1、巧借三角形的兩條內(nèi)（外）角平分線夾角的模型解決問題 新北實驗中學(xué) 嚴(yán)云霞【基本模型】 三角形的兩個內(nèi)（外）角平分線所夾的角與第三個角之間的數(shù)量關(guān)系模型一：當(dāng)這兩個角為內(nèi)角時：這個夾角等于90與第三個角一半的和（如圖1）；模型二：當(dāng)這兩個角為外角時：這個夾角等于90與第三個角一半的差（如圖2）；模型三：當(dāng)這兩個角為一內(nèi)角、一外角時：這個夾角等于第三個角一半（如圖3）；如圖1如圖2如圖3【分析】三個結(jié)論的證明例1、 如圖1，ABC中，BD、CD為兩個內(nèi)角平分線，試說明：D=90+A。（方法一）解：BD、CD為角平分線CBDABC，BCDACB。在BCD中：D180（CBDBCD）180（ABCAC

2、B）180（180A）180180A90A（方法二）解：連接AD并延長交BC于點E解：BD、CD為角平分線CBDABC，BCDACB。BDE是ABD的外角BDEBAD+ABD=BAD+ABC同理可得CDECAD+ACB又BDCBDE+CDEBDCBAD+ABC+CAD+ACBBAC+（ABC+ACB）BAC+（180BAC）90BAC例、如圖，、為的兩條外角平分線，試說明：D=90A。解：BD、CD為角平分線CBD=CBEBCDBCF又CBE、BCD為ABC的外角CBEAACBBCFAABCCBEBCFAACBAABCA180在BCD中：D180（CBDBCD）180（CBEBCF）180（C

3、BEBCF）180（A180）90A【小結(jié)】通過對模型1、2的分析和證明，我們還能發(fā)現(xiàn)三角形兩內(nèi)角平分線的夾角和兩外角平分線的夾角互補(bǔ)，即和為180。 例：如圖，在ABC中，BD為ABC的平分線，CD為的平分線，試說明：DA；解：BD為角平分線，CBDABC，又CD為ACE的平分線DCE=ACE，而DCE為BCD的一個外角DCE=D+DBC，即DDCEDBCDACEABC（ACEABC）A?！厩山枘Ｐ徒鉀Q問題】 一、 運用模型直接求值例4、如圖，在ABC中，=400，D點是ABC 和ACB角平分線的交點，則BDC= 0【思路分析】由條件知，這是圖1的模型：三角形兩條內(nèi)角平分線的夾角，BDC90

4、A當(dāng)=400時，BDC=9020=110反之，如果已知BDC的度數(shù)，則把度數(shù)代入公式：BDC90A，可以解出A的度數(shù)。二、 運用模型揭秘畫圖題例5、小明用下面的方法畫出了45角：作兩條互相垂直的直線MN、PQ，點A、B分別是MN、PQ上任意一點，作ABP的平分線BD，BD的反向延長線交OAB的平分線于點C，則C就是所求的45角你認(rèn)為對嗎？請給出證明【思路分析】通過對兩條角平分線的分析，可以發(fā)現(xiàn)AC、BD分別是AOB的內(nèi)角平分線和外角平分線的夾角。根據(jù)圖3的結(jié)論：這個夾角等于第三個角一半，可知C=AOB。解：先模仿圖3證明C=AOB又AOB=90C=AOB=45三、 運用模型探究規(guī)律，提升拓展例

5、6、問題引入：（1）如圖，在ABC中，點O是ABC和ACB平分線的交點，若A=，則BOC= （用表示）；拓展研究：（2）如圖，CBO=ABC，BCO= ACB，A=，試求BOC的度數(shù)（用表示） 歸納猜想：（3）若BO、CO分別是ABC的ABC、ACB的n等分線，它們交于點O，CBO= ABC，BCO= ACB，A=，則BOC= （用表示） 類比探索：（4）特例思考： 如圖，CBO= DBC，BCO=ECB，A=，求BOC的度數(shù)（用表示）一般猜想：若BO、CO分別是ABC的外角DBC、ECB的n等分線，它們交于點O，CBO= DBC，BCO=ECB，A=，請猜想BOC= （用表示）【思路分析】（

6、1） 此為圖1的模型，O= 90+BAC= 90+（2） 把角平分線換成，但證明的思路大致相似。在OC中：BOC180（OBCOCB） 180（ABCACB）180（180A） 180180A 120A120（3）把角平分線換成，證明的思路類似。在中：BOC180（OBCOCB） 180（ABCACB）180（180A） 180180A 180A 180（4）此為圖2的模型中，把角平分線換成，證明如下：CBD、BCE為ABC的外角CBDAACB,BCEAABCCBDBCEAACBAABCA180在中：BOC180（CBOBCO）180（CBDBCE）180（CBDBCE）180（A180）12

7、0A120一般猜想：把再次推廣為，證明類似：在中：BOC180（CBOBCO）180（CBDBCE）180（CBDBCE）180（A180）180A180【小結(jié)】在（2）（3）（4）的結(jié)果對比中，我們發(fā)現(xiàn)這兩個夾角不再互補(bǔ)，但仍然存在中間的運算符號相反的問題，從一般猜想中可以發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律。雖然在問題設(shè)計中引起一連串的變式，從變成，再從推廣為，但問題證明的思路并未發(fā)生質(zhì)的變化。四、 三種模型合為一體，滲透分類思想例7、好學(xué)的小紅在學(xué)完三角形的角平分線后，鉆研了下列4個問題，請你一起參與，共同進(jìn)步如圖，ABC，點I是ABC與ACB平分線的交點，點D是MBC與NCB平分線的交點，點E是ABC與ACG

8、平分線的交點問題（1）：若BAC=50，則BIC= ，BDC= 問題（2）：猜想BEC與BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由問題（3）：若BAC=x（0x90），則當(dāng)ACB等于 度（用含x的代數(shù)式表示）時，CEAB說明理由問題（4）：若BDE中存在一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，試求BAC的度數(shù)【思路分析】（1） 已知點I是兩內(nèi)角ABC、ACB平分線的交點，故由圖1歸納的模型：BIC=90+BAC，由此可求BIC；因為CD、BD分別為ABC的兩外角平分線，故由圖2的模型：BDC=190BAC，由此可求BDC；（2）因為BE、CE分別為ABC的內(nèi)角、外角平分線，故由圖3的模型：BEC= =BAC，由此可求

9、BEC；（3）當(dāng)CEAB時，BEC=ABC，由（3）可知，ABC=BAC，ACB=（180BAC）（4）由題意可證：BDE是直角三角形，DBE=90，D+E=90。已知條件中：一個內(nèi)角等于另一個內(nèi)角的三倍，則不明確，所以應(yīng)當(dāng)分類討論。若EBD=3D；若EBD=3E；若D=3E；若E=3D解：（1）點I是兩角B、C平分線的交點，BIC=180（IBC+ICB）=180（ABC+ACB）=180（180A）=90+BAC=115；類似證明BDC=180BIC=90BAC=65；或者也可以這樣證明：BE、BD分別為ABC的內(nèi)角、外角平分線，IBC =ABC，CBD=CBM；DBI=IBC+CBD=I

10、BC =ABC+CBM =（ABC+CBM）=180DBI=90，同理DCI=90，在四邊形CDBI中，BDC=180BIC=90BAC=65；（2）有圖3的模型可證BEC=BAC也可借助上面的小題這樣證明：在BDE中，DBI=90，BEC=90BDC=90（90BAC）=BAC；（3）當(dāng)ACB等于（1802x）時，CEAB理由如下：CEAB，ACE=A=x，CE是ACG的平分線，ACG=2ACE=2x，ABC=ACGBAC=2xx=x，ACB=180BACABC=（1802x）（4）由題意知：BDE是直角三角形D+E=90若EBD=3D時BAC=120； 若EBD=3E時BAC=60；若D=3E時BAC=45； 若E=3D時BAC=135綜上所述，BAC=120或60或45或135鞏固練習(xí)：1、如圖：BO、CO分別平分ABC和ACB， （1）若A=40，求BOC的度數(shù)； （2）若A=60，BOC= ；若A=100，BOC= ；（3）由（1）、（2）的結(jié)果，試直接寫出BOC與A之間的數(shù)量關(guān)系 ； （4）利用你得出的結(jié)論，求當(dāng)BOC=150時，求A的度數(shù) 2、已知如圖，COD=90，直線AB與OC交于點B，與OD交于點A，射線OE和射線AF交于點G （1）若O