1、微專題70 求點的軌跡問題一、基礎(chǔ)知識：1、求點軌跡方程的步驟：（1）建立直角坐標系（2）設(shè)點：將所求點坐標設(shè)為，同時將其他相關(guān)點坐標化（未知的暫用參數(shù)表示）（3）列式：從已知條件中發(fā)掘的關(guān)系，列出方程（4）化簡：將方程進行變形化簡，并求出的范圍2、求點軌跡方程的方法（1）直接法：從條件中直接尋找到的關(guān)系，列出方程后化簡即可（2）代入法：所求點與某已知曲線上一點存在某種關(guān)系，則可根據(jù)條件用表示出，然后代入到所在曲線方程中，即可得到關(guān)于的方程（3）定義法：從條件中能夠判斷出點的軌跡為學(xué)過的圖形，則可先判定軌跡形狀，再通過確定相關(guān)曲線的要素，求出曲線方程。常見的曲線特征及要素有： 圓：平面上到定點

2、的距離等于定長的點的軌跡 直角圓：若，則點在以為直徑的圓上確定方程的要素：圓心坐標，半徑 橢圓：平面上到兩個定點的距離之和為常數(shù)（常數(shù)大于定點距離）的點的軌跡確定方程的要素：距離和，定點距離 雙曲線：平面上到兩個定點的距離之差的絕對值為常數(shù)（小于定點距離）的點的軌跡注：若只是到兩定點的距離差為常數(shù)（小于定點距離），則為雙曲線的一支確定方程的要素：距離差的絕對值，定點距離 拋物線：平面上到一定點的距離與到一定直線的距離（定點在定直線外）相等的點的軌跡確定方程的要素：焦準距：。若曲線位置位于標準位置（即標準方程的曲線），則通過準線方程或焦點坐標也可確定方程（4）參數(shù)法：從條件中無法直接找到的聯(lián)系，

3、但可通過一輔助變量，分別找到與的聯(lián)系，從而得到和的方程：，即曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)后即可得到軌跡方程。二、典型例題：例1：設(shè)一動點到直線的距離到它到點的距離之比為，則動點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 思路：設(shè)，則可直接利用已知條件列出關(guān)于的等式，化簡即可解：設(shè) 答案：C例2：已知兩定點的坐標分別為，動點滿足條件，則動點的軌跡方程為_思路：通過作圖可得等價的條件為直線的斜率的關(guān)系，設(shè)，則，則可通過的斜率關(guān)系得到動點的方程解：若在軸上方，則 代入可得： ，化簡可得：即 若在軸下方，則，同理可得：當時，即為等腰直角三角形，或滿足上述方程所以當在一四象限時，軌跡方程為當在線段上時，同樣滿

4、足，所以線段的方程也為的軌跡方程綜上所述：的軌跡方程為或答案：或例3：已知是拋物線的焦點，是該拋物線上的動點，則線段中點的軌跡方程是（ ）A. B. C. D. 思路：依題意可得， ，則有，因為自身有軌跡方程，為：，將代入可得關(guān)于的方程，即的軌跡方程： 答案：D例4：已知是拋物線上的焦點，是拋物線上的一個動點，若動點滿足，則的軌跡方程是_思路：考慮設(shè)，由拋物線可得：，且，故考慮利用向量關(guān)系得到與的關(guān)系，從而利用代入法將用進行表示，代入到即可解：由拋物線可得：設(shè) 在上 ，將代入可得：，即 答案：例5：在平面直角坐標系中，直線與橢圓交于兩點，且，分別為橢圓的左，右頂點，則直線與的交點所在曲線方程為

5、_思路：由橢圓可得：，從而可確定線與的方程。，若聯(lián)立方程解，則形式較為復(fù)雜不易化簡，觀察兩條直線方程的特點，可發(fā)現(xiàn)若兩邊相乘，有平方差的特點，且與橢圓相交，則關(guān)于軸對稱，有。所以兩方程左右兩邊分別相乘可得：，再利用滿足橢圓方程，消去等式中的即可解：由橢圓可知：，設(shè)交點坐標。與橢圓相交于 關(guān)于軸對稱考慮直線與的方程：由可得： 同理可得： 可得： 由在橢圓上可得：，代入可得：，整理后可得：答案：小煉有話說：本題消元的方法比較特殊，是抓住了兩直線中某些地方具備平方差公式的特點，從而兩式相乘，再進行代入消元。例6：若動圓過定點且和定圓 外切，則動圓圓心的軌跡方程是_思路：定圓的圓心為，觀察到恰好與關(guān)于

6、原點對稱，所以考慮點軌跡是否為橢圓或雙曲線，設(shè)動圓的半徑為，則有，由兩圓外切可得，所以，即距離差為定值，所以判斷出的軌跡為雙曲線的左支，則，解得，所以軌跡方程為答案：小煉有話說：本題從所給條件中的對稱定點出發(fā)，先作一個預(yù)判，從而便可去尋找符合定義的要素，即線段的和或差。要注意本題中，所以軌跡為雙曲線的一支。例7：是圓的圓心為，是圓內(nèi)一定點，為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則的軌跡方程為（ ）A. B. C. D. 思路：可得，發(fā)現(xiàn)剛好與均在軸上且關(guān)于原點對稱，從而聯(lián)想到雙曲線或橢圓的焦點，觀察幾何性質(zhì)可得：由的中垂線可得，從而考慮，即到的距離和為定值5，從而判斷出其軌跡為橢圓，

7、可得，則，所以橢圓方程為：答案：C例8：已知直線與拋物線交于兩點，且，其中為坐標原點，若于，則點的軌跡方程為（ ）A. B. C. D. 思路：先處理條件可得由為鄰邊的平行四邊形對角線相等，所以該四邊形為矩形。即，設(shè)，即，聯(lián)立直線與拋物線方程并利用韋達定理可得，從而可得直線過定點，結(jié)合圖像性質(zhì)可得，則的軌跡為以為直徑的圓，軌跡方程為 解：，且為為鄰邊的平行四邊形對角線 該四邊形為矩形，即設(shè)， 聯(lián)立方程：，消去可得： ，由可得 ，即直線過定點 即 的軌跡為以為直徑的圓則該圓的圓心為，半徑 軌跡方程為 答案：B例9：過點作圓的割線，交圓于兩點，在線段上取一點，使得，求點的軌跡解：設(shè)點，直線的斜率為

8、由可得： ，聯(lián)立方程：，消去可得：代入可得：即，而代入可得：化簡可得：，因為在圓內(nèi)所以點的軌跡是直線被圓截得的弦例10：如圖所示，點在圓上運動，軸，點在的延長線上，且 （1）求點的軌跡方恒，并求當為何值時，的軌跡表示焦點在軸上的橢圓（2）當時，在（1）中所得曲線記為，已知直線，是上的動點，射線（為坐標原點）交曲線于點，又點在上且滿足，求點的軌跡方程解：（1）思路：自身有軌跡方程，且條件中所求的點與點存在聯(lián)系（），所以考慮利用代入法求軌跡方程。設(shè)，然后利用向量關(guān)系找到的坐標與坐標的聯(lián)系，從而代入到所在的方程便得到關(guān)于的等式，即的軌跡方程設(shè) 軸 由在上可知：，代入可得：即 當時，的軌跡表示焦點在軸上的橢圓（2）思路：由（1）可知曲線方程為，從而題目中的點均有方程。設(shè)所求點，則可考慮尋找的坐標與之間的聯(lián)系。本題共線是關(guān)鍵點，因為在這條線上的點，其與點距離的比值即為橫縱坐標的比值。所以先從入手，題目中沒有的比例，則不妨設(shè)，進而得到與的聯(lián)系：，再尋找的聯(lián)