1、最新 料推薦三次函數(shù)的性質(zhì)三次函數(shù) f(x)=ax3+bx2+cx+d（a0）在高中階段學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)后頻繁出現(xiàn)，同時(shí)也是其他復(fù)雜函數(shù)的重要組成部分， 因此有必要對(duì)其性質(zhì)有所了解， 才可以做到知己知彼，百戰(zhàn)不殆性質(zhì)一單調(diào)性以 a0 為例，如圖 1，記 =b2- 3ac 為三次函數(shù)圖象的判別式，則圖 1 用判別式判斷函數(shù)圖象當(dāng) ? 0 時(shí)， f(x)為 R 上的單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng) 0時(shí)， f(x)會(huì)在中間一段單調(diào)遞減，形成三個(gè)單調(diào)區(qū)間以及兩個(gè)極值性質(zhì)一的證明f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=3ax3+2bx+c,其判別式為 4(b2- 3ac)，進(jìn)而易得結(jié)論例 1設(shè)直線 l 與曲線 y=x3+x+1 有三個(gè)不

2、同的交點(diǎn) A,B,C，且|AB|=|BC|=5 ，求直線 l 的方程解 由|AB|=|BC|可知 B 為三次函數(shù)的對(duì)稱中心，由性質(zhì)一可得 B(0,1)，進(jìn)而不難求得直線 l 的方程 y=2x+1性質(zhì)二對(duì)稱性如圖 2，f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) P(- b3a,f(- b3a)對(duì)稱（特別地，極值點(diǎn)以及極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圖象上的點(diǎn)也關(guān)于 P 對(duì)稱）圖 2圖象的對(duì)稱性1最新 料推薦反之，若三次函數(shù)的對(duì)稱中心為 (m,n)，則其解析式可以設(shè)為 f(x)=?(x- m)3+?(x- m)+n,其中 0性質(zhì)二的證明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)- bc3a+2b327a2+d,即f

3、(x)=( x+b3a)3+(c- b23a)(x+b3a)+f(- b3a),于是性質(zhì)二得證例 2設(shè)函數(shù) f(x)=x(x- 1)(x- a)， a1（ 1 ）求導(dǎo)數(shù) f(x)，并證明 f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn) x1， x2；（ 2 ）若不等式 f(x1)+ f(x2)? 0 成立，求 a 的取值范圍（ 1）解 f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)=(x- 1)(x- a)+x(x- a)+x(x- 1)=3x2- 2(a+2)x+a,而f(0)f(1)f(a)=a0,=1- a0,于是 f(x)有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，從而f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)（ 2）解 根據(jù)性質(zhì)二，三次函數(shù)的對(duì)稱中心 (a+13,f(

4、a+13)是兩個(gè)極值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)的中點(diǎn)于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)? 0,即2?a+13?a- 23?- 2a+13? 0,結(jié)合 a1，可得 a 的取值范圍是 2,+ )注本題為 2004 年高考重慶卷理科數(shù)學(xué)第20 題性質(zhì)三切割線性質(zhì)如圖 3，設(shè) P 是 f(x)上任意一點(diǎn)（非對(duì)稱中心），過(guò)P 作函數(shù) f(x)圖象的一條割線 AB 與一條切線 PT（ P 點(diǎn)不為切點(diǎn)）， A、B、T 均在 f(x)的圖象上，則 T 點(diǎn)的橫坐標(biāo)平分 A、B 點(diǎn)的橫坐標(biāo)圖 3切割線性質(zhì)2最新 料推薦推論 1設(shè) P 是 f(x)上任意一點(diǎn)（非對(duì)稱中心），過(guò)P 作函數(shù) f(x)圖象的兩條切線

5、 PM、PN，切點(diǎn)分別為 M、P，如圖則 M 點(diǎn)的橫坐標(biāo)平分 P、N 點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖 4圖 4切割線性質(zhì)推論一推論 2設(shè) f(x)的極大值為 M，方程 f(x)=M 的兩根為 x1、x2（ x10 時(shí)， b- ma0 時(shí)為 1 個(gè)公共點(diǎn)， b- ma=0 時(shí)為 2 個(gè)公共點(diǎn)， b- ma0 時(shí)為 3個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng) a0 時(shí)為 3 個(gè)公共點(diǎn)， b- ma=0 時(shí)為 2 個(gè)公共點(diǎn)， b- ma0，如果過(guò)點(diǎn) (a,b)可作曲線 y=f(x)的三條切線，證明： - ab0曲線 y=f(x)在點(diǎn) P(0,f(0)處的切線方程為 y=1（ 1 ）確定 b,c 的值；（ 2 ）設(shè)曲線 y=f(x)在點(diǎn) (x

6、1,f(x1)及 (x2,f(x2)處的切線都過(guò)點(diǎn) (0,2)證明：當(dāng)x1x2 時(shí)， f(x1) f(x2)；（ 3 ）若過(guò)點(diǎn) (0,2)可作曲線 y=f(x)的三條不同切線，求a 的取值范圍解（ 1）f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)=x2- ax+b,于是該函數(shù)在 x=0 處的切線方程為y=bx+c,因此b=0,c=1.（ 2）函數(shù) f(x)在 x=t 處的切線方程為y=(t2- at)(x- t)+13t3- a2t2+1,當(dāng)切線過(guò)點(diǎn) (0,2)時(shí)可得23t3- a2t2+1=0,于是 x1,x2 是該方程的兩個(gè)不等實(shí)根考慮f(x1)- f (x2)=(x21- ax1)- (x22- ax2)

7、=(x1- x2)?(x1+x2- a),而? 23x31- a2x21+1=0,23x32- a2x22+1=0, 兩式相減并約去 x1- x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2- x1x2(x1+x2)2- 14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2a,進(jìn)而可得f(x1) f(x2).（ 3）函數(shù) f(x)的對(duì)稱中心為 (a2,- a312+1)，于是在對(duì)稱中心處的切線方程為 y=- a24(x- a2)- a312+1,根據(jù)性質(zhì)四的結(jié)論，可得12233,即 a 的取值范圍是 (233,+ )注此題為 2010 年高考湖北卷

8、文科數(shù)學(xué)第21 題（壓軸題）練習(xí)題練習(xí) 1 、已知函數(shù) f(x)=13x3+ax2+bx，且 f(-1)=0 （ 1）試用含 a 的代數(shù)式表示 b；（ 2）求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；（ 3）令 a=-1 ，設(shè)函數(shù) f(x)在 x1,x（2x1x2）處取得極值，記點(diǎn) M(x1,f(x1)，N(x2,f(x2)，證明：線段 MN 與曲線 f(x)存在異于 M、N 的公共點(diǎn)練習(xí) 2 、已知 f(x)=x3+bx2+cx+d 在(- ,0)上是增函數(shù)，在 (0,2)上是減函數(shù)，且方程 f(x)=0 有三個(gè)根，它們分別為從小到大依次為、2、求 |- |的取值范圍練習(xí) 3 、如圖 8 ，記原點(diǎn)為點(diǎn) P1(x

9、1,y1)，由點(diǎn) P1 向三次函數(shù) y=x3- 3ax2+bx（a0）的圖象（記為曲線 C）引切線，切于不同于點(diǎn) P1 的點(diǎn) P2(x2,y2)，再由點(diǎn) P2 引此曲線 C 的切線，切于不同于點(diǎn) P2 的點(diǎn) P3(x3,y3)如此繼續(xù)作下去，得到點(diǎn)列 Pn(xn,yn) 試回答下列問(wèn)題：圖 8（ 1）求數(shù)列 xn 的遞推公式與初始值；（ 2）求 lim n+xn，并指出點(diǎn)列 Pn 的極限位置在何處？練習(xí) 4 、已知 f(x)=x3- x，過(guò)點(diǎn) (x0,y0)作 f(x)圖象的切線，如果可以作出三條切線，當(dāng) x0(0,1)時(shí)，求點(diǎn) (x0,y0)所在的區(qū)域面積練習(xí) 5 、已知函數(shù) f(x)=2x

10、3- 3x（ 1）求 f(x)在區(qū)間 -2,1 上的最大值；（ 2）若過(guò)點(diǎn) P(1,t)存在 3 條直線與曲線 y=f(x)相切，求 t 的取值范圍；7最新 料推薦（ 3）問(wèn)過(guò)點(diǎn) A(-1,2) ，B(2,10)，C(0,2)分別存在幾條直線與曲線 y=f(x)相切？（只需寫(xiě)出結(jié)論）練習(xí) 6 、已知函數(shù) f(x)=13x3+ax2+bx，且 f(-1)=0 （ 1）試用含 a 的代數(shù)式表示 b，并求 f(x)的單調(diào)區(qū)間；（ 2）令 a=-1 設(shè)函數(shù) f(x)在 x1,x（2x1x2）處取值極值，記點(diǎn) M(x1,f(x1)，N(x2,f(x2)，P(m,f(m)， x1m? x2請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線

11、f(x)在點(diǎn) P 處的切線與線段 MP 的位置變化趨勢(shì)，并解答以下問(wèn)題： 若對(duì)任意的 m(t,x2，線段 MP 與曲線 f(x)有異于 P、Q 的公共點(diǎn)，試確定 t 的最小值； 若存在點(diǎn) Q(n,f(n)，x1? nm，使得線段 PQ 與曲線 f(x)有異于 P、Q 的公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出 m 的取值范圍（不必寫(xiě)出求解過(guò)程）練習(xí)題的參考答案練習(xí) 1 、（ 1） f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)= x2+2ax+b,于是所求的代數(shù)表達(dá)式為b=2a- 1.（ 2）在（ 1）的基礎(chǔ)上，有f(x)=(x+1)?(x+2a- 1),于是當(dāng) a1 時(shí)，函數(shù) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 (- 1-2a)和 (-1,+

12、 )，單調(diào)遞減區(qū)間是(1-2 a,-1) （ 3）此時(shí)f(x)=13x3- x2- 3x,而f(x)=x2- 2x- 3,于是 M(- 1,53)，N(3,-9) 根據(jù)性質(zhì)二，該公共點(diǎn)為三次函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱中心(1,-113 )注本題為 2009 年高考福建卷文科數(shù)學(xué)第21 題（壓軸題）練習(xí) 2 、根據(jù)題意， x=0 為 f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)=3x2+2bx+c的零點(diǎn)，于是 c=0又 f(2)=0，于是8最新 料推薦8+4b+d=0,即d=-4 b- 8,從而f(x)=x3+bx2- (8+4b)=(x- 2)?x2+(b+2)x+2b+4,因此(- )2=(+)2- 4?=(2-

13、b)2- 16.另一方面，由 f(x)在 (0,2)上是減函數(shù)得 f(2)? 0，即12+4b? 0,于是可得 b 的取值范圍是b-3.從而 |- |的取值范圍是 3,+ )練習(xí) 3 、（ 1） 根據(jù)已知，聯(lián)立P1 出發(fā)的切線方程與曲線C 的方程，得(x- x1)(x- x2)2=0,又 x1=0，切線方程只能改變左邊三次式的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，于是可得x2=32a.進(jìn)而由性質(zhì)三的推論1 可得? n? 3 n N?,2xn=xn- 1+xn- 2.于是數(shù)列 xn 的遞推公式與初始值為xn=xn- 1+xn- 22,n? 3nN?,x1=0,x2=32a.（ 2）由數(shù)列的遞推公式不難得到通項(xiàng)? n N?,xn=a?1- (- 12)n- 1,于是lim n +xn=a.因此點(diǎn)列 Pn 的極限位置為 (a,-2 a3+ab)，也就是三次函數(shù)的對(duì)稱中心練習(xí) 4 、函數(shù) f(x)在對(duì)稱中心 (0,0)處的切線方程為y=- x,于是根據(jù)性質(zhì)四的結(jié)論，我們可得所求區(qū)域面積為 10x3- x-(- x)dx=10x3dx=14.練習(xí) 5 、（ 1） f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)=6x2- 3,于是可得 f(x)在區(qū)間 -2,1 上的最大值為max f(-2 2),f(1) =2.9最新 料推薦（ 2）函數(shù) f(x)在對(duì)稱中心 (0,0)處的切線方程為y=-3 x,根據(jù)性質(zhì)四的結(jié)論，可得- 3tf