1、數(shù)列新定義習題（2010湖南卷理15）若數(shù)列滿足：對任意的，只有有限個正整數(shù)使得成立，記這樣的的個數(shù)為，則得到一個新數(shù)列例如，若數(shù)列是，則數(shù)列是已知對任意的，則 ， 【答案】2，【解析】因為，而，所以m=1,2,所以2.所以1, 4，9，16，猜想【命題意圖】本題以數(shù)列為背景，通過新定義考察學生的自學能力、創(chuàng)新能力、探究能力，屬難題。3、對數(shù)列，如果及，使成立，其中，則稱為階遞歸數(shù)列給出下列三個結(jié)論： 若是等比數(shù)列，則為階遞歸數(shù)列； 若是等差數(shù)列，則為階遞歸數(shù)列； 若數(shù)列的通項公式為，則為階遞歸數(shù)列其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）A B. C. D.7、已知線段AB上有10個確定的點（包括端點A與

2、B）現(xiàn)對這些點進行往返標數(shù)（從AB AB進行標數(shù)，遇到同方向點不夠數(shù)時就“調(diào)頭”往回數(shù)）如圖：在點A上標1，稱為點1，然后從點1開始數(shù)到第二個數(shù)，標上2，稱為點2，再從點2開始數(shù)到第三個數(shù)，標上3，稱為點3（標上數(shù)n的點稱為點n），這樣一直繼續(xù)下去，直到1，2，3，2012都被標記到點上則點2012上的所有標數(shù)中，最小的是 313、若正整數(shù)，稱為N的一個“分解積”，（1）當N分別等于6,7,8時，它們的 “分解積”的最大值分別為 （2）當N=3m+1（）時，它的 “分解積”的最大值為 （1） 9；12；18 （2）14、若或，則稱為和的一個位排列對于，將排列記為；將排列記為；依此類推，直至對于

3、排列和，它們對應位置數(shù)字相同的個數(shù)減去對應位置數(shù)字不同的個數(shù)，叫做和的相關(guān)值，記作例如，則， 若，則稱為最佳排列 （）寫出所有的最佳排列 ； （）若某個是正整數(shù)為最佳排列，則排列中的個數(shù) 14、解：（）最佳排列為， （） 或，得， ， 因為 ，所以 與每個有個對應位置數(shù)碼相同，有個對應位置數(shù)碼不同，因此有， ，以上各式求和得， 另一方面，還可以這樣求和：設中有個，個，則所以 解得或 所以排列中的個數(shù)是或 17、若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“平方遞推數(shù)列”已知數(shù)列中，點()在函數(shù)的圖像上，其中n 為正整數(shù)（）證明數(shù)列是“平方遞推數(shù)列”，且數(shù)列為等比數(shù)列；（）設（）中“平方遞推數(shù)列”的前n項之積為，即

4、，求數(shù)列的通項及關(guān)于的表達式；（）記 ，求數(shù)列的前項和，并求使的的最小值解：（I）因為 所以數(shù)列是“平方遞推數(shù)列” . -2分 由以上結(jié)論， 所以數(shù)列為首項是公比為2的等比數(shù)列. （II）， . ， . （III） . . 21、已知數(shù)列滿足，且當時，令（）寫出的所有可能的值；（）求的最大值；（）是否存在數(shù)列，使得？若存在，求出數(shù)列；若不存在，說明理由解:（）由題設，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：（1）此時；（2）此時；（3）此時；（4）此時；（5）此時；（6）此時； 所以，的所有可能的值為：， （）由， 可設，則或（，），因為，所以 因為，所以，且為奇數(shù)，是由 個1和個構(gòu)成的數(shù)列 所以 則當?shù)那绊椚?，后項取時最大，此時證明如下：假設的前項中恰有項取，則的后項中恰有項取，其中， ，所以 所以的最