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文檔簡介

1、1,定義1,內(nèi)積,第一節(jié) 向量的內(nèi)積、長度及正交性,第五章 相似矩陣及二次型,2,內(nèi)積的運算性質(zhì),(5) 施瓦茨(Schwarz)不等式,3,定義2,令,向量長度的性質(zhì)：,向量的長度及性質(zhì),4,（3）三角不等式,證明：,由施瓦茨不等式可知,則,所以,5,解,單位向量,夾角,單位向量及n維向量間的夾角,例,6,當 時 ,稱為 n 維向量 x 與 y 的夾角 .,故,其中 是 和 的夾角.,x 到 y 的標量投影,x 到 y 的向量投影,7, 正交的概念, 正交向量組的概念,正交,一組兩兩正交的非零向量，稱為正交向量組,正交向量組的概念及求法,注 ：零向量與任何同維的向量都正交 .,8,證明, 正

2、交向量組的性質(zhì),定理1,9,例1 已知三維向量空間中兩個向量,正交，試求 使 構(gòu)成三維空間的一個正交 基., 向量空間的正交基,10,即,解之得,由上可知 構(gòu)成三 維空間的一個正交基.,解,11,定義3,說明,單位向量,兩兩正交,是 的一個規(guī)范正交基 .,規(guī)范正交基也不唯一 !,12,例如,分析：,所以 是 的一個規(guī)范正交基 .,13,說明,因而向量空間取基時常取規(guī)范正交基。,14,設(shè) 是向量空間 V 的一個基 .,問題：求 V 的一個規(guī)范正交基 .,使得 與 等價 .,我們稱這個問題為：,把基 規(guī)范正交化 .,5 求規(guī)范正交基的方法,15,幾何解釋,為 在 上的投影向量 ,令 為 在 上的投

3、影向量 ,令 為 在 上的投影向量 ,則,已知,則,16,（1）正交化,若 為向量空間 V 的一個基 ,令,且與 等價 .,施密特正 交化過程,17,（2）單位化,取,那么 為 的一個規(guī)范正交基 .,18,解 先正交化，,取,19,再單位化，,得規(guī)范正交向量組如下,20,例,解,21,再把它們單位化，取,22,例,解,23,把基礎(chǔ)解系正交化，即合所求亦即取,證明,定義4,定理,為正交矩陣的充要條件是 的列(行)向量 都是單位向量且兩兩正交,正交矩陣與正交變換,25,則 也是正交陣 ,(2) 若 A , B 為正交矩陣 ,則 AB 也是正交陣 .,26,例5,解,27,例6 判別下列矩陣是否為正交陣,解,所以它不是正交矩陣,考察矩陣的第一列和第二列，,由于,28,所以它是正交矩陣,由于,29,性質(zhì) 正交變換保持向量的長度不變,證明,定義5 若 為正交陣，則線性變換 稱為正 交變換,30,1 將一組基規(guī)范正交化的方法： 先用施密特正交化方法將基正交化，然后再將 其單位化,小

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