1、“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)微分方程的建立非線性微分方程的線性化拉普拉斯變換傳遞函數(shù) 動態(tài)結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)典型反饋系統(tǒng)的幾種傳遞函數(shù)12018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型關(guān)于系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)基本概念系統(tǒng) 相互聯(lián)系又相互作用著的對象之間的有機(jī)組合。靜態(tài)系統(tǒng)(static systems)/穩(wěn)態(tài)系統(tǒng) 當(dāng)前輸出僅由當(dāng)前的輸入所決定的系統(tǒng)。(靜態(tài)方程或方程組)動態(tài)系統(tǒng)(dynamic systems) 當(dāng)前輸出不僅由當(dāng)前輸入決定，而且還受到過去輸入的影響的系統(tǒng)(系統(tǒng)內(nèi)部有儲能或/和耗能元件，所以輸出對輸

2、入表現(xiàn)出一定的運(yùn)動慣性)。本課程研究的主要對象。 (微分方程或微分方程組)數(shù)學(xué)模型(mathematical models) 描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。描述系統(tǒng)運(yùn)動規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。分析和設(shè)計(jì)任何一個(gè)控制系統(tǒng)，首要任務(wù)是建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。一旦系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型被推導(dǎo)出來，就可以采用各種分析方法和計(jì)算機(jī)工具對系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合。22018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 建模modeling建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程，即用數(shù)學(xué)模型來表示系統(tǒng)的輸入與輸出之間的因果關(guān)系的過程。也是尋求系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的過程。 建立數(shù)學(xué)模型的方法分為解析(anal

3、ytical)法和實(shí)驗(yàn)(experimental)法解析法：依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理、化學(xué)定律列寫出變量間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。實(shí)驗(yàn)法：對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號（階躍信號，單位脈沖信號，正弦信號等），根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng)，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(identify)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。32018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型線性定常系統(tǒng)(linear time-invariant systems)系統(tǒng)參數(shù)是集中、定常(時(shí)不變)、描述系統(tǒng)的動力學(xué)模型是線性的(方程中各變量之間是代數(shù)相加關(guān)系，包含變量的每一項(xiàng)的系數(shù)均與其它變量無關(guān))，這種系統(tǒng)就是

4、線性定常系統(tǒng)。對線性定常系統(tǒng)的分析可以采用疊加原理。非線性系統(tǒng)(nonlinear systems)時(shí)變系統(tǒng)(time-variant systems)線性定常動態(tài)系統(tǒng)是經(jīng)典控制理論研究的主要對象。42018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型形式1. 輸人一輸出描述(外部描述)把系統(tǒng)的輸出量與輸入量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來。例如，微分方程式(或差分方程)、傳遞函數(shù)、脈沖過渡函數(shù)(脈沖響應(yīng)函數(shù))、頻率特性等。2. 狀態(tài)變量描述(內(nèi)部描述)不僅可以描述系統(tǒng)的輸入、輸出之間的關(guān)系，而且還可以描述 系統(tǒng)的內(nèi)部特性，特別適用于多輸入、多輸出系統(tǒng)，也適用于時(shí)變 系

5、統(tǒng)、線性系統(tǒng)和隨機(jī)控制系統(tǒng)，等等。包括狀態(tài)方程和輸出方程。3. 圖形化描述：方框(塊)圖模型(動態(tài)結(jié)構(gòu)圖)、信號流圖用比較直觀的方框圖來進(jìn)行描述，每個(gè)方塊表示組成系統(tǒng)的一個(gè)具體單元，有向線段表示信號的流向。信號流圖與方框圖本質(zhì)上相同。52018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型從另一角度來分，系統(tǒng)模型可分為：微分方程(時(shí)域)傳遞函數(shù)(復(fù)域/頻域)同一控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可以表示為不同的形式，需要根據(jù)不同情況對這些模型進(jìn)行取舍，以利于對控制系統(tǒng)進(jìn)行有效的分析。本課程中所采用的數(shù)學(xué)模型以微分方程、傳遞函數(shù)及方框圖為主。狀態(tài)空間模型是現(xiàn)代控制理論的內(nèi)容。本章先介紹建立微分

6、方程的一般方法和步驟，然后介紹傳遞函數(shù)、脈沖過渡函數(shù)、系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖。62018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1 控制系統(tǒng)微分方程的建立基本步驟：1)分析各元件工作原理,確定各變量之間關(guān)系，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出變量；2)建立輸入、輸出量的動態(tài)聯(lián)系：即從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列出各變量之間的量化關(guān)系(一般為一個(gè)一階微分方程組)；3)消去中間變量，得到整個(gè)系統(tǒng)的輸入、輸出變量之間的微分方程。4)標(biāo)準(zhǔn)化微分方程(包括降階、線性化等)72018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型820

7、18年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型92018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型F(t)ky(t)Mf102018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型比較上述兩個(gè)具有不同物理背景的系統(tǒng)，可以看出，二者具有形式相同的數(shù)學(xué)模型。112018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2非線性微分方程的線性化在實(shí)際工程中，構(gòu)成系統(tǒng)的元件都具有不同程度的非線性，如下圖所示。122018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型于是，建立的動態(tài)方程就是非線性微分方程，對其求

8、解有諸多困難，因此，對非線性問題做線性化確有必要。 對弱非線性的線性化如圖(a)，當(dāng)輸入信號很小時(shí)，忽略非線性影響，近似為放大特性。對(b)和(c)，當(dāng)死區(qū)或間隙很小時(shí)(相對于輸入信號)，同樣忽略其影響，也近似為放大特性，如圖中虛線所示。圖(d)所示的非線性為強(qiáng)非線性，只能用第七章中的方法進(jìn)行分析、處理。132018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 平衡位置附近的小偏差線性化若輸入和輸出關(guān)系為如下所示的非線性:142018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型152018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型162

9、018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)預(yù)備知識:拉普拉斯變換(Laplace Transform)對于利用微分方程表達(dá)的數(shù)學(xué)模型形式，手工求解是很麻煩的。 利用拉普拉斯變換，可將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，使求解大為簡化。另外，在此基礎(chǔ)上，可以進(jìn)一步得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，即下面將要介 紹的描述系統(tǒng)輸入輸出特性的數(shù)學(xué)模型，也是古典控制理論的基本工 具。通常，利用拉氏變換求解系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)的步驟如下：(1)(2)(3)(4)獲得系統(tǒng)的常微分方程；獲得該常微分方程的拉普拉斯變換； 求得系統(tǒng)輸出變量的拉普拉斯變換； 求系統(tǒng)輸出變量的拉氏逆變換。下面對拉氏變換作一簡單介紹

10、。172018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型一、拉普拉斯變換定義182018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型192018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、拉普拉斯變換對照表在掌握了求拉普拉斯變換的方法以后，并不需要每次都去推導(dǎo)所求函數(shù)的拉普拉斯變換，通常可以利用拉普拉斯變換表得到給定函數(shù)的拉氏 變換。常用函數(shù)的拉普拉斯變換對照表參見：董景新，趙長德，熊沈蜀，郭美鳳. 控制工程基礎(chǔ). 清華大學(xué)，2003.8 (第二版)的附錄A。下面是一些常用的、必須牢記的Laplace變換對。202018年10月5

11、日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型212018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型三、拉氏變換的性質(zhì)222018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型232018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型242018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型252018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型262018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型四、拉氏逆變換(反變換)272018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控

12、制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型五、用拉氏變換解線性定常微分方程282018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型書后習(xí)題2-12-4。292018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.3 傳遞函數(shù)(Transfer function)一、傳遞函數(shù)的概念及定義在控制理論中，為了描述線性定常系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，最常用的函數(shù)是所謂的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的概念只適用于線性系統(tǒng)。線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：系統(tǒng)初始條件為零時(shí)(輸入、輸出量自身及其各階導(dǎo)數(shù)在初始時(shí)刻的值均為零，即系統(tǒng)在初始時(shí)刻是靜止的)，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)輸入量拉氏變換之比。G (s )

13、= Y (s )X(s)Y(s)X (s )302018年10月5日星期五G(s)“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型312018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型二、微分方程及傳遞函數(shù)之間一一對應(yīng)322018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型332018年10月5日星期五“自動控制原理”第二章 自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型三、關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明：1) 傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)，否則無法用拉氏變換導(dǎo)出；2) 傳遞函數(shù)完全取決于系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)、參數(shù)，而與輸入、輸出無關(guān)。傳遞函數(shù)表達(dá)了系統(tǒng)本身的特性。它用系統(tǒng)參數(shù)來表示系統(tǒng)輸入與輸出之間 關(guān)系。它不能表明系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相 同的傳遞函數(shù)。這是用黑箱法對系統(tǒng)進(jìn)行描述的一種方式。也稱作I/O描述、外部描述、等價(jià)描述。3) 傳遞函數(shù)只表明一個(gè)特定的輸入、輸出關(guān)系，對于多輸入、多輸出系統(tǒng) 來說沒有統(tǒng)一的傳遞函數(shù)；（可定義傳遞函數(shù)矩陣，見第九章。）4) 傳遞函數(shù)是關(guān)于復(fù)變量s的有理真分式，即它的分子、分母的階次滿足： nm，因?yàn)槿魏挝锢硐到y(tǒng)的能量有限，內(nèi)部存在摩擦，具有慣性。5) 一定的傳遞函數(shù)有一定的零、極點(diǎn)分布圖與之對應(yīng)。這將在第四章根軌 跡中詳述。6) 傳遞函數(shù)