1、13.4課題學習最短路徑問題張龍鄉(xiāng)第一初級中學王玉最短路徑問題 教學內容解析：本節(jié)課的主要內容是利用軸對稱研究某些最短路徑問題，最短路徑問題在現實生活中經常遇到，初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”為知識基礎，有時還要借助軸對稱、平移變換進行研究。本節(jié)課以數學史中的一個經典故事-“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“兩點之間、線段最短”的問題。教學目標設置：1、能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題2、在談最短路徑的過程中，體會“軸對稱”的橋梁作用，感悟轉化的數學思想

2、。教學重點難點：重點：利用軸對稱將最短路徑問題轉化為“兩點之間、線段最短”問題。難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題。學生學情分析：1、八年級學生的觀察、操作、猜想能力較強，但演繹推理、歸納和運用數學意識的思想比較薄弱，自主探究和合作學習能力也需要在課堂教學中進一步引導。此年齡段的學生具有一定的探究精神和合作意識，能在一定的親身經歷和體驗中獲取一定的數學新知識，但在數學的說理上還不規(guī)范，集合演繹推理能力有待加強。2、學生已經學習過 “兩點之間，線段最短?！币约啊按咕€段最短”。以及剛剛學習的軸對稱和垂直平分線的性質作為本節(jié)知識的基礎。教學策略分析：最短路徑問題從本質上說是最值問

3、題，作為八年級學生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手。解答“當點A、B在直線l的同側時，如何在l上找到點C，使AC與BC的和最小”，需要將其轉化為“直線l異側的兩點，與直線l上的點的線段的和最小”的問題，為什么需要這樣轉化，怎樣通過軸對稱實現轉化，一些學生會存在理解上和操作上的困難。在證明“最短”時，需要在直線上任取一點（與所求做的點不重合），證明所連線段和大于所求作的線段和，這種思路和方法，一些學生想不到。教學時，教師可以讓學生首先思考“直線l異側的兩點，與直線l上的點的和最小”為學生搭建橋梁，在證明最短時，教

4、師要適時點撥學生，讓學生體會任意的作用。教學條件分析:在初次解決問題時，學生出現了多種方法，通過測量，發(fā)現利用軸對稱將同側兩點轉化為異側兩點求得的線段和比較短；進而利用幾何畫板通過動畫演示，實驗驗證了結論的一般性；最后通過邏輯推理證明。教具準備：直尺、幾何畫板，ppt教學過程：環(huán) 節(jié)教師活動學生活動設計意圖一復習引入1.【問題】：看到圖片，回憶如何用學過的數學知識解釋這個問題？2.這樣的問題，我們稱為“最短路徑”問題。1、兩點之間，線段最短。2、兩邊之和大于第三邊。從學生已經學過的知識入手，為進一步豐富、完善知識結構做鋪墊。二探究新知1.探究一：【故事引入】：唐朝詩人李頎在古從軍行中寫道：“白

5、日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河”詩中就隱含著一個有趣的數學問題，古時候有位將軍，每天從軍營回家，都要經過一條筆直的小河。而將軍的馬每天要到河邊喝水，那么問題來了，問題：怎樣走才能使總路程最短呢？認真讀題，仔細思考。將實際問題中的“地點”“河”抽象為數學中的“點”“線”，把實際問題抽象線段和最小問題。從異側問題入手，由簡到難，逐步深入。二探究新知2.探究二：【變換情境】：后來將軍把家搬到了河的對面，若還是要帶馬先到河邊喝水，然后再回家，應該怎樣走，才能使總路程最短呢？（1）【轉化】：你能將實際問題抽象為數學問題嗎？（2）【展示】：讓學生猜想，并畫出圖形。巡視發(fā)現學生不同的作法（盡可能多），分別展示

6、各小組的作法。給予學生一定的提示。（3）【度量】：如何才能判斷哪種猜想是正確的呢？（測量一下）在幾何畫板中分別度量出AC,BC的長度，并計算AC+BC。讓學生觀察數值如何變化。并反思各自的作法是否正確?！净卮稹浚簩W生思考并回答，如何將實際問題轉化為數學問題。已知：直線L和同側兩點A、B求作：直線L上一點C，使C滿足AC+BC的值最小?！緦W生展示】：作法1： 作法2：作法3：【學生反思】：第1種作法是利用“垂線段最短”，得到AC最短，利用“兩點之間線段最短”，得到BC最短，但不能確定AC+BC是最短的。第2種作法只能說明在河l上取一點，到A、B兩地的距離相等，也就是ACBC。不能說明AC+BC最

7、短第3種作法應該是正確的。學生主動探索，充分發(fā)揮學生的主動性。展示多種方法，產生思維沖突，引發(fā)學生進一步探究的學習欲望。二探究新知3.解決問題【追問】用第3種作法的同學，你們是怎樣想到作點B關于直線L的對稱點的？為什么要作對稱點？如果做點B關于直線L的對稱點，就是把點B移到了另一側，而且滿足了BCBC。其實直線L上所有點到B和B的距離都相等。也可是根據垂直平分線的性質，L就是線段BB的垂直平分線，而垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等。利用軸對稱將同側線段和最短轉化為異側線段和最短問題。借助軸對稱，把折線轉化為線段的長來求解。讓學生進一步體會做法的正確性，提高邏輯思維能力。讓學生在反思的過

8、程中，體會軸對稱的作用，感悟轉化思想，豐富數學活動經驗。（4）【推理論證】：如何證明AC+BC最短呢？【提示】：沒有比較就不會產生大小。通常我們要在直線上任另取一點C（與點C不重合），只要證明AC+BCAC+BC即可。（3）【幾何畫板】下面我們可以借助數學工具幾何畫板來進一步驗證一般性。老師動手操作，驗證結論的正確性。（1）學生自主證明，教師糾錯。（2）師生共同分析，學生說明證明過程，教師版書。（3）共同完成證明過程。認真觀察，思考，要想確認AC+BC最短，可以在直線l上任取一點C（不與點C重合）1.獨立糾錯2.兵教兵讓學生進一步體會作法的正確性，提高邏輯思維能力。通過動畫演示，從特殊到一般地

9、驗證了前面的結論。三發(fā)散思維除了作點B關于直線l的對稱點以外，還有沒有別的作法？還可以作點A關于直線l的對稱點。發(fā)散思維，培養(yǎng)學生一題多解的能力。四得出結論【問題】：我們是如何解決將軍飲馬問題的？先將實際問題轉化為數學問題。然后作其中一個點關于直線l的對稱點，連接對稱點和另一點與直線的交點就是滿足最短距離的點的位置。讓學生反思剛才的探究過程。培養(yǎng)數學思維，和及時總結所學的知識的好習慣。五范例分析1.【問題】：如圖，一個旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客，然后將游客送往河岸BC上，再回到P處，請畫出旅游船的最短路徑。在具體問題中實踐已有模型，固化已有模型。為進一步豐富、完善知識結構做鋪

10、墊。六鞏固練習1. 【題目】：如圖，直線l是一條河，P、Q為河同側的兩地，欲在l上某處修建一個水泵站M，分別向P、Q兩地供水，四種方案中鋪設管道最短的是（ ）2. 【題目】：如圖，在直角三角形ABC中，角A30度，角C為直角，且BC=1，MN為AC的垂直平分線，設P為直線MN上任一點，PB+PC的最小值為 3. 如圖，正方形ABCD邊長為8，M在BC上，BM2，N為AC上的一動點，則BN+MN的最小值為 將軍飲馬模型的直接應用。習題難度，由易到難，逐步深入。讓學生進一步鞏固解決最短路徑問題的基本策略和基本方法。七課堂小結1.【問題】：本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ 當我們遇到一個實際問題，首

11、先，我們要將實際問題變成一個數學問題（群答），也就是抽象成一個數學模型，這樣可以幫助我們進行實驗觀察，進而運用合情推理得到一個猜想，然后我們可以通過嚴謹的邏輯證明，驗證猜想，從而得出結論，最后再將結論運用到實際問題里。2.【問題】：軸對稱在所研究問題中起什么作用？利用軸對稱主要是進行問題的轉化，它其實是起到了一個橋梁的作用，同時也體現了我們數學學習中的轉化思想。我們要先將實際問題變成一個數學問題，然后觀察實驗，提出猜想，之后通過證明，驗證猜想，從而得出結論，最后再將結論運用到實際問題里。轉化作用培養(yǎng)學生總結在課題學習的基本思路。目標檢測設計：題目1、（課后練習）課本93頁，第15題。設計意圖：本題