1、第6章彈性力學(xué)的平面問題,平面應(yīng)變問題,平面應(yīng)力問題,6.1平面應(yīng)變問題,對于平面應(yīng)變問題，由應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以求得：,對于平面應(yīng)變問題問題，應(yīng)變是平面的，但應(yīng)力 卻是空間的。,根據(jù)應(yīng)變表達(dá)有應(yīng)力表達(dá)：,將,式中 為材料常數(shù)。,平衡方程,歸納平面應(yīng)變的基本方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,邊界條件,本構(gòu)方程,材料常數(shù),解平衡方程與本構(gòu)方程可得 三個未知量。,平面應(yīng)力問題的基本假設(shè)：,6.2廣義平面應(yīng)力問題,應(yīng)力表達(dá)：,對于平面應(yīng)力問題，應(yīng)力是平面的，但應(yīng)變卻是空間的。,平面應(yīng)力問題的應(yīng)變表達(dá)：,由,得,代入,式中 為材料常數(shù)。,平衡方程,歸納平面應(yīng)力基本方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,邊界條件,本構(gòu)方程,材料

2、常數(shù),解平衡方程與本構(gòu)方程可得 三個未知量。,平面問題基本方程,平衡方程,幾何方程,協(xié)調(diào)方程,邊界條件,材料常數(shù),本構(gòu)方程,6.3 平面問題應(yīng)力函數(shù),在平面問題中，當(dāng)忽略體力時，平衡方程可簡化為：,由平衡方程有,引入,則該式滿足平衡方程（1）式；,注意到,則存在 函數(shù)，使,因為,由上述得到,容易驗證 滿足平衡方程,這三個式子為用應(yīng)力函數(shù) 表示的應(yīng)力表達(dá)式。,將 代入平面問題本構(gòu)方程可以得到：,將上式代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,可得：,其中,協(xié)調(diào)方程也可寫成：,上式中的 就是所謂的Airy應(yīng)力函數(shù)。因此平面問題可以歸結(jié)為求解滿足雙調(diào)和方程和給定面力邊界條件的應(yīng)力函數(shù)。,由協(xié)調(diào)方程,由此得到應(yīng)力表示的協(xié)調(diào)方

3、程,在平面問題中，由于引進(jìn)應(yīng)力函數(shù)的概念，可以使求解問題變得簡單。應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)滿足雙調(diào)和方程，在邊界上應(yīng)滿足面力邊界條件。,由應(yīng)力函數(shù)表示的面力邊界條件,受常體力（ ）作用的應(yīng)力解答式：,上式的特解,受常體力（ ）與邊界面力作用的應(yīng)力表達(dá)式：,疊加常體力時的特解,其應(yīng)力表達(dá)式為,同時要滿足面力邊界條件,積分得,由此可以求得,由于對于任何 值上式都滿足，所以各次 冪的系數(shù)都應(yīng)為零,即,常數(shù) A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H，K 由邊界條件確定。,由于應(yīng)力函數(shù)中的線性項和常數(shù)項不影響問題的解，因此可以取為零，即上式中的 、 、 為零，代入應(yīng)力函數(shù)的應(yīng)力表達(dá)式可得：,y=-h/2：,y=h/2：,直接寫,得,將上邊界條件代入應(yīng)力表達(dá)式,考慮結(jié)構(gòu)的對稱性，和應(yīng)當(dāng)是 的偶函數(shù)，而 應(yīng)當(dāng)是 的奇函數(shù)，,于是應(yīng)力表達(dá)式可簡化為：,可得,將應(yīng)力表達(dá)式,代入,代回后可得應(yīng)力分量的最后表達(dá)式,（2）寫邊界條件,積分上式,代入?yún)f(xié)調(diào)方程,有,則,應(yīng)力表達(dá),由邊界條件定常數(shù)。,得,應(yīng)力表達(dá),n =(-1, 0),得,左端力邊界條件,將A、D代入應(yīng)力表達(dá)式中有,由本構(gòu)關(guān)系得