0 時， f ( x) ex 1ax 為 x 的三階無窮小，求 a, b 。1bx（3 ）（ 05 數(shù)二）當(dāng)x0 時，(x)kx 2 與(

19、x)1xarcsin xcos x 是等價無窮小，則k ？1cos x2 dt ， g( x)x5x6，則當(dāng) x0 時 f (x) 是 g( x) 的（4 ）設(shè) f ( x)sin t）056;.a ：低階無窮小b ：高階無窮小c ：等價無窮小d ：同階但不等價無窮小（5 ）（ 06）試確定常數(shù)a, b, c ，使得（ 1/3 ， -2/3 ， 1/6 ）ex (1 bx cx 2 ) 1 ax o( x3 )22、（ 98）求 a, b, c ，使 limax sin x3c, (c 0) 。x 0x ln(1t)dtbt23、（ 94）設(shè)a tan x b(1 cos x)2,a2c20

20、，則有：lim2x)d (1e x2x 0 c ln(1)（ a ） b4d ，（ b） b4d ，（ c） a4c ，（ d） a4c 。24 、（ 1 ）（ 01 ）設(shè)當(dāng) x0 時， (1cos x)ln(1x2 ) 是比 xsin xn 高階的無窮小，而x sin xn 是比x21) 高階的無窮小，則正整數(shù)n 等于：(e（ a） 1，（ b） 2 ，（ c）3 ，（ d ）4 。（ 2） （ 01）已知f (x)在 (,) 內(nèi)可 導(dǎo) ，且limf (x) e ，xlim(xc ) xlimf (x)f ( x1) ，求 c 的值。xxcx25 、（ 02 ）設(shè)函數(shù) f (x)在 x 0

21、的某個領(lǐng)域內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f (0)0, f (0) 0 ，若af ( h) bf (2 h) f (0) 在 h0 時是比 h 高階的無窮小，試確定a、 b 的值。26、（ 02）設(shè)函數(shù)f ( x) 在 x0的某領(lǐng)域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 f (0)0 ，f (0)0 ，f (0)0 ，;.證明：存在惟一的一組實數(shù)1 ,2 ,3 ，使得當(dāng) h0時， 1 f (h)2 f (2 h)3 f (3h) f (0) 是比 h2 高階的無窮小。27、 lim ( 3 ax3bx2xx)1x3，求 a, b 。3 連續(xù)與間斷一、 f ( x) 在點 x0 連續(xù)（重點）：lim f ( x)f (

22、 x0 ) 或 limy0 。xx0x0初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，分段函數(shù)分界點的連續(xù)性要用定義討論。二、若 f (x) 在點 a 不連續(xù)，稱a 為 f ( x) 的間斷點。間斷點分兩類：第一類間斷點（左、右極限都存在）：可去間斷點（左、右極限都相等）和跳躍間斷點（左、右極限不相等）第二類間斷點：無窮間斷點（至少有一側(cè)極限為無窮大），振蕩間斷點等。注意 ：這一部分在數(shù)三、四中是一個?？嫉目键c，主要以已知連續(xù)性或間斷點的類型確定參數(shù)，計算題中以討論間斷點類型并補充定義使其連續(xù)為主；在數(shù)一、二中一般不單獨以單個概念出題，通常會跟函數(shù)的建立、極限、微分方程等概念結(jié)合考查。三、閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)有

23、以下性質(zhì)：1 ）最值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到最大值m 和最小值m（必有界）；更一般地：我們可以得到如下結(jié)論設(shè) f ( x) 在開區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)連續(xù)，且lim f ( x) 及 lim f ( x) 都存在，則f ( x) 在 (a,b) 內(nèi)有界。xaxb2 ）介值定理：閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取到介于最小值和最大值m 之間的任一數(shù)；;.3 ）零點定理：設(shè)f (x) 在 a,b 上連續(xù)， f ( a) 與 f (b) 異號，則至少有一點(a,b) ，使得f ()0 。推廣的零點定理 ：設(shè) f ( x) 在區(qū)間 (,) 上連續(xù)，且lim f ( x)( ) ， lim f (x)(

24、) ，則至少存xx在一點( ,) ，使 f ()0例題1etan xx0f ( x)arcsinx 01（ 02 ）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，則 a=。x2ae2 xx0ln(1ax3 )x0xarcsin x2（ 03 ） 設(shè)函數(shù) f (x)6x0eaxx2ax 1x0xsin x4，問 a 為何值時，f ( x) 在 x0處連續(xù)； a為何值時，x0是 f ( x) 的可去間斷點？3、（ 00 ）設(shè)函數(shù) f (x)x, ) 內(nèi)連續(xù)，且 lim f (x)0 ，則常數(shù) a、 b 滿足：bx 在 (a ex（ a） a 0, b 0 ,（ b） a 0, b 0 ,（ c） a 0, b 0 ,（ d ）

25、 a 0, b 0 .4 、（ 05 ）設(shè) f ( x)1，則（）xe x 11（ a） x0, x1都是f (x) 的第一類間斷點。（ b） x0, x1都是f (x) 的第二類間斷點。;.（ c）x 0是f (x)的第二類間斷點 ,x 1 f (x)的第二類間斷點是（ d） x 0是 f (x)的第二類間斷點，x1是 f ( x) 的第一類間斷點5、（ 04 ）設(shè) f ( x)lim(n21)x ，則 f ( x) 的間斷點為 x。nnx16、（ 98 ）設(shè) f ( x)lim 1x2n，討論 f (x) 的間斷點，結(jié)論為：n1x（ a）不存在間斷點，（ b ）存在間斷點 x 1，（ c）

26、存在間斷點x0，（d ）存在間斷點 x1。7、下列命題中正確的是（）（ a）設(shè)函數(shù) f ( x) 在 xx0處連續(xù) , g( x) 在 xx0 處不連續(xù)，則f ( x) + g(x) 在 xx0 處必不連續(xù)（ b） f (x) ， g(x) 都在 xx0 處不連續(xù)，則f (x) + g( x) 在 xx0 處必不連續(xù)（ c） 設(shè)函數(shù) f (x) 在 xx0 處連續(xù)， g (x) 在 xx0 處不連續(xù)， 則 f ( x) g ( x) 在 xx0 處必不連續(xù)（ d） f ( x) ， g( x) 都在 xx0 處不連續(xù)，則f ( x)g( x) 在 xx0 處必不連續(xù)x8、（ 98 ）求 f (

27、 x)tan(x)2) 內(nèi)的間斷點及類型。(1 x)4 在 (0,1(exe) tanx9 、（ 07 ）函數(shù) f (x)1在 , 上的第一類間斷點是 xx(exe)(a) 0; (b) 1;(c)2;(d)。210、設(shè) f (x) 在 a, b 上連續(xù)，且 a2f ( x)b2 ，求證： a, b ,使 f ( )2 。11、 f (x) 在 0,1 上非負連續(xù)，f (0)f (1)0 ，證明：對lr (0l1),x00,1 ，使f ( x0 )f ( x0l ) 。;.12、證明：方程xpqcos x0 恰有一個實根，其中p, q 為常數(shù)，且 0q113、設(shè) f (x)在 a,b 上連續(xù)，

28、 ax1x2b ，試證，對兩個正數(shù) t1 與 t2 ，一定點 c a,b ，使 t1 f ( x1 )t2 f ( x2 )(t1t2 ) f (c) 。（本題的證明思想應(yīng)掌握，并應(yīng)能將結(jié)論推廣到更為一般的情況）14、（ 04）函數(shù) f (x)x sin( x2)在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界：x( x 1)(x2)2（ a）（ 1 ，0 ）；（ b ）（0 ， 1 ）；（ c）（ 1， 2）；（ d）（ 2， 3 ）。單元練習(xí)1、 求函數(shù) f ( x)sin(x ) 的定義域2、 函數(shù) f ( x)ln(1e1x ) 的定義域為_。3、 若 f (x) 的定義域為（0，1 ），則函數(shù)f (ex1) 的

29、定義域為 _。4、 f ( x)x sin x ecos x ， x (,) 是（）（ a ）有界函數(shù)（ b）單調(diào)函數(shù)（ c）周期函數(shù)（ d）偶函數(shù)n2n為奇數(shù)、 xnnn，則當(dāng) n時， xn 是（）1為偶數(shù)nn（a ）無窮大量（ b）無窮小量（ c）有界變量（d ）無界變量、設(shè) f ( x) 是連續(xù)函數(shù)，且 f ( x)x12 f (t )dt ，則 f ( x) _07、當(dāng) x0 時，下列四個無窮小量中，哪一個是比其它三個更高階的無窮?。ǎ╝ ） x 2（ b） 1 x21（c ） x tan x（d ） 1cos x2;.8、設(shè) f ( x) ， g(x)在 x 0 的某個領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)，

30、且當(dāng)x 0 時 f (x) 是 g (x) 高階的無窮小，則當(dāng)xxx 0 時， f(t) sin tdt 是 tg (t)dt 的（）00（ a）低階無窮?。?b）高階無窮?。?c）同階但不等價無窮?。?d）等價無窮小5 x9、(x)0sin t dt ， ( x)1dt ，則當(dāng) x0 時(x) 是(x) 的（）(1 t ) tsin xt0（ a）低階無窮小（ b）高階無窮?。?c）同階但不等價無窮小（ d）等價無窮小ln(1x)( axbx 2 )2 ，則（）10 、已知 limx2x0（ a ） a1,b5（ b）a0, b2 （ c） a 0,b52（ d ） a 1, b212 sin 1 是211、當(dāng) x0 時，變量（）xx（ a ）無窮大量（b ）無窮小量（ c ）有界變量，但不是