1、一、事件的相互獨(dú)立性,二、幾個重要定理,三、例題講解,四、獨(dú)立試驗序列,1.7 事件的獨(dú)立性,五、小結(jié),一、相互獨(dú)立的事件,(一) 兩個事件的獨(dú)立性,由條件概率，知,一般地，,這意味著：事件B的發(fā)生對事件A發(fā)生的概率有影響.,然而，在有些情形下又會出現(xiàn)：,則有,1.引例,2. 定義,注. 1,說明,事件 A 與 B 相互獨(dú)立,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān).,3.性質(zhì),(1),必然事件 及不可能事件與任何事件A相互獨(dú)立.,證, A=A, P()=1, P(A) = P(A)=1 P(A)= P() P(A),即 與A獨(dú)立., A=, P()=0, P(A) = P()=0= P

2、() P(A),即 與A獨(dú)立.,(2) 若事件A與B相互獨(dú)立, 則以下三對事件,也相互獨(dú)立.,證,注 稱此為二事件的獨(dú)立性 關(guān)于逆運(yùn)算封閉.,又 A與B相互獨(dú)立,注： 獨(dú)立與互斥的關(guān)系,兩事件相互獨(dú)立,兩事件互斥,例如,由此可見兩事件相互獨(dú)立但兩事件不互斥.,兩事件相互獨(dú)立,兩事件互斥.,若A與B互斥，則 AB = ,B發(fā)生時，A一定不發(fā)生.,這表明: B的發(fā)生會影響 A發(fā)生的可能性(造成A不發(fā)生), 即B的發(fā)生造成 A發(fā)生的概率為零. 所以A與B不獨(dú)立.,理解:,甲, 乙兩人同時向敵人炮擊,已知甲擊中敵機(jī)的概率為0.6, 乙擊中敵機(jī)的概率為0.5, 求敵機(jī)被擊中的概率.,解,設(shè) A= 甲擊中

3、敵機(jī) ,B= 乙擊中敵機(jī) ,C=敵機(jī)被擊中 ,依題設(shè),例1,由于 甲，乙同時射擊，甲擊中敵機(jī)并不影響乙擊中敵機(jī)的可能性，所以 A與B獨(dú)立,進(jìn)而,= 0.8,例2 一個家庭中有男孩又有女孩，假定生男生女是等可能的。令A(yù)：一個家庭中有男孩又有女孩，B：一個家庭中最多有一個女孩。對下述兩種情形，討論A和B的獨(dú)立性。 （1）家庭中有兩個小孩； （2）家庭中有三個小孩。,事件 A 與 B 相互獨(dú)立,是指事件 A 的發(fā)生與事件 B 發(fā)生的概率無關(guān).,1. 三事件兩兩獨(dú)立的概念,(二) 多個事件的獨(dú)立性,定義,2. 三事件相互獨(dú)立的概念,定義,設(shè)一個口袋里裝有四張形狀相同的卡片.在這四張卡片上依次標(biāo)有下列各

4、組數(shù)字：111，001，100，010,從袋中任取一張卡片，記,證明：,例3,設(shè) A1，A2 ， ，An為n 個事件， 若對于任意k(1kn), 及 1i 1 i 2 i kn,3. n 個事件的獨(dú)立性,定義,若事件 A1，A2 ， ，An 中任意兩個事件相互獨(dú)立，即對于一切 1 i j n, 有,定義,注.,兩個結(jié)論,例4 設(shè)n個人向保險公司購買人身意外保險（一年），假定投保人在一年內(nèi)發(fā)生意外的概率為0.01。（1）求保險公司賠付的概率；（2）當(dāng)n為多大時，使得賠付的概率超過1/2。,n 個獨(dú)立事件和的概率公式:,設(shè)事件 相互獨(dú)立,則,也相互獨(dú)立,即 n個獨(dú)立事件至少有一個發(fā)生的概率等于 1

5、減去各自對立事件概率的乘積.,結(jié)論的應(yīng)用,則“ 至少有一個發(fā)生”的概率為,P(A1An) =1- (1-p1 ) (1-pn ),類似可以得出：,=1- p1 pn,事件的獨(dú)立性在可靠性理論中的應(yīng)用：,一個元件的可靠性：,該元件正常工作的概率.,一個系統(tǒng)的可靠性：,由元件組成的系統(tǒng)正常工作的概率.,設(shè)一個系統(tǒng)由2n 個元件組成，每個元件的可靠性均為 r(0 r1)，且各元件能否正常工作是相互獨(dú)立的.,(1),求下列兩個系統(tǒng)和的可靠性；,(2) 問：哪個系統(tǒng)的可靠性更大？,例4,則稱這n次重復(fù)試驗為n重伯努里試驗，簡稱為伯努里概型.,若n 次重復(fù)試驗具有下列特點(diǎn)：,二. n 重伯努利(Berno

6、ulli)試驗,1) 每次試驗的可能結(jié)果只有兩個A 或,3) 各次試驗相互獨(dú)立，,2) A在每次試驗中出現(xiàn)的概率p保持不變，,4) 試驗共進(jìn)行n次。,實例1 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. 若將 硬幣拋 n 次,就是n重伯努利試驗.,實例2 拋一顆骰子n次,觀察是否 “出現(xiàn) 1 點(diǎn)”, 就 是 n重伯努利試驗.,一般地，對于伯努里概型，有如下公式：,定理,如果在伯努里試驗中，事件A出現(xiàn)的概率為p (0p1), 則在n次試驗中，A恰好出現(xiàn) k 次的概率為：,3. 二項概率公式,推導(dǎo)如下：,且兩兩互不相容.,稱上式為二項分布. 記為,經(jīng)計算得,例5,解,幾何分布,幾何分布,例6,解,三、內(nèi)容小結(jié),

7、4 二項分布,5 幾何分布,備用題,伯恩斯坦反例,一個均勻的正四面體, 其第一面染成紅色, 第二面染成白色 , 第三面染成黑色, 而第四面同 時染上紅、白、黑三種顏色.現(xiàn)以 A , B, C 分別 記投一次四面體出現(xiàn)紅, 白, 黑顏色朝下的事件, 問 A,B,C是否相互獨(dú)立?,解,由于在四面體中紅, 白, 黑分別出現(xiàn)兩面,因此,又由題意知,例1,故有,因此 A、B、C 不相互獨(dú)立.,則三事件 A, B, C 兩兩獨(dú)立.,由于,例2,解,事件 B 為“擊落飛機(jī)”,甲、乙、丙三人同時對飛機(jī)進(jìn)行射擊, 三人 擊中的概率分別為 0.4, 0.5, 0.7, 飛機(jī)被一人擊中 而被擊落的概率為0.2 ,被

8、兩人擊中而被擊落的概 率為 0.6 , 若三人都擊中飛機(jī)必定被擊落, 求飛機(jī) 被擊落的概率.,解,A, B, C 分別表示甲、乙、丙擊中敵機(jī) ,例3,因而,由全概率公式得飛機(jī)被擊落的概率為,要驗收一批(100件)樂器.驗收方案如下:自該批樂器中隨機(jī)地取3件測試(設(shè)3件樂器的測試是相互獨(dú)立的),如果3件中至少有一件在測試中被認(rèn)為音色不純,則這批樂器就被拒絕接收.設(shè)一件音色不純的樂器經(jīng)測試查出其為音色不純的概率為0.95;而一件音色純的樂器經(jīng)測試被誤認(rèn)為不純的概率為0.01.如果已知這100件樂器中恰有4件是音色不純的.試問這批樂器被接收的概率是多少?,解,例4,純的樂器 , 經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的概率為 0.99 ,已知一件音色,而一件音色不純的樂器,經(jīng)測試被認(rèn)為音色純的,概率為0.05,并且三件樂器的測試是相互獨(dú)立的,于是有,En: 可看成將 E 重復(fù)了n次, 這是一個n重 伯努里試驗.,解,例5,E ：觀察1局比賽甲是否獲勝,設(shè)在n次試驗中，A恰好出現(xiàn) k 次的概率為：,“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;,“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”; ,如：比賽3局，,“甲甲甲”；,比賽4局，,例6,解,解,依題設(shè)，,例7,E：觀察一個卵是否變成蟲,En ：觀察n個卵是否變成蟲,En 可看成將 E 重復(fù)了n次,