1、振動與波動 ( Vibration and wave) 第九章 振動 第十章 波動,第九章 振 動 (Vibration),振動有各種不同的形式,機械振動 電磁振動 ,廣義振動：任一物理量(如位移、電 流等),振動分類,受迫振動,自由振動,阻尼自由振動,無阻尼自由振動,無阻尼自由非諧振動,(簡諧振動),無阻尼自由諧振動,在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。,1 簡諧振動(Harmonic vibration),一. 簡諧振動,表達式,x(t)=Acos( t+) =Acos(2t/T+),特點,(1)等幅振動,(2)周期振動 x(t)=x(t+T ),(運動學(xué)部分),二. 描述簡諧振動的特征量,1. 振幅

2、 A,2. 周期T 和頻率 v(圓頻率), = 1/T (Hz),3. 相位,(1) ( t + )是 t 時刻的相位,(2) 是t =0時刻的相位 初相,三. 簡諧振動的描述方法,1. 解析法,由 x=Acos( t+ ),已知表達式 A、T、 已知A、T、 表達式,2. 曲線法,o,A,-A,t,x, = /2,T,已知曲線 A、T、 已知 A、T、 曲線,3. 旋轉(zhuǎn)矢量法, t+,o,x,x,t = t,t = 0,x = A cos( t + ),x0,例 1 一物體沿X軸作簡諧振動，若要它經(jīng)過（1）由平衡位置到最遠點全程；（2）這段距離的前半段；（3）這段距離的后半段，則所需的最短時

3、間為周期的多少？,x,o,例 2 一物體沿X軸作簡諧振動，振幅為12厘米，周期為2秒。開始時在6厘米處且向正方向運動。試求出其振動方程以及物體從-6厘米到平衡位置的最短時間。,x,o,四. 相位差, =( 2 t+ 2)-(1 t+ 1),對兩同頻率的諧振動 = 2- 1,初相差,同相和反相,當 = 2k , ( k =0,1,2,), 兩振動步調(diào)相同,稱同相,由 x1=A1 cos(1 t+1 ),及 x2=A2 cos(2 t+2 ),當 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 兩振動步調(diào)相反 , 稱反相 。,超前和落后,若 = 2- 10, 則 x2比x1較早達到正最大, 稱x

4、2比x1超前 (或x1比x2落后)。,通常，領(lǐng)先、落后以 的相位角來判斷,五.簡諧振動的速度、加速度,1.速度,速度也是簡諧振動,比x領(lǐng)先/2,2. 加速度,也是簡諧振動,用旋轉(zhuǎn)矢量表示位移、速度、加速度,(t+),x,o,有 ：x=Acos( t+ ),v=-A sin( t+ ),a=-A 2 cos( t+ ),例3 一個彈簧振子的加速度值始終與其位移值相等。初始時刻質(zhì)點處于平衡位置，速度為-2cm/s. 試求：(1)振動方程；（2）從初始位置到達（3）cm處的最短時間；（3）從（3）cm到達1cm處的最短時間。,解：,Acos(t+) - A2 cos(t+) 即,A=2cm,Vm=2

5、cm/s,1（rad/s）, T=2(s), 簡諧振動(動力學(xué)部分),一. 簡諧振動的動力學(xué)方程,1. 受力特點: 線性恢復(fù)力 (F= -kx),2. 動力學(xué)方程 (以水平彈簧振子為例),3. 固有(圓)頻率,彈簧振子:,固有頻率決定于系統(tǒng)內(nèi)在性質(zhì),單 擺 :,4. 由初始條件求振幅和相位,二.簡諧振動的能量(以水平彈簧振子為例),1.簡諧振動系統(tǒng)的能量特點,(1) 動能,(2) 勢能,情況同動能。,(3) 機械能,簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒,x,t,T,E,Ep,Ek,(1/2)kA2,2. 由起始能量求振幅,三.簡諧振動的動力學(xué)解法,1.由分析受力出發(fā),(由牛頓定律列方程),2. 由分析能量出

6、發(fā),(將能量守恒式對t求導(dǎo)),o,例4 如圖，一質(zhì)點作簡諧振動。,o,x0,x+x0,x,解：,由于 mg=kx0,仍然有：,注意：x的零點在新平衡點,問題: (1)機械能守恒嗎？,（2）E=kA2/2 ?,例5 如圖，求。,解：,對新平衡點,f=-k1 x-k2 x,d2x/dt2+x(k1 +k2)/m =0,2（k1+k2)/m,例6 如圖，求。,解：,對新平衡點,f=-k1 x-k3 x3,d2x/dt2+xk1+ k2 k3 /(k2 +k3)/m =0,2k1+k2 k3/（k2+k3)/m,x=x2+x3 及 k2 x2k3 x3,考慮到,有：,k3 x3=k2 k3 x/(k2

7、+k3),例7 一輕彈簧（k）下掛一盤（m）。若有一M從h高處落到盤上并一起運動，求頻率、振幅和初相。,x1,x2,o,x,解：,新平衡點,及 x1=mg/k x2=Mg/k,初始條件為： x0=-x2 v0=M (2gh)1/2/(m+M),3 受迫振動與共振,一. 受迫振動 在外來策動力作用下的振動,1. 系統(tǒng)受力,彈性力 -kx,2. 振動方程,阻尼力,周期性策動力 f =F0cost,其中,3. 穩(wěn)態(tài)解,x=Acos( t+),4. 特點,穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化,(1)頻率: 等于策動力的頻率 ,(2)振幅:,(3)初相:,二.共振,在一定條件下, 振幅出現(xiàn) 極大值, 振

8、動劇烈的現(xiàn)象。,(1)共振頻率 :,(2)共振振幅 :,若 則 r 0 Ar h/(2 ) 稱尖銳共振,1. 位移共振,2.速度共振,一定條件下, 速度幅 A極大的現(xiàn)象。, r= 0 m r=h/2 v r=0,速度共振時，速度與策動力同相，一周期內(nèi)策動力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。,4 簡諧振動的合成,一. 同方向同頻率的簡諧振動的合成,1.分振動 :,x1=A1cos( t+ 1) x2=A2cos( t+ 2),2.合振動 : x = x1+ x2,x =A cos( t+ ),合振動是簡諧振動, 其頻率仍為,(t+),A,3.兩種特殊情況,(1)若兩分振動同相 2 1=2k (

9、k=0,1,2,),(2)若兩分振動反相 2 1=(2k+1) (k=0,1,2,),如 A1=A2 , 則 A=0,則A=A1+A2 , 兩分振動相互加強,則A=|A1-A2|, 兩分振動相互減弱,二. 同方向不同頻率的簡諧振動的合成,1. 分振動,x1=Acos 1 t x2=Acos 2t,2. 合振動,合振動不是簡諧振動,當 2 1時 2- 1 2+ 1,其中,隨緩變,隨快變,合振動可看作振幅緩變的簡諧振動,x = x1+ x2,3. 拍,拍頻 : 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù) =|2-1|,合振動忽強忽弱的現(xiàn)象,三.垂直方向同頻率簡諧振動的合成,1.分振動,x=A1cos( t+ 1) y=A2cos( t+ 2),2. 合運動,(1) 合運動一般是在 2A1 ( x向 )、2A2 ( y向 ) 范圍內(nèi)的一個橢圓,(2