1、本課程為考試課作業(yè)（10%）+筆記（10%）+考卷（論文80%）,序言,一 教學目的 1.通過講解什么是數(shù)學模型,為什么學習數(shù)學模型等內容,使學生了解數(shù)學模型是用數(shù)學方法解決實際問題時的數(shù)學形式,它是實際問題和數(shù)學間的橋梁. 2.使學生了解到在科學技術高度發(fā)展的今天,數(shù)學在解決實際問題中的功能不斷提高,甚至是不可缺少的.,3.在重大問題的決策中,對方案及可行性分析中,數(shù)學模型是非常重要的. 4.讓學生進一步掌握數(shù)學的學科特點. 5.了解數(shù)學的理論體系. 6.了解數(shù)學之發(fā)展概況. 7.培養(yǎng)學生運用數(shù)學工具解決實際問題的能力. 8.培養(yǎng)學生的科研論文寫作能力.,二 本課性質 作為數(shù)學系畢業(yè)生,大部

2、分從事初等數(shù)學教學的研究,而在大學學習階段主要學習高等數(shù)學(這與初等數(shù)學相距甚遠),這是為什么?,實質: 對數(shù)學有一個本質的理解(有利于數(shù)學的研究)-居高臨下. 數(shù)學的一個重要方面:數(shù)學在實際中的應用. 數(shù)學與其它學科一樣,都是為人類生產斗爭和社會實踐服務的.數(shù)學在與實踐的關系中,不僅有理論上的價值與作用,而且對深入了解其它學科是有基礎性的作用.,數(shù)學的作用就是解決實際問題. 有的就是直接解決實際問題. 科學研究是由實驗階段進入理性階段(以推理為主的),此時,數(shù)學的作用就更大了.,例:衛(wèi)星軌道的確定. (歷史上海王星的發(fā)現(xiàn)以及哈雷慧星的軌道計算都是由數(shù)學系算出來的) 現(xiàn)在自然科學方面的論文(物

3、理,化學,自動控制,)沒有數(shù)學論證,價值就不大. 定義:數(shù)學模型(Mathematical Model)是對客觀世界中的某一特定對象,為了某個特定目的,作出一些必要的簡化和假設,運用合適的數(shù)學工具,得到的一個數(shù)學結構.(可以是公式,圖表,圖象等),解決實際問題的數(shù)學公式: 三角形中的正弦公式: 余弦公式: 公式,方程,曲線,圖表等 為了解決實際問題,找出事物本身的機理,建立數(shù)學模型(簡稱建模).解出數(shù)學模型,找到規(guī)律.,模型一. 萬有引力模型,萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)是人類走向科學的一項重大發(fā)現(xiàn).其作用之大是無法比擬的.它為當今的天文學和航天科學奠定了基礎. 在這個模型中,包括兩個部分: .Newt

4、on是怎樣通過數(shù)學方法得到這一定律的; .在比Newton更一般的情況下,用向量分析法推導定律.,Newton推導萬有引力的基礎. Kepler三定律. Newton第二定律. Newton對“月球繞地球按圓形軌道運行”進行研究,第一次提出：“月球按圓形軌道運行是地球對月球的引力所致”. Newton通過計算圓運動的向心加速度, 又根據(jù)Newton第二定律得到引力公式.為驗證引力公式的正確性,他比較了通過引力所得的加速度與圓運動的向心加速度,計算結果二者是相同的.把這個無法通過實驗證明的規(guī)律從理論上給出了證明.,Newton得到的萬有引力定律是在特殊情況下得到的,對于一般情況,即橢圓軌道上的定

5、律是否成立,還不能肯定, Newton曾試圖研究一般情況,但未成功. 今天數(shù)學發(fā)展了,數(shù)學工具也增加了.用向量分析的方法,證明在橢圓軌道上運行的形體,受焦點上星體的引力,也是定律所表述的.,要求學生了解Newton在知道萬有引力過程中的想法,從Newton第一定律(慣性定律:任何物體保持靜止,勻速直線運動)出發(fā),首先他考慮到:月球按圓形軌道運行,必有其動力學原因,也就是必有看不見的外力在作用它.從這一堅定信念出發(fā)推得了定律. 其次,當時通過實驗方法是不能證明定律成立的.Newton通過他的第二定律(加速度定律),由引力產生的向心加速度與圓運動向心加速度相等的方法,證明定律的正確性.,太陽系中各

6、行星按橢圓軌道繞太陽運行,太陽在橢圓的一個焦點上,用向量分析法都能證出太陽對行星的引力符合萬有引力定律.,太,水,金,地,火,木,土,天,海,冥,九大行星示意圖,萬有引力模型. Newton:1684年在自然哲學發(fā)表的. 定律: 宇宙中任何物體之間,都存在相互作用的吸引力.這種引力的大小與它們的質量乘積成正比,與二者距離的平方成反比,作用力方向沿兩個物體聯(lián)線方向.,定律適用范圍:大至宇宙,小至地球上任意兩物體.,(一)定律的來源探討: 不是通過實驗得到的,而是通過數(shù)學推導得到的. 此公式是Newton于1666年得到的,以后很多科學家都想通過實驗證明它,都未成功. 1740年.布格,Buger

7、. 1712年.馬斯科林.Maskilin. 1854年.艾里.Anlli. 1880年.蒙登哈爾.Mengdenhar.,他們的作法:把一個小山作為 ,在山的附近用線垂下一個小球,考察小球的偏擺,然后確定引力系數(shù) ,都未成功. 直到1798年(離Newton發(fā)現(xiàn)定律130多年后),卡文迪斯(Cavendish)用很復雜的試驗確定了引力關系和定律的正確性,并確定了引力系數(shù),此后此數(shù)字相繼得到修正. 1892年.龐廷.Pantin. 1895年.博斯.Boss. 1930年.海爾.Hale. 上面一些科學家的工作,都說明Newton發(fā)明萬有引力定律時,不是通過實驗得到的.,(二) Newton發(fā)

8、明萬有引力定律,是從地心引力開始的,是從地球對月球的引力開始的. 此前已有的力學,天體力學知識:,蘋果熟了往地上落. 月球按圓形軌道繞地球運行. 這些現(xiàn)象都有其動力學原因. 按牛頓的慣性定律:蘋果應在原位置上始終不落,月球應按直線勻速運動. 以上兩種現(xiàn)象,違反了慣性定律,其中必有其動力學原因. 其中必有一種力作用著.這種力不是以明顯的形式表現(xiàn)出.,是以看不見的形式作用在蘋果和月球上的(以場的形式作用著). 這是地球產生的引力. 當時Newton還想到,蘋果被引力拉到地面上了,而月球沒被拉下來,只影響了它的運行狀態(tài),由直線變成曲線. 其原因是距離越大,引力就越小;距離越小,引力就越大.,從地球對

9、月球的引力著手研究. 月球沿圓形軌道圍繞地球以勻速 運行,地球在圓的中心. 設地球引力為 ,則有 . 為月球質量, 為向心加速度. 圓運動向心加速度 . 地球心與月球心距離為 . 圓運動的速度為 .,設月球運行周期為 ,即經過 的時間,月球運轉一個周期,其走過的距離為 . 由 Kepler第三定律知 為橢圓的長半軸.,(三) 引力公式的驗證 得到的引力公式是否符合實際,對它的正確性要進行驗證. 方式: 由圓運動推出的向心加速度 由引力公式推出的向心加速度 看二者是否相等?,Newton在地球對月球的引力中,驗證了他的公式.但是他認為必須在更大的范圍內驗證,以保證他的正確性. 他著手研究太陽對于

10、行星的引力來驗證公式. 由于行星軌道都是橢圓(長短軸相差較大),他用圓代替橢圓,把太陽放在焦點上. 由于無法應用Kepler三定律,結果失敗. 今天,我們應用向量分析法很容易證出.,今天我們在太陽系中,推出太陽和各行星的引力(把地球對月球的引力推廣到太陽系中成為萬有引力). (五) 萬有引力定律的意義 對于人類了解自然和指導人們實踐,意義如何? 有的人會認為:對于計算地球上兩物體間的引力似乎意義不大,確實如此. 但對于天體的研究,意義就十分大了.,1.在太陽系中應用萬有引力定律. 經過計算,發(fā)現(xiàn)了新的行星-海王星. 海王星的發(fā)現(xiàn): 1781年Herschel通過天文觀測發(fā)現(xiàn)了天王星(體積是地球

11、的100倍),天文學家觀察這顆行星的運行軌道時,發(fā)現(xiàn)它不是橢圓.某些地方發(fā)現(xiàn)異常.,對此現(xiàn)象的解釋: 一些人認為在太陽系的邊界上,萬有引力定律可能不成立,才出現(xiàn)此狀態(tài). 但也有些天文學家從萬有引力定律出發(fā)來分析這種現(xiàn)象,認為產生這種現(xiàn)象的原因是天王星軌道附近存在一顆現(xiàn)在還看不見的星體,是它對天王星攝動的結果 法國天文學家Leverrier就持有這種觀點,根據(jù)萬有引力定律研究天王星的異常.通過計算確定了那顆看不見的行星的位置,質量及其運行軌道.(采用微分方程的數(shù)值解法),Leverrier把自己的計算結果和算法告訴了柏林天文臺.不長時間后,在1846.9.23,通過天文學家的搜索,就在Leverrier指定的空域上找到了這顆行星,其質量和運行軌道和Leverrier所得的結論完全相同. 此行星稱為海王星,居太陽第八顆行星.(水金地火木土天海冥) 人們稱