1、最新 料推薦基本初等函數(shù)求導公式(1)(C )0(2)(x )x 1(3)(sin x)cos x(4)(cos x)sin x(5)(tan x)sec2 x(6)(cot x)csc2 x(7)(sec x)secx tan x(8)(csc x)csc x cot x(9)(a x )a x ln a(10)(e x )ex(log a1(ln x)1(11)x)(12)x ，x ln a11(arcsin x)x 2(arccos x)x 2(13)1(14)11(arccot1(arctan x)2x)2(15)1 x(16)1 x函數(shù)的和、差、積、商的求導法則設 uu( x) ，

2、vv( x) 都可導，則（ 1）(u v)u v（ 2）（ 3）(uv) u v uv（ 4）反函數(shù)求導法則(Cu )Cu （ C 是常數(shù)）u u v uvv v 2若函數(shù)x( y) 在某區(qū)間 I y 內(nèi)可導、單調(diào)且( y)0 ，則它的反函數(shù) y f ( x) 在對應區(qū)間 I x 內(nèi)也可導，且dy11dxdxf ( x)dy( y)或復合函數(shù)求導法則1最新 料推薦設 yf (u) ，而 u(x) 且 f (u) 及( x) 都可導，則復合函數(shù)yf (x) 的導數(shù)為dydydudxdudx 或 y f (u) ( x).雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導數(shù).雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)都是初等函數(shù)，它們的導數(shù)都可

3、以用前面的求導公式和求導法則求出可以推出下表列出的公式：1(th x)2x(shx) chx(ch x) shxch(arshx)111(archx)x2 1(arthx)21x21 x一、一個方程的情形在第二章第六節(jié)中我們已經(jīng)提出了隱函數(shù)的概念，并且指出了不經(jīng)過顯化直接由方程f ( x, y) =0(1)求它所確定的隱函數(shù)的方法。 現(xiàn)在介紹隱函數(shù)存在定理，并根據(jù)多元復合函數(shù)的求導法來導出隱函數(shù)的導數(shù)公式 .隱函數(shù)存在定理1 設函數(shù) F (x, y) 在點 P( x0 , y0 ) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且 F (x0 , y0 )0 ，,Fy ( x0 , y0 )0 ，則方程 F

4、( x, y) =0 在點 ( x0 , y0 ) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導數(shù)的函數(shù)y f ( x) ，它滿足條件 y0f (x0 ) ，并有dyFxdxFy(2)公式（ 2）就是隱函數(shù)的求導公式這個定理我們不證。現(xiàn)僅就公式(2)作如下推導。將方程 (1)所確定的函數(shù) yf (x) 代入，得恒等式2最新 料推薦F (x, f ( x)0 ,其左端可以看作是x 的一個復合函數(shù)， 求這個函數(shù)的全導數(shù)，由于恒等式兩端求導后仍然恒等，即得FF dyx0,y dx由于 Fy 連續(xù)，且 Fy (x0 , y0 )0 ，所以存在 (x0 ,y0)的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)Fy 0 ，于

5、是得dyFx .dxF y如果 F ( x, y) 的二階偏導數(shù)也都連續(xù)，我們可以把等式(2)的兩端看作x 的復合函數(shù)而再一次求導，即得d 2 yFxFxdydx 2xFyyFydxFxx FyFyz FxFxy FyFyy FxFxFy2Fy2FyFxx Fy22Fxy Fx FyFyy Fx2Fy3.例 1驗證方程 x 2y 210 在點 (0,1)的某一鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值且有連續(xù)導數(shù)、當 x =0 時， y1的隱函數(shù) yf ( x) ，并求這函數(shù)的一階和二階導數(shù)在x =0 的值。解 設 F (x, y)x 2y21，則 Fx2x, F y2y , F (0,1) 0, Fy (0,

6、1)2 0 . 因此由定理 1 可知，方程 x 2y 210在點 (0,1) 的某鄰域內(nèi)能唯一確定一個單值且有連續(xù)導數(shù)、當 x =0 時， y1的隱函數(shù) yf ( x) 。下面求這函數(shù)的一階和二階導數(shù)dyFxxdy0dxFyy ， dx x 0=;xd 2 yy xyy x(y)y 2x 21dx2=y2y2y3y3 ,d 2 y1dx2x 0。3最新 料推薦隱函數(shù)存在定理還可以推廣到多元函數(shù) .既然一個二元方程 (1) 可以確定一個一元隱函數(shù)，那末一個三元方程F ( x, y, z)=0(3)就有可能確定一個二元隱函數(shù)。與定理 1 一樣，我們同樣可以由三元函數(shù)F ( x, y, z )的性質(zhì)

7、來斷定由方程 F ( x, y, z )=0所確定的二元函數(shù) z = ( x, y) 的存在，以及這個函數(shù)的性質(zhì)。這就是下面的定理。隱函數(shù)存在定理2 設函數(shù) F ( x, y, z )在點 P(x0 , y0 , z0 ) 的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導數(shù)，且 F ( x0 , y0 , z0 )0 ， Fz (x0 , y0 , z0 )0 ，則方程 F ( x, y, z)=0 在點 (x0 , y0 , z0 ) 的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)zf ( x, y) ，它滿足條件z0f ( x0 , y0 ) ，并有zFxzFyx=Fz ,y =Fz .(4)這個定

8、理我們不證.與定理 1類似，僅就公式 (4) 作如下推導 .由于F ( x, y , f ( x, y) ) 0,將上式兩端分別對 x 和 y 求導，應用復合函數(shù)求導法則得zzFx + Fzx =0,Fy + Fz y =0。因為 Fz 連續(xù)，且 Fz ( x0, y0 , z0 )0 ,所以存在點 ( x0 , y0 , z0 ) 的一個鄰域，在這個鄰域內(nèi)Fz0，于是得zFxzFyx = Fz ,y =Fz 。2 z例 2 設 x 2y 2z24z 0 ，求 x 2 .解 設 ( x, y, zx2y 2z 24z ，則 Fx=2x,Fz= 2z 4 .F) =，得應用公式 (4)zxx =

9、2z 。再一次 x 對求偏導數(shù)，得2 z(2z)x zxx 2( 2z) 24最新 料推薦(2 z)xx(2 z) 2x 22 z.(2z) 2( 2 z) 3二、方程組的情形下面我們將隱函數(shù)存在定理作另一方面的推廣。我們不僅增加方程中變量的個數(shù)。而且增加方程的個數(shù)，例如，考慮方程組F ( x, y, u, v)0,G( x, y, u, z)0.(5)這時，在四個變量中，一般只能有兩個變量獨立變化，因此方程組(5)就有可能確定兩個二元函數(shù)。在這種情形下，我們可以由函數(shù)F 、 G 的性質(zhì)來斷定由方程組 (5) 所確定的兩個二元函數(shù)的存在，以及它們的性質(zhì)。我們有下面的定理。隱函數(shù)存在定理 3設函

10、數(shù) F ( x, y, u, v) 、G (x, y, u, v) 在點 P0 (x0 , y0 , u0 ,v0 ) 的某一鄰域內(nèi)具有對各個變量的連續(xù)偏導數(shù)，又 F ( x0 , y0 , u0 ,v0 ) 0，G ( x0 , y0 , u0 , v0 )0 ,且偏導數(shù)所組成的函數(shù)行列式 (或稱雅可比 (Jacobi) 式 ):FF( F ,G)uvGGJ(u,v)= uv在 點 P0 ( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 不 等 于 零 ， 則 方 程 組 F (x, y, u, v)0 ， G( x, y,u, v)0 在 點( x0 , y0 ,u0 ,v0 ) 的 某 一 鄰 域

11、 內(nèi)恒 能 唯 一確 定 一 組 單 值連 續(xù) 且 具有 連 續(xù) 偏 導 數(shù)的 函 數(shù)u u( x, y), v v( x, y) ，它滿足條件 u0u(x0 , y0 ), v0 v( x0 ,u0 ) ，并有FxFvG xGv,u1(F ,G )FuFvGuGvxJ( x, v)FuFxGuG x,v1( F ,G )FuFvxJ(u, x)GuGv(6)5最新 料推薦F yFvG yGv,u1(F ,G )FuFvyJ( y, v)GvGvFuFyGuGy.v1(F , G)FuFvyJ(u, y)GuGv這個定理我們不證 .uuvv例 3 設 xu yv 0, yuxv 1 ，求 x ,y ,x和 y .解此題可直接利用公式(6) ，但也可依照推導公式(6)