1、3.1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn),2020/9/24,我們知道，令一個(gè)一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的函數(shù)值y0，則得到一元二次方程ax2+bx+c=0 （a0）,問題1觀察下表(一)，說出表中一元二次方程的實(shí)數(shù)根與相應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的關(guān)系。,沒有交點(diǎn),(1,0),x2-2x+3=0,x2-2x+1=0,(-1,0),(3,0),x2-2x-3=0,1.方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù).。,結(jié) 論:,無(wú)實(shí)數(shù)根,x1=x2=1,x1=-1,x2=3,y=x2-2x+3,y=x2-2x+1,y=x2-2x-3,圖象與x軸的交點(diǎn),函數(shù)的圖象,一元二次方程,方程的根,二次函

2、數(shù),2.方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。,探究,問題2,若將上面特殊的一元二次方程推廣到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)及相應(yīng)的二次函數(shù)y= ax2+bx+c(a0)的圖象與x軸交點(diǎn)的關(guān)系，上述結(jié)論是否仍然成立？(觀察表二),0,=0,判別式 = b24ac,方程ax2 +bx+c=0 (a0)的根,函數(shù)y= ax2 +bx +c(a0)的圖象,函數(shù)的圖象 與 x 軸的交點(diǎn),0,(x1,0),(x2,0),沒有實(shí)根,沒有交點(diǎn),兩個(gè)不相等 的實(shí)數(shù)根x1 、x2,有兩個(gè)相等的 實(shí)數(shù)根x1 = x2,(x1,0),探究,以a0為例,結(jié)論：,1.方程根的個(gè)數(shù)就是函數(shù)圖象與x軸

3、交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。,2.方程的實(shí)數(shù)根就是函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。,函數(shù)零點(diǎn)的定義：,對(duì)于函數(shù)y=f(x) 我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù) y=f(x)的零點(diǎn)（zero point)。,注意：,零點(diǎn)指的是一個(gè)實(shí)數(shù)。,對(duì)于函數(shù)y=f(x),我們把使f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù) y=f(x)的零點(diǎn)。,方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根,函數(shù)零點(diǎn)的定義：,等價(jià)關(guān)系,y=x2-x+20； (2)y=2x-1;,拓展：求下列函數(shù)的零點(diǎn)。,評(píng)注：求函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)的方程f(x)=0的根，一般可以借助求根公式或因式分解等辦法，求出方程的根，從而得出函數(shù)的零點(diǎn)。,解：令x2-x+20=0 解方程得，x

4、1=4，x2=-5 函數(shù)y=x2-x+20的零點(diǎn)是4和-5,解：令2x-1=0 2x=1=20 x=0 函數(shù)y=2x-1的零點(diǎn)是0,觀察二次函數(shù)f(x)=x22x3的圖象:,在2,1上，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)在區(qū)間（-2,1)內(nèi)有零點(diǎn)x _,有f(2)_0, f(1)_0得到f(2)f(1) _0()。,在2,4上，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)f(x)在區(qū)間（2,4)內(nèi)有零點(diǎn) x _，有f(2)_0,f(4) _ 0得到 f(2)f(4) _ 0（)。,觀察函數(shù)y=f(x)的圖象:,1 在區(qū)間(a,b)上_(有/無(wú))零點(diǎn)； f(a)f(b) _ 0（或） 2 在區(qū)間(b,c)上_(有/無(wú))零點(diǎn)； f(b) f(

5、c)_ 0（或） 3 在區(qū)間(c,d)上_(有/無(wú))零點(diǎn)； f(c ).f(d) _ 0（或）,思考：函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況，與函數(shù)零點(diǎn)是否存在某種關(guān)系？,-1,3,有,有,有,探究,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù) 不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函 數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c(a,b)，使得f(c)=0，這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根。,注:只要滿足上述兩個(gè)條件,就能判斷函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)。,零點(diǎn)存在性定理：,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線： （1） f(a)f(b)0 函數(shù)y=f(x)在區(qū)

6、間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)；,（2）函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)f(a)f(b)0。,注意:,a,b,什么情況下在區(qū)間（a，b）內(nèi)只有唯一的零點(diǎn)？,答：函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上是單調(diào)函數(shù),由表可知,f(2)0，,即f(2)f(3)0，,說明這個(gè)函數(shù)在區(qū)間(2,3)內(nèi) 有零點(diǎn)。,由于函數(shù)f(x)在定義域 (0,+)內(nèi)是增函數(shù)，所以 它僅有一個(gè)零點(diǎn)。,4,1.3069,1.0986,3.3863,5.6094,7.7918,9.9459,12.0794,14.1972,例題1 求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。,G S P,G S P,例題1 求函數(shù)f(x)=lnx+2x6的零

7、點(diǎn)個(gè)數(shù)。,1(1)解：令f(x)=x23x5, 作出函數(shù)f(x)的圖象，如下：,它與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以方程x23x50有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。,1(1) x23x50,1.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個(gè)根：,1(2)解：2x(x2)3可化為 2x24x30，令f(x)= 2x24x 3 , 作出函數(shù)f(x)的圖象,如下：,它與x軸沒有交點(diǎn)，所以方程2x(x2)3無(wú)實(shí)數(shù)根。,1(2) 2x(x2)3,1.利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個(gè)根：,2(1)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,因?yàn)閒(1)=10,f(1.5)=2.8750, 所以f(x)= x33x+5在區(qū)間(1, 1.5)

8、上有零點(diǎn)。,2(1) f(x)= x33x+5,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：,變式：判斷函數(shù)f(x)= x33x+5零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。,又因?yàn)閒(x)是(,） 上的減函數(shù)，所以在區(qū)間(1, 1.5)上有 且只有一個(gè)零點(diǎn)。,2(3)解：作出函數(shù)的圖象，如下：,因?yàn)閒(0)3.630,所以f(x)= ex1+4x4 在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn)。又因 為f(x) = ex1+4x4是( ， ）上的增函數(shù)，所以在 區(qū)間(0,1)上有且只有一個(gè)零 點(diǎn)。,2(3) f(x)=ex1+4x4,利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：,練一練:,練習(xí)3、求證：方程5x2-7x-1=0的一個(gè)根在區(qū)間 (-1,0)內(nèi)，另一個(gè)根在區(qū)間(1,2)內(nèi)。,變式：若函數(shù)y=5x2-7x-1在區(qū)間a,b上的圖象是 連續(xù)不斷的曲線，且函數(shù)y=5x2-7x-1在(a,b)內(nèi)有 零點(diǎn)，則f(a)f(b)的值( ) A、大于0 B、小于0 C、無(wú)法判斷 D、等于零,【變式引申】 1、若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的零點(diǎn)是2和-4,求a,b的值。,2、若二次函數(shù)f(x)=x2+mx+3有唯一零點(diǎn)，則m的值和零點(diǎn)分別是多少？,3、若函數(shù)y=ax2-x-1只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值。,課堂小結(jié)： 、函數(shù)零點(diǎn)的定義； 2、函