1、第十五章,選考內(nèi)容,二階矩陣、常見的平面變換及矩陣的乘法,第79講,二階矩陣與平面向量,【例1】求在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換作用 下得到點(diǎn)(2, -4)的平面上的點(diǎn)P的坐標(biāo).,【解析】設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x , y), 則 , 即 ，解得 . 所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為 .,點(diǎn)評(píng),解答這種類型的題，首先分清哪一個(gè)是變換前的點(diǎn)，哪一個(gè)是變換后的點(diǎn)，然后把點(diǎn)的坐標(biāo)寫成列向量的形式；其次根據(jù)二階矩陣與平面列向量的乘法規(guī)則進(jìn)行解題.,【例2】已知曲線C的方程為 x2+y2=1，伸縮變換和反射變換的矩陣分別為 和 , 求曲線C在和變換下曲線 C的方程，并說明曲線的特征.,常見的平面交換,【解析】設(shè)點(diǎn)P(x , y)為曲線C上

2、任意一點(diǎn)，通過變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x, y). 由 , 得 ，代入 x2+y2=1， 得 ,即曲線C在伸縮變換的作用下的曲線C的方程為 x2+4y2=1, 其圖形為焦點(diǎn)在 x 軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓. 又由 ， 得 ， 代入 x2+y2=1, 得 . 故曲線C在反射變換的作用下的曲線C的方程為 x2+y2=1, 其圖形仍為圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為1的圓.,點(diǎn)評(píng),變換是點(diǎn)到點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可用點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系來刻畫.矩陣通過變換作用，使曲線方程所對(duì)應(yīng)的圖形產(chǎn)生變化.圖形的變換依托矩陣這一重要的數(shù)學(xué)模型，矩陣控制著圖形的變換.,【變式練習(xí)2】分別給出下列矩陣表示的變換對(duì)圖中ABC的作用結(jié)果，其中A(-

3、3 , 0) , B(0 , 2) , C(2 , 0). (1) ; (2) ; (3) ; (4) .,【變式練習(xí)2】(1)矩陣 表示橫坐標(biāo)保持不變， 縱坐標(biāo)沿y軸負(fù)方向拉伸為原來的2倍的伸壓變換，故ABC變?yōu)锳BC，其中A(-3 , 0) , B(0 , -4) , C(2 , 0). (2)矩陣 表示縱坐標(biāo)不變，橫坐 標(biāo)依縱坐標(biāo)比例增加的切變變換，故ABC變?yōu)锳BC，其中A(-3 , 0) , B(2 , 2) , C(2 , 0).,(3)矩陣 表示將圖形變換為與之 關(guān)于直線 y=x 對(duì)稱的反射變換，故ABC變?yōu)锳BC，其中A(0 , -3) , B(2 , 0) , C(0 , 2

4、).,(4)矩陣 表示繞原點(diǎn)逆時(shí)針 旋轉(zhuǎn)60的旋轉(zhuǎn)變換，故ABC變?yōu)?ABC，其中A , B , C .,變換的復(fù)合與矩陣的乘法,【解析】(1)因?yàn)锳B= , 所以(AB) = , 即向量= 在復(fù)合變換作用 下的像為 .,(2)因?yàn)?i= , j= , 又()i= , ()j= , 從而,點(diǎn)評(píng),復(fù)合變換中先施行右邊的變換，再施行左邊的變換.,【解析】設(shè)B= , 則 , 故 , 解得 . 故B= .,3.已知二階矩陣M滿足 , , 求 .,【解析】設(shè)M= . 由 , 得 ，所以a=1, c=0. 由 , 得 ，所以b=1 , d=2.,所以M= . 所以M2= . 所以 .,4.設(shè)M= ，N= , 試求曲線 y=sinx 在矩陣MN變換下的曲線方程.,【解析】 設(shè)(x , y)是曲線 y=sinx 上的任意一點(diǎn)，在矩 陣MN變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x, y).,則 ， 所以 , 即 . 將其代入 y=sinx，得 y=sin2x，即 y=2sin2x. 即曲線 y=sinx 在矩陣MN變換下的曲線方程 為 y=2sin2x.,1.矩陣與向量乘法的意義應(yīng)以映射與