1、基礎達標一、選擇題1. (2012高考陜西卷)如圖所示，在空間直角坐標系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為()A.B.C. D.解析：選A.不妨令CB1，則CACC12.可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,1)，(0,2，1)，(2,2,1)，cos，0，與的夾角即為直線BC1與直線AB1的夾角，直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為.2已知正方體ABCDA1B1C1D1，則直線BC1與平面A1BD所成的角的正弦值是()A. B.C. D.解析：選C.建立空間直角坐標系如圖所示設正方體的

2、棱長為1，直線BC1與平面A1BD所成的角為，則D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)設n(x，y，z)是平面A1BD的一個法向量，則，令z1，則x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.二、填空題3(2014江蘇徐州一模)在ABCD中，ABAC1，ACD90，將它沿對角線AC折起，使AB和CD成60角，則B，D兩點間的距離為_解析：如圖所示ABAC1，AD，BC，|2()()222222222.ABAC，CDAC，0，0.當B，D在AC兩側時，和成60角；當B，D在AC同側時，和

3、成120角|2222211cos 60，或|2222211cos 120，|212121214，|2，或|211112，|.答案：2或 4(2014浙江溫州質檢)如圖(1)，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，AEEBAFFD4.沿直線EF將AEF翻折成AEF，使平面AEF平面BEF，則二面角AFDC的余弦值為_解析：取線段EF的中點H，連接AH.AEAF，H是EF的中點，AHEF.又平面AEF平面BEF，AH平面BEF.如圖(2)，可建立空間直角坐標系Axyz，則A(2,2,2)，C(10,8,0)，F(xiàn)(4,0,0)，D(10,0,0)，故(2,2,2)，(6,0,0)設n(x

4、，y，z)為平面AFD的一個法向量，取z，則n(0，2，)又平面BEF的一個法向量m(0,0,1)，故cosn，m，二面角的余弦值為.答案：三、解答題5(2013高考江蘇卷) 如圖，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，點D是BC的中點 (1)求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以(2,0，4)，(1，1，4)因為cos，所以異面直線A

5、1B與C1D所成角的余弦值為.(2)設平面ADC1的法向量為n1(x，y，z)，因為(1,1,0)，(0,2,4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2,1)是平面ADC1的一個法向量取平面AA1B的一個法向量為n2(0,1,0)，設平面ADC1與平面ABA1所成二面角的大小為.由|cos |，得sin .因此，平面ADC1與平面ABA1所成二面角的正弦值為.6(2014宜昌市模擬)如圖，在底面是正方形的四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC的中點，G為AC上一點(1)確定點G在線段AC上的位置，使FG平面PBD，并說明理由

6、；(2)當二面角BPCD的大小為時，求PC與底面ABCD所成角的正切值解：(1)當G為EC中點，即AGAC時，F(xiàn)G平面PBD，理由如下：連接PE(圖略)，由F為PC中點，G為EC中點，知FGPE，而FG平面PBD，PB平面PBD，故FG平面PBD.(2)作BHPC于H，連接DH(圖略)因為 PA面ABCD，四邊形ABCD是正方形，所以PBPD，又因為BCDC，PCPC，所以PCBPCD，所以DHPC，且DHBH.所以BHD是二面角BPCD的平面角，即BHD.因為PA面ABCD，所以PCA就是PC與底面ABCD所成的角連接EH，則EHBD，BHE，EHPC，所以tanBHE，BEEC.所以，所以

7、sinPCA，所以tanPCA.所以PC與底面ABCD所成角的正切值是.能力提升1. 如圖，在正三棱柱ABCA1B1C1中，ABAA1，點D是A1B1的中點，點E在A1C1上且DEAE. (1)證明：平面ADE平面ACC1A1；(2)求直線AD和平面ABC1所成角的正弦值解：(1)證明：由正三棱柱ABCA1B1C1的性質知AA1平面A1B1C1.又DE平面A1B1C1，所以DEAA1.而DEAE，AA1AEA，所以DE平面ACC1A1.又DE平面ADE，故平面ADE平面ACC1A1.(2)如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系不妨設AA1，則AB2，相關各點的坐標分別是A(0

8、，1,0)，B(，0,0)，C1(0,1，)，D.易知(，1,0)，(0,2，)，.設平面ABC1的一個法向量為n(x，y，z)，則有解得xy，zy.故可取n(1，)所以cosn，.由此即知，直線AD和平面ABC1所成角的正弦值為.2(2013高考湖北卷)如圖，AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，直線PC平面ABC，E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點(1)記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系，并加以證明；(2)設(1)中的直線l與圓O的另一個交點為D，且點Q滿足.記直線PQ與平面ABC所成的角為，異面直線PQ與EF所成的角為，二面角ElC的大小為，求證：s

9、in sin sin .解：(1)直線l平面PAC.證明如下：連接EF，因為E，F(xiàn)分別是PA，PC的中點，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因為l平面PAC，EF平面PAC，所以直線l平面PAC.(2)法一(綜合法)：如圖(1)，連接BD，由(1)可知交線l即為直線BD，且lAC.因為AB是O的直徑，所以ACBC，于是lBC.已知PC平面ABC，而l平面ABC，所以PCl.而PCBCC，所以l平面PBC.連接BE，BF，因為BF平面PBC，所以lBF.故CBF就是二面角ElC的平面角，即CBF.由，作D

10、QCP，且DQCP.連接PQ，DF，因為F是CP的中點，CP2PF，所以DQPF，從而四邊形DQPF是平行四邊形，PQFD.連接CD，因為PC平面ABC，所以CD是FD在平面ABC內的射影故CDF就是直線PQ與平面ABC所成的角，即CDF.又BD平面PBC，所以BDBF，所以BDF為銳角故BDF為異面直線PQ與EF所成的角，即BDF，于是在RtDCF，RtFBD，RtBCF中，分別可得sin ，sin ，sin ，從而sin sin sin ，即sin sin sin .法二(向量法)：如圖(2)，由，作DQCP，且DQCP.連接PQ，EF，BE，BF，BD.由(1)可知交線l即為直線BD.以

11、點C為原點，向量，所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖(2)所示的空間直角坐標系，設CAa，CBb，CP2c，則有C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，b,0)，P(0,0,2c)，Q(a，b，c)，E，F(xiàn)(0,0，c)于是，(a，b，c)，(0，b，c)，所以cos ，從而sin .取平面ABC的一個法向量為m(0,0,1)，可得sin .設平面BEF的一個法向量為n(x，y，z)由可得取n(0，c，b)于是|cos |，從而sin .故sin sin sin ，即sin sin sin .3. (2014江西省七校聯(lián)考)如圖，ABCD是邊長為3的正方形，DE平面ABCD，AFDE，DE3AF，BE與平面ABCD所成的角為60. (1)求證：AC平面BDE；(2)求二面角FBED的余弦值；(3)設點M是線段BD上一個動點，試確定點M的位置，使得AM平面BEF，并證明你的結論解：(1)證明：DE平面ABCD，DEAC.ABCD是正方形，ACBD，又DEBDD，AC平面BDE.(2)DE平面ABCD，EBD就是BE與平面ABCD所成的角，即EBD60.由AD3，得BD3，DE3，AF.如圖，分別以DA，DC，DE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A(3,0,0)，F(xiàn)(3,0，)，E(0,0,3)，B(3,3,0)，C(0,3,0)(