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第二章 解析函數(shù),第三講 復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù),學(xué)習(xí)要點,掌握復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,掌握C-R方程與函數(shù)可導(dǎo)的充要條件,1. 定義,問題：復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與實變元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有什么不同？,解 由導(dǎo)數(shù)的定義,有,當(dāng)z=0時, 該極限值為零. 故在點z=0處函數(shù)可導(dǎo),2. 復(fù)變函數(shù)的微分,3. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,證：因為,4. 求導(dǎo)法則,二、 Cauchy-Riemann方程,復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性不等價于它的實部和虛部的可微性。,那么什么條件下復(fù)變函數(shù)才能可導(dǎo)呢？,比較以上兩式即得,Cauchy-Riemann方程,定理：復(fù)變函數(shù)在一點可導(dǎo)的充要條件,證明：充分性,所以,于是，有,必要性,C-R方程,例2,例3,例2 解,例3,解,但是由于,滿足C-R方程；,為什么滿足C-R方程，函數(shù)還不可微（導(dǎo)）？,因為C-R方程只是必要條件,例4,三、解析函數(shù),注意,定理,2. 函數(shù)解析的充要條件,注：,注解:,解析函數(shù)(可導(dǎo)函數(shù))的實部和虛部不是完全 獨立的，它們是柯西-黎曼方程的一組解；,柯西-黎曼條件是復(fù)變函數(shù)解析的必要條件 而非充分條件；,3. 解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有更簡潔的形式：,定理1,定理2,有用的結(jié)論,例6,例7,例8,例6,解：,例7,解：,例8,證明：,練習(xí)：,C-R方程的極坐

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