1、3.4函數(shù)的圖象與變換【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1函數(shù)的實(shí)際意義；函數(shù)圖象的變換（平移平換與伸縮變換）【典型例題】例1(1)函數(shù)的振幅是 ；周期是 ；頻率是 ；相位是 ；初相是 （）；（2）函數(shù)的對(duì)稱中心是 ；對(duì)稱軸方程是 ；單調(diào)增區(qū)間是 （）； (3) 將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式是（ ） A BC D（）C 提示：將函數(shù)的圖象按向量平移，平移后的圖象所對(duì)應(yīng)的解析式為，由圖象知，所以(4) 為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)（）（A）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）（B）向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐

2、標(biāo)縮短到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變）（C）向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變）（D）向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變）（）C 先將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的3倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)的圖像(5)將函數(shù) 的圖象向右平移個(gè)單位后再作關(guān)于軸對(duì)稱的曲線，得到函數(shù)的圖象，則的表達(dá)式是（） （A） （B） （C） （D）（）B 提示: 的圖象關(guān)于軸對(duì)稱的曲線是,向左平移得例2已知函數(shù)，若直線為其一條對(duì)稱軸。（1）試求的值 （2）作出函數(shù)在區(qū)間上的圖象 解：（1） 是的一條對(duì)稱軸 （2）用五

3、點(diǎn)作圖例3已知函數(shù)，且的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)（1,2）（I）求；（II）計(jì)算解：（I）的最大值為2，.又其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，.過(guò)點(diǎn)，又.（II），.又的周期為4，例4設(shè)函數(shù)（其中）。且的圖像在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（）求的值；（）如果在區(qū)間上的最小值為，求的值 解：（I） 依題意得 （II）由（I）知，又當(dāng)時(shí)，故，從而在區(qū)間上的最小值為，故【課內(nèi)練習(xí)】1.若把一個(gè)函數(shù)的圖象按（，2）平移后得到函數(shù)的圖象，則原圖象的函數(shù)解析式是（） （A） （B） （C） （D）D 提示：將函數(shù)的圖象按平移可得原圖象的函數(shù)解析式2為了得到函數(shù)y=sin（2x）的

4、圖象，可以將函數(shù)y=cos2x的圖象 （ ）A.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B 提示：y=sin（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos（2x）=cos2（x），將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度3若函數(shù)f（x）=sin（x+）的圖象（部分）如下圖所示，則和的取值是 （ ）A.=1，=B.=1，= C.=，=D.=，=C 提示：由圖象知，T=4（+）=4=，=.又當(dāng)x=時(shí)，y=1，sin（+）=1，+=2k+，kZ，當(dāng)k=0時(shí)，=. 4函數(shù)的圖象向右平移（）個(gè)單位，得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為 （ ） 以上都不對(duì)

5、A 提示：平移后解析式為，圖象關(guān)于對(duì)稱，（），（），當(dāng)時(shí)，的最小值為5若函數(shù)圖象上每一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的兩倍，然后再將整個(gè)圖象沿軸向右平移個(gè)單位，向下平移3個(gè)單位，恰好得到的圖象，則 函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是；為偶函數(shù)的充要條件是；7一正弦曲線的一個(gè)最高點(diǎn)為，從相鄰的最低點(diǎn)到這最高點(diǎn)的圖象交軸于，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3,則這一正弦曲線的解析式為 . 已知方程sinx+cosx=k在0x上有兩解，求k的取值范圍解：原方程sinx+cosx=ksin（x+）=k，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作函數(shù)y1=sin（x+）與y2=k的圖象.對(duì)于y=sin（x+），令x=0，得y=1.當(dāng)k1，時(shí)，觀

6、察知兩曲線在0，上有兩交點(diǎn)，方程有兩解9數(shù)的最小值是-2，其圖象相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)橫坐標(biāo)差是3p，又：圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，求函數(shù)解析式。 解：易知：A = 2 半周期 T = 6p 即 從而： 設(shè)： 令x = 0 有又： 所求函數(shù)解析式為10已知函數(shù)f（x）=Asinx+Bcosx（A、B、是實(shí)常數(shù)，0）的最小正周期為2，并當(dāng)x=時(shí)，.（1）求f（x）.（2）在閉區(qū)間，上是否存在f（x）的對(duì)稱軸?如果存在，求出其對(duì)稱軸方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1）由 由題意可得 解得 （2）令 所以 由 得 所以在，上只有f（x）的一條對(duì)稱軸x= 作業(yè)本 A組1將函數(shù)的周期擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，再將函數(shù)

7、圖象左移，得到圖象對(duì)應(yīng)解析式是 （ ） （C） （D） A 已知函數(shù)在同一周期內(nèi)，當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則該函數(shù)的解析式是 （ ） 提示：代入驗(yàn)證3要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)的( ) A橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度B橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度C橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度D橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍, 再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 函數(shù)y=sin（）的單調(diào)減區(qū)間是 203k，3k+，5已知函數(shù)（）的一段圖象如下圖所示，則函數(shù)的解析式為 提示：由圖得，又圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，（）， 6、已知函數(shù)（），該函數(shù)的圖象可由（）的圖

8、象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？解：由的圖象向左平移個(gè)單位得圖象，再保持圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的得圖象，再保持圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍得圖象，最后將所得圖象向上平移個(gè)單位得的圖象說(shuō)明：（1）本題的關(guān)鍵在于化簡(jiǎn)得到的形式；（2）若在水平方向先伸縮再平移，則要向左平移個(gè)單位了求函數(shù)的最小值，求其單調(diào)區(qū)間解：因，故，所以的最小值為單調(diào)遞減區(qū)間為若函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，求的值解：令，則，又，故所以，由題意知： 當(dāng)?shù)茫航庵?當(dāng)?shù)茫航庵茫ㄉ崛ィ┚C上知： B組1.下列函數(shù)中，圖像的一部分如右圖所示的是()（A） （B）（C） （D）2已知函數(shù)， 與直線的交點(diǎn)中，距離最近的兩點(diǎn)間距離

9、為，那么此函數(shù)的周期是 （ ）A B C D B 提示：或， ，令得3若，則 （ ） A 提示： ， 把y=cos（x+）圖象向左平移個(gè)單位，所得函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是函數(shù)在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)；若、是第一象限角，且，則；函數(shù)一定是奇函數(shù)；函數(shù)的最小正周期為上列四個(gè)命題中，正確的命題是 6如圖為某三角函數(shù)圖象的一段（1）用正弦函數(shù)寫(xiě)出其中一個(gè)解析式；-3（2）求與這個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱的函數(shù)解析 式，并作出它在0，內(nèi)的簡(jiǎn)圖。解：（1）由圖它過(guò)（為其中一個(gè)值） 所以（2）是所求函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為該點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以即所求函數(shù)解析式為7如圖，函數(shù)，xR,(其中)的圖象與y軸交于點(diǎn)（0，1）. ()求的值；()設(shè)P是圖象上的最高點(diǎn)，M、N是圖象與x軸的交點(diǎn)，求余弦。值解：（I）因?yàn)楹瘮?shù)圖像過(guò)點(diǎn)，所以即因?yàn)?，所?（II）由函數(shù)及其圖像，得所以從而8.已知函數(shù)的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn) ，將圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的，然后將所得圖象向左平移一個(gè)單位得到的圖象，若方程的所有正根依次成為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，求 的解析式。 解：原函數(shù)可化為（其中為輔助角，滿足， ），因?yàn)槭撬淖畹忘c(diǎn)，所以 解得 1所以 按題給變換后得方程的的正根就是直線與的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，它們成等差數(shù)列，即與相