1、1. 點(diǎn)電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,一. 接地導(dǎo)體平面的鏡像,上半場域邊值問題,(導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處),(S為包圍q的閉合面),(除q所在點(diǎn)外的區(qū)域),導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷,由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。,電場線與等位面的分布電偶極子的上半部分完全相同。,電荷守恒：當(dāng)點(diǎn)電荷q 位于無限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點(diǎn)電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷。,可見，上述鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。,根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量。,半空間等效：上述等效

2、性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。,例 求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷 在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。,解: 設(shè)點(diǎn)電荷 離地面高度為h,方向指向地面,整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量,例 真空中，電量為 的點(diǎn)電荷位于點(diǎn) 處， 平面是一個(gè)無限大的接地導(dǎo)體板。求 軸上電位為 的點(diǎn)的坐標(biāo)；計(jì)算該點(diǎn)的電場強(qiáng)度。,解: 根據(jù)鏡像法可知上半空間的電位,由,可解得,將 代入，得, 當(dāng) 時(shí)， 軸上的電場強(qiáng)度,將 代入，得,當(dāng) 時(shí)， 軸上的電場強(qiáng)度,2. 線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,在 的上半空間中，電位函數(shù)為,沿 軸方向的無限長直線電荷位于無限大接地導(dǎo)體平面的上方,其鏡像電荷仍是無限長線電

3、荷,3. 點(diǎn)電荷對相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像,可看作是把導(dǎo)體平面撤去，整個(gè)空間均勻，由個(gè)點(diǎn)電荷所引起的。,半無限大導(dǎo)體平面形成劈形邊界。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于 的整數(shù)分之一時(shí)，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)鏡像電荷。例如，夾角為 的導(dǎo)電劈需引入 5 個(gè)鏡像電荷。,若兩導(dǎo)體平面相交成 角,， 為整數(shù),為 個(gè),只要,就可用鏡像法求解，,其鏡像電荷數(shù)為有限的，,例 線電荷密度為 的無限長直導(dǎo)線位于無限大導(dǎo)體平板（ 處）的上方 處，沿 軸方向。試求該導(dǎo)體板上的點(diǎn) 處的感應(yīng)電荷密度。,解: 去掉導(dǎo)體平板，在 處放置線電荷密度為 的鏡像線電荷替代其作用。,P點(diǎn)電

4、場強(qiáng)度為,P點(diǎn)處的感應(yīng)電荷面密度則為,1. 點(diǎn)電荷對接地導(dǎo)體球面的鏡像,二. 導(dǎo)體球面的鏡像,設(shè)點(diǎn)電荷 位于一個(gè)半徑為 的接地導(dǎo)體球外，與球心距離為 。,導(dǎo)體球面將產(chǎn)生感應(yīng)電荷，導(dǎo)體球外的電位應(yīng)由點(diǎn)電荷 和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。這類問題可用鏡像法求解。,把導(dǎo)體球面移去，用一個(gè)鏡像電荷來等效球面上的感應(yīng)電荷。,為了不改變球面上的電荷分布，鏡像電荷必須放置在導(dǎo)體球面內(nèi)。,由于對稱性鏡像電荷應(yīng)位于球心與點(diǎn)電荷 的連線上。,設(shè)鏡像電荷 ，與球心距離為 。,任一點(diǎn)電位函數(shù)為,導(dǎo)體球接地,有,解得,（舍去）,由惟一性定理，球外的電位函數(shù)為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,當(dāng)點(diǎn)電荷 位于接地

5、導(dǎo)體球內(nèi)，與球心距離為 （ ）。,鏡像電荷應(yīng)放置在球外，且在球心與點(diǎn)電荷 的連線的延長線上。,設(shè)鏡像電荷 ，與球心距離為 。,可得,由于 ，所以必有 。,即在這種情況下，鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷 的電荷量。,球殼外的電位 ，球殼內(nèi)的電位函數(shù)為,球面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為,這種情況下，鏡像電荷并不等于感應(yīng)電荷。,2. 點(diǎn)電荷對不接地導(dǎo)體球面的鏡像,設(shè)點(diǎn)電荷 位于一個(gè)半徑為 的不接地導(dǎo)體球外，與球心距離為 。,注意到：導(dǎo)體球面是一個(gè)電位不為零的等位面；,由于導(dǎo)體球未接地，在點(diǎn)電荷的作用下，球面上總的感應(yīng)電荷為零。,可用鏡像法計(jì)算球外的電位函數(shù)。,分析：先設(shè)想導(dǎo)體球接地，情

6、況如前。,點(diǎn)電荷 和鏡像電荷 使導(dǎo)體球的電位為零，不符電位條件，球面上總感應(yīng)電荷也不為零。,再斷開接地線，并將電荷 加于導(dǎo)體球上，球面感應(yīng)電荷為零。且使 在球面上均勻分布，保證為導(dǎo)體球面為等位面。這樣電荷 可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷 來替代。,球外任一點(diǎn)電位函數(shù)為,點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場圖,三. 導(dǎo)體圓柱面的鏡像,1. 線電荷對導(dǎo)體圓柱面的鏡像,一根線電荷密度為 的無限長線電荷位于半徑為 的無限長接地導(dǎo)體圓柱面外，且與圓柱軸線平行，線電荷到軸線的距離為 。,為使導(dǎo)體圓柱面成為電位為零的等位面，鏡像電荷應(yīng)是位于圓柱面內(nèi)部且與軸線平行的無限長線電荷。,設(shè)鏡像線電荷密度為 ，由于對稱性其必定

7、位于線電荷 與圓柱軸線所決定的平面上，設(shè)鏡像電荷 距圓柱的軸線為 。,對任意 都成立，再對 求導(dǎo)，可得,有,解得,（舍去）,由惟一性定理，導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)為,由 得,導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為,導(dǎo)體圓柱面上單位長度的總感應(yīng)電荷為,即，導(dǎo)體圓柱面上單位長度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。,由于電場相互影響，導(dǎo)致導(dǎo)體表面電荷分布不均勻，相對的一側(cè)電荷密度較大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。,2. 兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸,應(yīng)用線電荷對接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像法，分析兩半徑相同、帶有等量異號電荷的平行長直導(dǎo)體圓柱周圍的電場問題。,兩半徑都為 的平行導(dǎo)體圓柱，軸線間距為 ，單位長度分別帶電荷 和 。,

8、帶電細(xì)導(dǎo)線所在的位置稱為帶電圓柱導(dǎo)體的電軸，這種方法又稱電軸法。,設(shè)想：將兩導(dǎo)體圓柱撤去，其表面電荷用線密度分別為 和 、且相距為 的兩根無限長帶電細(xì)線來替代。,實(shí)際是將 和 看成是互為鏡像。,電軸的位置,解得,導(dǎo)體圓柱外空間任一點(diǎn)的電位函數(shù)（為線電荷密度分別為 和 的兩平行雙線產(chǎn)生的電位疊加）,電軸法的基本原理也可以應(yīng)用到兩個(gè)帶有等量異號電荷但不同半徑的平行無限長圓柱導(dǎo)體間的電位函數(shù)的求解問題。,四. 介質(zhì)平面的鏡像,1. 點(diǎn)電荷對電介質(zhì)分界平面的鏡像,含有無限大介質(zhì)分界平面的問題，也可采用鏡像法求解。,在計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像電荷 來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)。,在計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像電荷 來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為 的均勻介質(zhì)。,空間任意一點(diǎn)的電位函數(shù)為,和 的量值，由邊界條件確定,得,解得,點(diǎn)電荷 位于不同介質(zhì)平面上方的場圖,2. 線電荷對磁介質(zhì)分界平面的鏡像,在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流 來代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為 的均勻介質(zhì)。,在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場時(shí)，用置于介