1、第三章 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入,宣漢縣第二中學(xué) 袁永紅,3.1.1 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念,一個(gè)人因?yàn)槔硐攵昝?，因?yàn)閵^斗而精彩，因?yàn)槌晒Χ鴤ゴ螅?知識與技能：了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位I 過程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部) 理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念,一、學(xué)習(xí)目標(biāo),本節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)活動(dòng)安排,“預(yù)習(xí)后，你了解了什么?有什么疑問?”/“匯報(bào)一下你們收集來的數(shù)據(jù)、信息、資料?！?情境引入,數(shù)系的擴(kuò)充,自然數(shù)（正整數(shù)與零）,？,C,問題解決,x2=2,x2=-1,規(guī)定：,規(guī)定

2、：i2=-1,可以與其它數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立.,i可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算,在進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí),原有的加法與乘法的運(yùn)算律(包括交換律、結(jié)合律和分配律)仍然成立.,復(fù)數(shù)的發(fā)展史 虛數(shù)這種假設(shè),是需要勇氣的,人們在當(dāng)時(shí)是無法接受的,認(rèn)為她是想象的,不存在的,但這絲毫不影響數(shù)學(xué)家對虛數(shù)單位 的假設(shè)研究:第一次認(rèn)真討論這種數(shù)的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這種數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱作“詭辯量”.幾乎過了100年，笛卡爾才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了一個(gè)名字虛數(shù),但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存

3、在于“幻想之中”，并用 （imaginary，即虛幻的縮寫）來表示它的單位. 后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)有點(diǎn)虛無縹緲，盡管他們也感到它的作用1830年，高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系的復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù) ，使復(fù)數(shù)有了立足之地,人們才最終承認(rèn)了復(fù)數(shù).到今天復(fù)數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代科技中普遍運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具之一.,數(shù)系的擴(kuò)充 和復(fù)數(shù)的概念,探究（一）：虛數(shù)單位的引入,思考1：由 得 ， 這與 矛盾的原因是什么？,答：方程x2x10無實(shí)根,思考2：方程x2x10無實(shí)根的根本原因是什么？,答： 1不能開平方,二問題導(dǎo)學(xué)：自學(xué)課本102-103頁,思考探究并回答下列問題,只有孜孜不倦地求

4、索，才有源源不斷的收獲,思考3：我們設(shè)想引入一個(gè)新數(shù)，用字母i表示，使這個(gè)數(shù)是1的平方根，即 i21，那么方程x2x10的根是什么？,思考4：若x41，利用i21,則x等于什么？,答： 1，1，i，i.,你已經(jīng)達(dá)到第一個(gè)目標(biāo)了，了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性；理解并掌握虛數(shù)的單位i,思考5：滿足i21的新數(shù)i顯然不是實(shí)數(shù)，稱為虛數(shù)單位，根據(jù)數(shù)系的擴(kuò)充原則，應(yīng)規(guī)定虛數(shù)單位i和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算滿足哪些運(yùn)算律？,答：乘法和加法都滿足交換律、結(jié)合律，乘法對加法滿足分配律.,思考6：設(shè)aR，下列運(yùn)算正確嗎？,你已經(jīng)達(dá)到第二個(gè)目標(biāo)了，過程與方法： 過程與方法：理解并掌握虛數(shù)單位與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算的規(guī)律,探究（二）：復(fù)

5、數(shù)的有關(guān)概念,思考1：虛數(shù)單位i與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，可以形成哪種一般形式的數(shù)？,abi（a，bR）,思考2：把形如abi（a，bR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，記作C，那么復(fù)數(shù)集如何用描述法表示？,Cabi|a，bR,思考3：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即 zabi（a，bR），這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部，那么復(fù)數(shù) z3i的實(shí)部和虛部分別是什么？,答:實(shí)部為0,虛部為3.,思考4：兩個(gè)實(shí)數(shù)可以相等，兩個(gè)復(fù)數(shù)也可以相等，并且規(guī)定：abicdi（a，b，c，dR）的充要條件是ac且bd，那么abi0的充要條件是什么？,答：ab0,思考5：對于復(fù)數(shù)

6、zabi（a，bR）當(dāng)b0時(shí)，z為什么數(shù)？由此說明實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的關(guān)系如何？,答：當(dāng)b0時(shí)z為實(shí)數(shù).,實(shí)數(shù)集R是復(fù)數(shù)集C的真子集.,思考6：對于復(fù)數(shù)zabi（a，bR）當(dāng)b0時(shí)，z叫做虛數(shù)，當(dāng)a0且b0時(shí)，z叫做純虛數(shù)，那么虛數(shù)集與純虛數(shù)集之間如何？,答： 純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集.,思考7：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系用韋恩圖怎樣表示？,思考8：兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小，一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)虛數(shù)或兩個(gè)虛數(shù)可以比較大小嗎？,答：虛數(shù)不能比較大小.,請你試試：,1.說明下列數(shù)中，那些是實(shí)數(shù)，哪些是虛數(shù)，哪些是純虛數(shù)，并指出復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部。,2、判斷下列命題是否正確： （1）若a、b為實(shí)數(shù)，

7、則Z=a+bi為虛數(shù) （2）若b為實(shí)數(shù)，則Z=bi必為純虛數(shù) （3）若a為實(shí)數(shù)，則Z= a一定不是虛數(shù),合作、探究、展示,例1 實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)zm1(m1)i分別是實(shí)數(shù)，虛數(shù)和純虛數(shù)？,解：當(dāng)m-1=0即m1時(shí)，z是實(shí)數(shù)； 當(dāng)m-10即m1時(shí)，z是虛數(shù)； 當(dāng)m-10且m+1=0即m1時(shí)，z是純虛數(shù).,變式1：復(fù)數(shù) 為虛數(shù)，則實(shí)數(shù)x滿足( ) A.x= B.x=2或 C.x2 D.x1且x2,D,“沒有用心嘗試，不要輕易說“不”!”,例2 設(shè)復(fù)數(shù)z1(xy)(x3)i，z2(3x2y)yi，若z1z2，求實(shí)數(shù)x，y的值.,答：x9，y6.,變式2：已知集合M=1，2，( 3m1)+( 5

8、m6)i，集合P=1，3.MP=3，則實(shí)數(shù)m的值為( ) A.1 B.1或4 C.6 D.6或1,A,希望你能與粗心告別，與細(xì)心交朋友,能力提升： 例3、若方程 +(m+2i)x+(2+mi)=0至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)m的值.,你已經(jīng)達(dá)到第三個(gè)目標(biāo)了，情感、態(tài)度與價(jià)值觀：激情投入、高效學(xué)習(xí)，自主學(xué)習(xí)、合作交流、展示，：理解并掌握復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(復(fù)數(shù)集、代數(shù)形式、虛數(shù)、純虛數(shù)、實(shí)部、虛部) 理解并掌握復(fù)數(shù)相等的有關(guān)概念,四、學(xué)習(xí)小結(jié),1.將實(shí)數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系是源于解方程的需要，到十九世紀(jì)中葉已建立了一套完整的復(fù)數(shù)理論，形成一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支.,2.虛數(shù)單位i的引入解決了負(fù)數(shù)不能開平方的矛盾，

9、并將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，它使得任何一個(gè)復(fù)數(shù)都可以寫成 abi（a，bR）的形式.,3.復(fù)數(shù)包括了實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)的某些性質(zhì)在復(fù)數(shù)集中不成立，如x20； 若xy0，則xy等，今后在數(shù)學(xué)解題中，如果沒有特殊說明，一般都在實(shí)數(shù)集內(nèi)解決問題.,(1)、復(fù)數(shù)z=a+bi,4. 復(fù)數(shù)的分類,(2). 復(fù)數(shù)集、虛數(shù)集、實(shí)數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系,五、當(dāng)堂檢測：每題5分，共20分，5分鐘完成,1.a=0是復(fù)數(shù)a+bi(a,bR）為純虛數(shù)的 （ ） A 必要不充分條件 B 充分不必要條件 C 充要條件 D 非必要非充分條件 2.以3i-2的虛部為實(shí)部，以3i2+3i的實(shí)部為虛部 的復(fù)數(shù)是 （ ） A -2+3i B 3-3i C -3+3i D 3+3i 3.若