1、32 圓的對稱性課時安排 2課時從容說課 圓是一種特殊的圖形，它既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形學(xué)生已經(jīng)通過前面的學(xué)習(xí)，能用折疊的方法得到圓是一個軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線同時結(jié)合圖形讓學(xué)生認(rèn)識一些和圓相關(guān)的概念 本節(jié)課的重點(diǎn)是垂點(diǎn)定理及其逆定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理 本節(jié)課的難點(diǎn)是垂點(diǎn)定理及其逆定理的證明與“圓心角、弧、弦、弦心距之間關(guān)系定理”中的“在同圓或等圓”的前提條件的理解及定理的證明 第二課時 課 題 321 圓的對稱性(一) 教學(xué)目標(biāo) (一)教學(xué)知識點(diǎn) 1圓的軸對稱性 2垂徑定理及其逆定理 3運(yùn)用垂徑定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)的計算和證明 (二)能力訓(xùn)練要

2、求 1經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程，進(jìn)一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法 2培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索，相互合作交流的精神 (三)情感與價值觀要求 通過學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明，使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神，培養(yǎng)學(xué)生實事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動精神教學(xué)重點(diǎn) 垂徑定理及其逆定理教學(xué)難點(diǎn) 垂徑定理及其逆定理的證明教學(xué)方法 指導(dǎo)探索和自主探索相結(jié)合教具準(zhǔn)備 投影片兩張： 第一張：做一做(記作321 A) 第二張：想一想(記作321 B)教學(xué)過程 I創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課， 師前面我們已探討過軸對稱圖形，哪位同學(xué)能敘述一下軸對稱圖形的定義?， 生如果一個圖形沿著某一條直線折疊后。直線兩旁的

3、部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形，這條直線叫對稱軸 師我們是用什么方法研究了軸對稱圖形? 生折疊 師今天我們繼續(xù)用前面的方法來研究圓的對稱性 講授新課 師同學(xué)們想一想：圓是軸對稱圖形嗎?如果是，它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸? 生圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸，有無數(shù)條對稱軸 師是嗎?你是用什么方法解決上述問題的?大家互相討論一下 生我們可以利用折疊的方法，解決上述問題把一個圓對折以后，圓的兩半部分重合，折痕是一條過圓心的直線，由于過圓心可以作無數(shù)條直線，這樣便可知圓有無數(shù)條對稱軸 師很好 教師板書： 圓是軸對稱圖形圖形，對稱軸是任意一條過圓心的直線 下面我們來認(rèn)識

4、一下弧、弦、直徑這些與圓有關(guān)的概念 1圓弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧(arc) 2弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(chord) 3直徑：經(jīng)過圓心的弦叫直徑(diameter) 如右圖。以A、B為端點(diǎn)的弧記作AB，瀆作“圓弧AB”或“弧AB”；線段AB是O的一條弦，弧CD是O的一條直徑 注意： 1弧包括優(yōu)弧(major arc)和劣弧(minor are)，大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧如上圖中，以A、D為端點(diǎn)的弧有兩條：優(yōu)弧ACD(記作ACD)，劣弧ABD(記作AD)半圓，圓的任意一條直徑的兩個端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫半圓弧，簡稱半圓半圓是弧，但弧不一定是半圓；半

5、圓既不是劣弧，也不是優(yōu)弧 2直徑是弦，但弦不一定是直徑 下面我們一起來做一做：(出示投影片321 A)按下面的步驟做一做：1在一張紙上任意畫一個O，沿圓周將圓剪下，把這個圓對折，使圓的兩半部分重合2得到一條折痕CD3在O上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作CD折痕 的垂線，得到新的折痕，其中，點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn)，即垂足4將紙打開，新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B，如上圖 師老師和大家一起動手 (教師敘述步驟，師生共同操作) 師通過第一步，我們可以得到什么? 生齊聲可以知道：圓是軸對稱圖形，過圓心的直線是它的對稱軸 師很好在上述的操作過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些相等的線段和相等的弧? 生我發(fā)現(xiàn)了，AMBM，弧AC=弧BC=

6、弧AD=弧BD. 師為什么呢? 生因為折痕AM與BM互相重合，A點(diǎn)與D點(diǎn)重合 師還可以怎么說呢?能不能利用構(gòu)造等腰三角形得出上面的等量關(guān)系?師生共析如右圖示，連接OA、OB得到等腰OAB，即OAOB因CDAB，故OAM與OBM都是Rt，又OM為公共邊，所以兩個直角三角形全等，則AMBM又O關(guān)于直徑CD對稱，所以A點(diǎn)和B點(diǎn)關(guān)于CD對稱，當(dāng)圓沿著直徑CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC與弧BC重合.因此AM=BM，弧AC=弧BC=弧AD=弧BD.師在上述操作過程中，你會得出什么結(jié)論? 生垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧 師同學(xué)們總結(jié)得很好這就是利用圓的軸對稱性得到的與圓相關(guān)的一個重要性質(zhì)

7、垂徑定理在這里注意：條件中的“弦”可以是直徑結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弦 下面，我們一起看一下定理的證明： (教師邊板書，邊敘述) 如上圖，連結(jié)OA、OB，則OAOB 在RtOAM和RtOBM中， OA=OB，OMOM， RtOAMRtOBM， AMBM 點(diǎn)A和點(diǎn)墨關(guān)于CD對稱 O關(guān)于直徑CD對稱， 當(dāng)圓沿著直徑CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合， 弧AC與弧BC重合，弧AD與弧BD重合. AC=BC, 弧AD與弧BD重合 師為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯誤，易于記憶，可將原定理敘述為：一條直線若滿足：(1)過圓心；(2)垂直于弦，那么可推出：平分弦，平分弦所對的優(yōu)弧，平分弦所對的劣弧即垂徑

8、定理的條件有兩項，結(jié)論有三項用符號語言可表述為：如圖37，在O中， AM=BM，CD是直徑 弧AD=弧BD， CDAB于M AC=弧BC. 下面，我們通過求解例1，來熟悉垂徑定理： 例1如右圖所示，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點(diǎn)O是弧CD的圓心)，其中CD=600m，E為弧CD上一點(diǎn)，且OECD，垂足為F，EF=90 m求這段彎路的半徑師生共析要求彎路的半徑，連結(jié)OC，只要求出OC的長便可以了因為已知OECD，所以CFCD300 cm，OFOE-EF，此時就得到了一個RtCFO，哪位同學(xué)能口述一下如何求解? 生連結(jié)OC，設(shè)彎路的半徑為Rm，則 OF(R-90)m，OECD， CF

9、CD=600300(m) 據(jù)勾股定理，得 OC2CF2+OF2， 即R23002+(R-90)2 解這個方程，得R545 這段彎路的半徑為545 m 師在上述解題過程中使用了列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問題，這種思想應(yīng)在今后的解題過程中注意運(yùn)用 隨堂練習(xí)：P921略 下面我們來想一想(出示投影片321 B)如下圖示，AB是O的弦(不是直徑)，作一條平分AB的直徑CD，交AB于點(diǎn)M 師右圖是軸對稱圖形嗎?如果是，其對稱軸是什么? 生它是軸對稱圖形，其對稱軸是直徑CD所在的直線 師很好，你是用什么方法驗證上述結(jié)論的?大家互相交流討論一下，你還有什么發(fā)現(xiàn)? 生通過折疊的方法，與剛才垂徑定理的探索

10、方法類似，在一張紙上畫一個O，作一條不是直徑的弦AB，將圓對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，便得到一條折痕CD與弦AB交于點(diǎn)MCD就是O的對稱軸，A點(diǎn)、B點(diǎn)關(guān)于直徑CD對稱由軸對稱可知，ABCD，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD師大家想想還有別的方法嗎?互相討論一下 生如上圖，連接OA、OB便可得到一個等腰OAB，即OAOB，又AMMB，即M點(diǎn)為等腰OAB底邊上的中線由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知CDAB，又CD是O的對稱軸，當(dāng)圓沿CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC與弧BC重合，弧AD與弧BD重合 師在上述的探討中，你會得出什么結(jié)論? 生平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧 師為什么上述條

11、件要強(qiáng)調(diào)“弦不是直徑”? 生因為圓的任意兩條直徑互相平分，但是它們不一定是互相垂直的 師我們把上述結(jié)論稱為垂徑定理的一個逆定理 師同學(xué)們，你能寫出它的證明過程嗎? 生如上圖，連結(jié)OA、OB，則OAOB 在等腰OAB中，AMMB， CDAB(等腰三角形的三線合一) O關(guān)于直徑CD對稱 當(dāng)圓沿著直徑CD對折時，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，弧AC與弧BC重合，弧AD與弧BD重合 弧AC=弧BC，弧AD=弧BD 師接下來，做隨堂練習(xí)：P92 2如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?為什么? 答：相等 理由：如右圖示，過圓心O作垂直于弦的直徑EF，由垂徑定理設(shè)弧AF=弧BF，弧CF=弧DF，用等量減等

12、量差相等，得弧AF-弧CF=弧BF-弧DF，即弧AC=弧BD，故結(jié)論成立 符合條件的圖形有三種情況：(1)圓心在平行弦外，(2)在其中一條線弦上，(3)在平行弦內(nèi)，但理由相同 課時小結(jié) 1本節(jié)課我們探索了圓的對稱性 2利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理 3垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計算弦長、半徑、弦心距等問題 課后作業(yè) (一)課本P93，習(xí)題32，1、2 (二)1預(yù)習(xí)內(nèi)容：P9497 2預(yù)習(xí)提綱： (1)圓是中心對稱圖形 (2)圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理 活動與探究 1銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道如圖所示，污水水面寬度為60 c

13、m，水面至管道頂部距離為10 cm，問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道? 過程讓學(xué)生在探究過程中，進(jìn)一步把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理基本結(jié)構(gòu)圖，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維 結(jié)果 如右圖示，連結(jié)OA，過O作OEAB，垂足為E，交圓于F，則AE=AB=30cm令O的半徑為R，則OA=R，OEOF-EFR-10在RtAEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2解得R=50 cm修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100 cm的管道板書設(shè)計 321 圓的對稱性(一)一、圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直徑二、與圓有關(guān)的概念： 1圓弧 2弦 3直徑 注意：弧包括優(yōu)弧、劣弧、半圓三、垂徑定理：垂直干弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧 例1：略四、垂徑定