1、解,習(xí)題五解答,2.求下列母函數(shù)的分布列（展成冪級(jí)數(shù)）,解,所以分布列,（2）,解,（1）,所以分布列,（3）,解,所以分布列,3.設(shè)取非負(fù)整數(shù)的隨機(jī)變量,有母函數(shù),對(duì)非負(fù),求,的母函數(shù)。,4.設(shè)取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量,有母函數(shù),解 因?yàn)?整數(shù),解,（1）,所以兩式相減,（2）,解 因?yàn)?兩式相加,5.擲4個(gè)均勻的正12面體，設(shè)第,面的點(diǎn)數(shù)是,求點(diǎn)數(shù)和為15，16，17的概率。,則,分別求出,的系數(shù)得,6.甲乙兩人各擲均勻的硬幣,甲擲得的正面次數(shù)大于乙擲得的正面次數(shù),次的概率。,次，利用母函數(shù)求,解 甲擲硬幣并設(shè),服從相同分布并有相同母函數(shù),再令,其母函數(shù),7.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用,表示第,次試

2、驗(yàn)成功，,解,.,證明,令,9.設(shè),其特征函數(shù),求,的特征函數(shù)。,又,解 考察隨機(jī)變量,不難得到,與,同分布，所以,10.設(shè),服從,的柯西分布，對(duì),證明,的特征函數(shù),獨(dú)立嗎？,解 因?yàn)?，顯然,不獨(dú)立,不能用性質(zhì),11. 設(shè),獨(dú)立同分布，求,（1）當(dāng),（2）當(dāng),服從,的分布。,服從柯西分布,分布,12.已知如下特征函數(shù)，求概率分布,解,觀察,則,（1）,即分布列為,（2）,解,觀察,則,所以,即,分布列為,13. 設(shè),服從參數(shù)為,的泊松分布,解（1）要證,，只需證,（2）與（1）完全類似的證明。,14.設(shè),是特征函數(shù)，證明,也是特征函數(shù)。,令,15.驗(yàn)證,分布的特征函數(shù)是,證明 設(shè),則,其中,

3、且獨(dú)立,所以,的特征函數(shù)為,令,所以,的特征函數(shù),16 .設(shè),正定，則,17.設(shè),是秩為,的對(duì)稱冪等矩陣，,證明,證明 因?yàn)?所以,的特征根只有0和1，所以存在正交矩陣,18.設(shè),求,與,獨(dú)立的充要條件。,解 若,與,獨(dú)立，則,反之若,顯然,又,與,均服從正態(tài)，所以獨(dú)立。,即,與,獨(dú)立的充要條件是,19.設(shè),其中,求,的概率密度。,解,仍服從正態(tài)，且,又,20.設(shè),獨(dú)立同分布，有共同密度,計(jì)算幾乎處處極限,解 由強(qiáng)大數(shù)定律,而,所以,21.設(shè)全世界有,個(gè)家庭，每個(gè)家庭有,概率都是,個(gè)小孩的,設(shè),滿足,小孩數(shù)是相互獨(dú)立的，計(jì)算一個(gè)小孩來自,如果各個(gè)家庭的,個(gè)小孩,家庭的概率。,解 設(shè),第,個(gè)家庭

4、的小孩個(gè)數(shù)，則,獨(dú)立同分布,再令,（表示全世界的小孩個(gè)數(shù)），,獨(dú)立同分布，則,全世界有,個(gè)小孩的家庭個(gè)小孩總數(shù),所求的概率為,的極限,由強(qiáng)大數(shù)定律,當(dāng),充分大時(shí),寫出關(guān)于,的弱大數(shù)定律和強(qiáng)大數(shù)定律。,解,則,弱大數(shù)定律：,依概率收斂到,強(qiáng)大數(shù)定律：,幾乎處處收斂到,23.一位職工每一天乘公交車上班，如果每天上班,的等車時(shí)間服從均值為5分鐘的指數(shù)分布，求他在,300個(gè)工作日中用于上班的等車時(shí)間之和大于24小,時(shí)的概率。,解 令,第,個(gè)工作日的等車時(shí)間，則,則,所以,24.某人在計(jì)算機(jī)上平均每天上網(wǎng)5小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差,是4小時(shí)，求此人一年內(nèi)上網(wǎng)的時(shí)間小于1700小時(shí),的概率。,解 令,第,天上網(wǎng)時(shí)間，,則,所以,25.某學(xué)校學(xué)生上課的出勤率為97%，全校5000名,學(xué)生上課時(shí)，求出勤人數(shù)少于4880的概率。,解 令,則,所以,26.設(shè)獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量