1、.初中數(shù)學(xué) 拋物線(xiàn)經(jīng)典試題集錦【編著】 黃勇權(quán)【第一組題型】1、已知二次函數(shù)y=x2+bx+c 過(guò)點(diǎn) A（ 2,0）， C（0, -8）（ 1）求此二次函數(shù)的解析式，（ 2）在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn) p 使 ABP 的面積為 15，請(qǐng)直接寫(xiě)出 p 點(diǎn)的坐標(biāo)。2、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線(xiàn) y=2x2+mx+n 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（5，0），B（2， -6）（ 1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸（ 2）設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為 C，寫(xiě)出過(guò) A、C 兩點(diǎn)直線(xiàn)的表達(dá)式。.3、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C 為（ 2，4），并在x 軸上截得的長(zhǎng)度為6。（ 1）寫(xiě)出拋物線(xiàn)與 x 軸交點(diǎn) A 、

2、B 的坐標(biāo)（ 2）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式（ 3）寫(xiě)出拋物線(xiàn)與 y 軸交點(diǎn) P 的坐標(biāo)4、直線(xiàn)的解析式為y=2x+4 ，交 x 軸于點(diǎn) A ，交 y 軸于點(diǎn) B，若以 A為頂點(diǎn) ,，且開(kāi)口向下作拋物線(xiàn)，交直線(xiàn)AB 于點(diǎn) D，交 y 軸負(fù)半軸于點(diǎn) C，（ 1）若 ABC 的面積為 20，求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式（ 2）若 BDO 的面積為 8，求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式【答案】.1、已知二次函數(shù)y=x2+bx+c 過(guò)點(diǎn) A（ 2,0）， C（0, -8）（ 1）求此二次函數(shù)的解析式，（ 2）在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn) p 使 ABP 的面積為 15，請(qǐng)直接寫(xiě)出 p 點(diǎn)的坐標(biāo)。解：【第一問(wèn)】因?yàn)楹瘮?shù) y=x2+bx+c

3、過(guò)點(diǎn) A（ 2,0），C（ 0, -8）分別將 x=2， y=0 代入 y=x2+bx+c， 得 0=4+2b+c-將 x=0， y=-8 代入 y=x2+bx+c，得 -8=c-將代入，解得： b=2-此時(shí)，將 代入 y=x2+bx+c，所以：二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2+ 2x -8【第二問(wèn)】1ABP 的面積 = AB * yp -2因?yàn)?A 、 B 兩點(diǎn)在 x 軸上，令 x2+ 2x -8=0（ x-2）（ x+4 ）=0解得： x1=2， x2= -4所以： AB = X 1- X 2 = 2-（ - 4） =6-.又 ABP 的面積 =15-1由 ，得： 2 *6* yp =15yp =

4、5故有： yp= 5即： p 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5 或-5.把 y=5 代入 y=x 2+ 2x -8 ，即： 5=x 2+ 2x -8x2+2x -13=0解得： x= -1 14那么，此時(shí) p 點(diǎn)坐標(biāo)（ -1+ 14， 5），（ -1-14， 5） - 把 y=-5 代入 y=x2+ 2x -8，即： -5=x2+ 2x -8x2+ 2x -3=0（ x-1）（ x+3） =0解得： x= 1 或 x= -3那么，此時(shí) p 點(diǎn)坐標(biāo)（ 1， -5），（ -3， -5） -由得，使 ABP 的面積為 15， p 點(diǎn)坐標(biāo)是：（ -1+ 14， 5），（-1- 14， 5），（ 1， -5），（ -3，

5、 -5）2、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，拋物線(xiàn) y=2x2+mx+n 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（5，0），B（2， -6）（ 1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式及對(duì)稱(chēng)軸（ 2）設(shè)點(diǎn) B 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，寫(xiě)出過(guò)A、 C 兩點(diǎn)直線(xiàn)的表達(dá).式。解：【第一問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€(xiàn) y=2x2+mx+n 經(jīng)過(guò)點(diǎn) A（ 5，0）， B（ 2，-6）將 x=5， y=0 代入 y=2x2+mx+n，得： 0=50+5m+n- 將 x=2， y= -6 代入 y=2x2+mx+n，得： -6=8+2m+n- 此時(shí)，由 、， 得： m= -12， n=10所以，拋物線(xiàn)的表達(dá)式：y=2x2-12x+10再將拋物線(xiàn)表達(dá)式進(jìn)行變形：y=2x2-12

6、x+10y=2（ x2-6x+9 ）-8y=2 （ x-3）2 -8所以，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是x=3【第二問(wèn)】因?yàn)?B 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 2， -6），C 是 B 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以，C 點(diǎn)的坐標(biāo)（ -2， 6）設(shè)過(guò) A、 C 兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為： y=kx+b 因?yàn)檫^(guò) A（ 5， 0 ）， C（ -2， 6），將 x=5， y=0 代入 y=kx+b，得： 0= 5k +b-將 x=-2 ， y=6 代入 y=kx+b ，得： 6= -2k+b- 由 解得： k= -6， b=3077.所以，過(guò) A 、 C 兩點(diǎn)的直線(xiàn)表達(dá)式為：y= -6x+30773、在平面直角坐標(biāo)系xOy 中，已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)C

7、 為（ 2，4），并在x 軸上截得的長(zhǎng)度為6。（ 1）寫(xiě)出拋物線(xiàn)與 x 軸交點(diǎn) A 、 B 的坐標(biāo)（ 2）求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式（ 3）寫(xiě)出拋物線(xiàn)與 y 軸交點(diǎn) P 的坐標(biāo)解：【第一問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)C 為（ 2， 4），所以，對(duì)稱(chēng)軸是：x=2又因?yàn)閽佄锞€(xiàn)在x 軸上截得的長(zhǎng)度為6，那么，對(duì)稱(chēng)軸x=2 將 6 平分，也就是說(shuō)， A 、B 兩點(diǎn)關(guān)于 x=2 對(duì)稱(chēng)，且他們到 x=2 的距離是 3 所以， A 的橫坐標(biāo)： 2-3 = -1B 的橫坐標(biāo)： 2+3 = 5故，拋物線(xiàn)與x 軸交點(diǎn) A 、 B 的坐標(biāo)是（ -1,0），（ 5,0）【第二問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的頂點(diǎn)C 為（ 2， 4），那么，拋物線(xiàn)的表達(dá)

8、式直接可設(shè)為：y=a（ x-2）2+4 【特別提示，這個(gè)非常重要，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算】再將 A （ -1,0）代入 y=a（x-2 ）2+4， 得 ， 0=a（ -1-2）2+4.解得： a= -.49所以，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為，y= - 49（ x-2）2+4【第二問(wèn)】令 x=0，代入 y= - 49（x-2 ）2+4 ，得 y= - 49（0-2）2+420y=920所以，拋物線(xiàn)與y 軸交點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ 0，9 ）4、直線(xiàn)的解析式為y=2x+4 ，交 x 軸于點(diǎn) A ，交 y 軸于點(diǎn) B，若以 A為頂點(diǎn) ,，且開(kāi)口向下作拋物線(xiàn)，交直線(xiàn)AB 于點(diǎn) D，交 y 軸負(fù)半軸于點(diǎn) C，（ 1）若 ABC

9、的面積為 20，求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式（ 2）若 BDO 的面積為 8，求此時(shí)拋物線(xiàn)的解析式解：【第一問(wèn)】.直線(xiàn)的解析式為y=2x+4令 x=0 ，代入 y=2x+4 ， 得， y=4 ，所以 B 點(diǎn)坐標(biāo)（ 0, 4）令 y=0 ，代入 y=2x+4 ， 得， x=-2 ，所以 A 點(diǎn)坐標(biāo)（ -2,0）設(shè) C 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 yc（ yc 是負(fù)數(shù)），那么線(xiàn)段 BC 的長(zhǎng)度 BC = 4 -yc11ABC 的面積 =2* xA * BC =2* -2 * (4 -yc )=204 -yc =20解得： yc = -16所以， C 點(diǎn)坐標(biāo)（ 0， -16） -以 A （ -2,0）為頂點(diǎn) ,可設(shè)拋物線(xiàn)

10、表達(dá)式：y= a（ x+2 ）2 +0y= a（ x+2）2 ，它過(guò)點(diǎn)C（ 0，-16），將 x=0,y= -16 代入 y= a（x+2）2，解得： a= -4所以，拋物線(xiàn)表達(dá)式y(tǒng)= -4 （x+2 ）2【第二問(wèn)】設(shè) D 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 xD（ xD 是負(fù)數(shù)），11BDO 的面積 = 2* xD* BO= 2* xD *4=8x D =4x D 是負(fù)數(shù) ,所以， xD= -4 ，又 D 點(diǎn)在直線(xiàn) y=2x+4 上，將 xD = -4 代入 y=2x+4 ，解得 yD = -4D 點(diǎn)坐標(biāo)（ -4, -4） -以 A （ -2,0）為頂點(diǎn) ,.可設(shè)拋物線(xiàn)表達(dá)式：y= a（ x+2 ）2 它過(guò)點(diǎn) D

11、（ -4，-4）將 x= -4,y= -4 代入 y= a（x+2）2，解得： a= -1所以，拋物線(xiàn)表達(dá)式y(tǒng)= - （x+2）2【第二組題型】5、若關(guān)于x 的方程x2+2mx+m 2+3m 2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x 2，則x 1（ x2+x 1）+x22的最小值為（）6、平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（ -5，0,），B（ 3，0），拋物線(xiàn) y=ax2+bx-30（a 0）過(guò) A 、 B，頂點(diǎn)為 C，點(diǎn) P（ m， n）為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)。（1）求拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)C 的坐標(biāo)。（2）當(dāng)四邊形APBC 為梯形，求P 的坐標(biāo)。37、已知拋物線(xiàn) y= 4x2+bx+c 與 x 軸相交于點(diǎn) A 和 B

12、（ 2，0），與 y 軸相交于 C（ 0， -6）（ 1）求出拋物線(xiàn)的解析式和 A 點(diǎn)的坐標(biāo)。（ 2） D 為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，設(shè) P 點(diǎn)（ t， 0），且 t 2，如果 BDP 與CDP 的面積相等，求P 點(diǎn)的坐標(biāo)。8、在 xoy 直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C（ 2， -3）關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為A ，關(guān).于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為 B，拋物線(xiàn) y=ax2+bx+c 過(guò) A 、B 兩點(diǎn)，且點(diǎn) D（ 3，19）在拋物線(xiàn)上?！敬鸢浮?、若關(guān)于x 的方程x2+2mx+m 2+3m 2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x 2，則x 1（ x2+x 1）+x22的最小值為（）解：方程 x2+2mx+m 2+3m 2=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則

13、判別式 =（ 2m）2- 4* （ m2+3m 2） 0即： m2-3根據(jù)韋達(dá)定理， x1+x 2 = -2m-x1x 2 =m2+3m 2-又 x1（ x2+x 1） +x22= x 1x2 +x12 +x22=（x2+x1）2- x 1x2 【將代入】=（-2m ）2-（ m2+3m 2）=3m2- 3m+21515=3（ m-2）2+4則頂點(diǎn)（2，4）其圖像為.由知，當(dāng) m 23時(shí)，已經(jīng)把頂點(diǎn)包含在內(nèi)，故，當(dāng) m= 1時(shí)，有最小值是 5246、平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)A（ -5，0,），B（ 3，0），拋物線(xiàn) y=ax2+bx-30（a 0）過(guò) A 、 B，頂點(diǎn)為 C，點(diǎn) P（ m， n）

14、為拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)。（1）求拋物線(xiàn)的解析式和頂點(diǎn)C 的坐標(biāo)。（2）當(dāng)四邊形APBC 為梯形，求P 的坐標(biāo)。解：【第一問(wèn)】因?yàn)辄c(diǎn) A （ -5， 0,）， B（ 3， 0）均為 x 軸上的兩點(diǎn)，且拋物線(xiàn)過(guò)這兩點(diǎn)，故拋物線(xiàn)的解析式可寫(xiě)為： y=a（ x+5）（ x-3）y=a（ x2+2x-15 ）y=ax 2+2ax-15a- 又已知，拋物線(xiàn) y=ax2+bx-30- 根據(jù)恒等原理，式與式對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等。那么它們的常數(shù)項(xiàng)相等，即：-15a = -30解得： a=2將 a=2 代入式，解得拋物線(xiàn)解析式為： y=2x 2+4x-30 再對(duì) y=2x 2+4x-30 變形即：y=2（ x2+2x ）-3

15、0y=2（ x+1）2 -32所以，頂點(diǎn)C 坐標(biāo)（ -1,-32 ）.答：拋物線(xiàn)解析式為：y=2x 2+4x-30 ，頂點(diǎn) C 坐標(biāo)（ -1,-32）【第二問(wèn)】四邊形 APBC 為梯形，有兩種情況，一是BP AC ，一是 AP CB（1）當(dāng) BP AC ，因?yàn)?A （ -5， 0），C（ -1，-32）0-（ -32）直線(xiàn) AC 的斜率 k1= -5-（ -1） = -8 -因?yàn)?B（3， 0）， P（m，n）0- nn直線(xiàn) PB 說(shuō)完斜率 k2= 3- m= m -3 -因?yàn)?BPAC所以 =n即-8 = m -3化簡(jiǎn)： n = 24 -8m-因?yàn)?P（m，n）在拋物線(xiàn)上，所以，把 x=m

16、， y=n 代入 y=2x 2+4x-30中得： n=2m2+4m-30-.因?yàn)?=，消去 n，得： 24 -8m=2m 2+4m-30化簡(jiǎn)： m2+6m-27=0（ m+9 ）（m-3） =0解得： m= -9 ， m=3將 m= -9 代入中，解得， n=96，則 P 坐標(biāo)（ -9 ， 96）將 m=3 代入中，解得， n=0，則 P 坐標(biāo)（ 3， 0）與 B（ 3,0 ）重合，舍去故：當(dāng) BP AC 時(shí)， P 坐標(biāo)為（ -9 ，96）（ 2） AP CB同理：直線(xiàn) BC 的斜率 k3=8n直線(xiàn) AP 的斜率 k4= m+5n由 K3=k4 ，得 8=m+5 即： n=8m+40- 因?yàn)?

17、P（m，n）在拋物線(xiàn)上，所以，把 x=m ， y=n 代入 y=2x 2+4x-30 中.得： n=2m2+4m-30-由 =解得， m=7， m=-5將 m=7， m=-5 代入，解得 n=106， n=0即 P 坐標(biāo)（ 7， 106），或 p（ -5，0）與 A （ -5，0）重合，舍去故：當(dāng) AP CB 時(shí)， P 坐標(biāo)為（ 7，106）37、已知拋物線(xiàn) y= 4x2+bx+c 與 x 軸相交于點(diǎn) A 和 B（ 2，0），與 y 軸相交于 C（ 0， -6）（ 1）求出拋物線(xiàn)的解析式和 A 點(diǎn)的坐標(biāo)。（ 2） D 為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，設(shè) P 點(diǎn)（ t， 0），且 t 2，如果 BDP 與CDP

18、 的面積相等，求P 點(diǎn)的坐標(biāo)。解：【第一問(wèn)】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)與y 軸相交于 C（ 0， -6）將 x=0 ，y= -6 代入 y=34x2+bx+c ，解得： c = -63那么，拋物線(xiàn)解析式為：y= 4x2+bx -6拋物線(xiàn)與與 x 軸相交于 A （ 2， 0），將 x=2， y=0，代入 y=334x2+bx -6 ，解得： b=23 3故，拋物線(xiàn)解析式為： y= 4x2+ 2x -6.3 3將 y= 4x2+ 2x -6 變形3y= 4（ x2+2x -8 ）3y= 4（ x-2）（ x+4 ）令 y=0 ，解得 x=2 ，或 x= -4則與 x 軸相交的坐標(biāo)為（2，0），（ -4， 0）已知

19、 B（2， 0），所以 A 坐標(biāo)（ -4， 0）【第二問(wèn)】3 3將 y= 4x2+ 2x -6 變形3y=4（ x2+ 2x）-633y=4（ x2+ 2x+1）-6 -4327y=4（ x+1）2 -427所以，頂點(diǎn)D 坐標(biāo)為（ -1，-4 ）.27D 點(diǎn)縱坐標(biāo)是 -4 ，線(xiàn)段 BP 長(zhǎng)度為： P點(diǎn)橫坐標(biāo) -B 橫坐標(biāo) = t -21BDP 面積 = 2* yD* BP127=2* - 4 * t -2 (因?yàn)?t 2）27（ t -2） - =8設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x 軸相交于x 軸于 E，過(guò)頂點(diǎn)C 作 CF 平行于 x 軸交 DE 于F.1梯形 EFCP 面積 = 2 * EP+CF * EF1=

20、 2* （ xP-x D）+（ xC - x D ） * yC1= 2* t- （ -1） + 0- （ -1） * -61=2* （ t+2 ）*6=3（t+ 2） -三角形 CDF 面積 =12 * CF * DF .=1* xC - x D * yD-yC2=1* xC - x D * yD-yC2127= 2 * 0- （ -1） * - 4-（ -6）=3-8四邊形 DEPC面積 =梯形 EFCP面積 +三角形 CDF面積= + = 3t +51- 8三角形 DEP 面積 =12 * DE * PE=1* yD * xP-xD 2127=2* - 4 * t -（ -1）27=8（ t +1） - 三角形 CPD 面積 =四邊形 DEPC 面積 - 三角形 DEP 面積= - =24- 3t- 8又因?yàn)椋?BDP 與 CDP 的面積相等即： = 27（ t -2） =24- 3t8813解得： t = 5.答：如果 BDP 與 CDP 的面積相等，求P 點(diǎn)的坐標(biāo)（135， 0）。8、在 xoy 直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) C（