1、平面向量基礎知識一向量有關概念 ：1向量的概念 ：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。2零向量 ：長度為 0 的向量叫零向量，記作：0 ，注意零向量的方向是任意的；uuur3 單位向量 ：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量( 與 AB 共線的單位向量是uuurABuuur )；4相等向量 ：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5平行向量 （也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量， 記作：a b ，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行包含兩個向量共線 , 但兩條直線平行不包含兩條直線重合

2、；r平行向量無傳遞性 ?。ㄒ驗橛?0 ) ；三點A、B、C 共線uuuruuurAB、AC 共線；6相反向量 ：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。二向量的表示方法 ：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB ，注意起點在前，終點在后；2符號表示法：用一個小寫的英文字母來表示，如a ， b ， c 等；3坐標表示法： 在平面內(nèi)建立直角坐標系， 以與 x軸、 y 軸方向相同的兩個單位向量 i ， jrrrx, y，稱 x, y 為向量 a 的坐標，為基底，則平面內(nèi)的任一向量 a 可表示為 axiy ja x, y叫做向量 a 的坐標表示。如果向量的起點在原點 ，那么向

3、量的坐標與向量的終點坐標相同。三平面向量的基本定理 ：如果 e1 和 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)e的任一向量 a，有且只有一對實數(shù)1 、2 ，使 a=12rrr1 e2 e 。r_如：若 a(1,1),b(1, 1),c( 1,2) ，則 c四實數(shù)與向量的積 ：實數(shù)與向量 a 的積是一個向量，記作a ，它的長度和方向規(guī)定如下： 1rr當 0 時，a 的方向與 a 的方向相同，當0 時， a 的方向aa , 2與 a 的方向相反，當rr0 時， a0 ，注意： a 0。五平面向量的數(shù)量積 ：uuurruuurr兩個向量的夾角 ：對于非零向量a ， b ，作OAa,OBb ，

4、AOB10稱為向量 a ， b 的夾角，當0 時， a ， b 同向，當 時， a ， b 反向，當時， a ， b 垂直。2r2 平面向量的數(shù)量積：如果兩個非零向量a ， b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量rrr| a | b | cos 叫做 a 與 b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點積） ，記作： a ? b ，即 a ? b ab cos 。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是 0，注意數(shù)量積是一個實數(shù)，不再是一個向量 。如： ABC 中， | AB |3 ， | AC |4 ， | BC |5，則 AB BC _r.0。3 b 在 a 上的投影 為 | b | cos ，它是一個實數(shù)，但不一定大于如：

5、已知 | a | 3 ， | b | 5 ，且 a b12 ，則向量 a 在向量 b 上的投影為 _r4 a ? b 的幾何意義 ：數(shù)量積 a ? b 等于 a 的模 | a |與 b 在 a 上的投影的積。5向量數(shù)量積的性質(zhì) ：設兩個非零向量 a ， b ，其夾角為，則：rrr rr rr 2r rr 2 rr 2 aba ? b 0 ；當 a ，b 同向時，a ? b a b ，特別地，aa ? aa , aa ；r r當 a 與 b 反向時， a ? b a b ；rrrrrr非零向量 a ， b 夾角 的計算公式： cosa ?b| a |b | 。rr； | a ?b |a b六向量

6、的運算 ：1幾何運算 ：向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線uuur的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”uuurruuurr：設 ABa, BCb ，那么向量 AC 叫rrrruuuruuuruuur做 a 與 b 的和，即 abABBCAC ；uuurruuurrrruuuruuuruuur向量的減法：用“三角形法則” ：設 ABa, ACb, 那么 abABACCA ，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur_如化簡： ABBCCD

7、_； ABADDC_； ( ABCD ) ( ACBD )rr2坐標運算 ：設 a( x1 , y1), b( x2 , y2 ) ，則：rr向量的加減法運算 ： ab( x1x2， y1y2 ) 。如：已知 A(2,3), B(1,4), 且1 uuur(sin x,cos y) ， x, y(,) ，則 xy2ABr22實數(shù)與向量的積 ： ax1, y1x1,y1。uuur若 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，則 ABx2x1, y2y1，即一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標。如：設 A(2,3), B(uuur1 uuuruuuruuur1,5

8、) ，且 AC3AB ， AD3 AB ，則 C、 D 的坐標分別是 _r rrr 2 rx1 x2x2y2x2y2 。平面向量數(shù)量積 ： a ? by1 y2 。 向量的模 ： | a |, a| a |2七向量的運算律 ：rrrrrrrrrr1交換律： abba ，aa， a ?bb ? a ；rrrrrr rrrrrrrrrrrr2結(jié)合律： abcabc,abcabc，a?ba ?ba ?b ；3分配律：rrrrrrrrrrrrrraaa,abab， ab ? ca ? cb ? c。八向量平行 ( 共線 ) 的充要條件 ：rrrrrr2rr2x1 y2y1x2 。a / bab(ab)

9、(| a |b |)0uuuruuuruuur如： 設PA(k ,12), PB(4,5), PC(10,k )，則 k_時， A,B,C 共線rrrrrrrr0 .九向量垂直的充要條件 ： abab0 | ab | ab |x1x2y1 y2.平面向量單元練習1設 a 是非零向量，是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A a 與a 的方向相反B|-a|=| | aCa 與2a 的方向相同D |-a|a|2、下面給出的關系式中正確的個數(shù)是（） 0 a0 a b b a a 2a 2 (a b)c a(b c ) a b a bA. 0B. 1C. 2D. 3DC3、如圖，在平行四邊形ABCD 中，

10、下列結(jié)論中錯誤的是（）BAA. AB DCB. AD AB ACC. AB AD BDD. AD CB 0uuuruuur(1,3) ,uuur4、若 AB(2, 4) ， AC則 BC（）A （1，1）B（ 1， 1）C（3，7）D（ -3,-7）5、已知向量 a(1,2) ， b(2,3) 若向量 c 滿足 (ca) / /b ， c (ab) ，則 c（）A ( 7 , 7)B (7 ,7)C ( 7 , 7 )D (7 ,7 )93393993uuur）6、 D 是 ABC 的邊 AB上的中點，則向量 CD （uuur1 uuurB.uuur1 uuuruuur 1 uuuruuur1

11、 uuurA. BCBABCBAC. BCBAD. BCBA2r2r22r3,sin(cos1b ，則銳角為（）7、 設 a() ， b, )，且 a /23A 300B 60 0C 750D 4508、已知 a(1, sin 2 x), b(2,sin 2x) ，其中 x(0,) 。若 a ba b ，則 tanx 的值等于（）2A 1B -1C3D29、一質(zhì)點受到平面上的三個力F1, F2 , F3（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài) 已知 F1 ， F2成 600 角，且 F1， F2 的大小分別為 2 和 4，則 F3 的大小為（）A. 6B. 2C. 2 5D. 2 710、已知O ，

12、 N ， P 在ABC 所在平面內(nèi)，且OAOBOC , NANBNC0 ，且PA ? PBPB ? PCPC ? PA ，則點 O，N，P 依次是ABC 的（）A. 重心 外心 垂心B.重心 外心 內(nèi)心C.外心 重心 垂心D.外心 重心 內(nèi)心.rrrrrrrr11、若向量 a ， b 滿足 a1，b 2且 a 與 b 的夾角為 ，則 ab3、已知 ab2， a2b ? ab2 ，則 a 與 b 的夾角為1213、已向量 a =2，4， b =11， 若向量 b(a +b) ，則實數(shù)的值是、設向量rrrrr( 11)， ，則 cosa與 b 的夾角為， a(3，3) ， 2ba1415、若有以下命題： 兩個相等向量的模相等；若 a 和 b 都是單位向量，則 ab ； 相等的兩個向量一定是共線向量；a / b ， c / b ，則 a / c ； 零向量是唯一沒有方向的向量；兩個非零向量的和可以是零。其中正確的命題序號是。16、 已知 | a | 4 ， | b | 2 ，且 a 與 b 夾角為 120，求 (a2b) ? (ab) ； | 2ab | ；當 k 為何值時， (a 2 b)( k a b) ?1