1、投入產(chǎn)出模型的假定與性質(zhì),線性生產(chǎn)模型的一般性質(zhì) 列昂惕夫體系的技術(shù)假定 解的存在性和產(chǎn)出系統(tǒng)的均衡 投入產(chǎn)出優(yōu)化模型,線性生產(chǎn)模型的一般性質(zhì),參考文獻(xiàn)： 有關(guān)“經(jīng)濟(jì)活動分析”可參考那本著名的庫普曼斯主編的生產(chǎn)與配置的活動分析（Koopmans, T.C.，1951） 以及他的關(guān)于經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)狀的三篇論文（中譯本1992） 對線性模型進(jìn)行分析的一部經(jīng)典薩繆爾遜、索洛、多夫曼的線性規(guī)劃與經(jīng)濟(jì)分析（Dorfman, R., Samuelson, P.A. and Solow, R.M., 1958）， 蓋爾的線性經(jīng)濟(jì)模型理論（Gale, D., 1960） 后兩本中前者偏重經(jīng)濟(jì)理論，而后者偏重?cái)?shù)學(xué)。,

2、線性生產(chǎn)模型及其矩陣表述,在經(jīng)濟(jì)活動分析中，線性生產(chǎn)模型被表述為 對于m個產(chǎn)品 和n個活動 的生產(chǎn) 可以由生產(chǎn)矩陣 來表示 其中的元素 如為正就表示生產(chǎn)過程 在單位活動水平上所生產(chǎn)的 產(chǎn)品的產(chǎn)出量，如為負(fù)則表示生產(chǎn)過程單位活動水平上所需的 產(chǎn)品的投入量。,生產(chǎn)矩陣可描述如下,活動水平 如果 生產(chǎn)過程的投入與產(chǎn)出量為 就稱 生產(chǎn)過程以水平或密度（level or inensity） 運(yùn)行。 這時， 就表示 種產(chǎn)品的產(chǎn)出量（如果為正），或投入量（如果為負(fù)）。,單一生產(chǎn)與聯(lián)合生產(chǎn) 線性生產(chǎn)模型中按照一個生產(chǎn)過程有單個產(chǎn)出還是同時有多個產(chǎn)出，區(qū)分為單一生產(chǎn)和聯(lián)合生產(chǎn)。 簡單線性生產(chǎn)模型（simple

3、linear production model）與一般線性生產(chǎn)模型（general linear production model） 以單一生產(chǎn)和聯(lián)合生產(chǎn)為主要特征，把線性生產(chǎn)分為簡單線性生產(chǎn)模型和一般線性生產(chǎn)模型。,簡單線性生產(chǎn)模型是一般線性生產(chǎn)模型的一個特例，它假定： 假定1：每個活動 只生產(chǎn)一個產(chǎn)品 也就是假定生產(chǎn)過程不存在聯(lián)產(chǎn)品（joint production）和副產(chǎn)品（by-products）。這時矩陣A每列只有一個正值，其他為0或?yàn)樨?fù)。 假定2：每一產(chǎn)品 由一個且唯一一個生產(chǎn)過程 來生產(chǎn) 這一假定意味著生產(chǎn)過程數(shù)等于產(chǎn)品數(shù)，每一生產(chǎn)過程都可以由它唯一的產(chǎn)品來表示，生產(chǎn)矩陣A成為方

4、陣，生產(chǎn)系統(tǒng)成為方陣系統(tǒng)。,以上兩個假定表明所謂簡單線性生產(chǎn)模型，就是單一生產(chǎn)的方陣系統(tǒng)。 在這一假定下，我們可以將生產(chǎn)矩陣A轉(zhuǎn)化為投入系數(shù)矩陣，我們?nèi)砸訟表示。 這時A的元素 表示為第 個生產(chǎn)過程為生產(chǎn)一個單位總產(chǎn)品所需要的對第 種產(chǎn)品的投入需求。這就是投入產(chǎn)出的直接消耗系數(shù)。,經(jīng)過這一轉(zhuǎn)換，新的系數(shù)矩陣A成為非負(fù)矩陣，所帶來的一個好處就是可以直接運(yùn)用數(shù)學(xué)上的非負(fù)矩陣?yán)碚搧韺ιa(chǎn)模型的性質(zhì)進(jìn)行分析。,這時的生產(chǎn)矩陣可描述為（特點(diǎn)：系數(shù)為正，方陣系統(tǒng)。 ）：,簡單線性生產(chǎn)模型的生產(chǎn)性,生產(chǎn)性或有效性（productive or viable） 在線性生產(chǎn)系統(tǒng)中，系統(tǒng)產(chǎn)出能否超過投入的需求從而能

5、夠維持自身體系的再生產(chǎn)，如果可以的話稱該生產(chǎn)體系具有生產(chǎn)性或有效性。,簡單線性模型的生產(chǎn)性可定義為： 定義：對于簡單線性生產(chǎn)模型中的投入系數(shù)A，如果存在非負(fù)向量 ，使 成立，那么就稱以矩陣A為技術(shù)的生產(chǎn)體系是生產(chǎn)性的，同時也直接稱技術(shù)系數(shù)A為生產(chǎn)性的。,從生產(chǎn)性出發(fā)，簡單線性生產(chǎn)模型的一個關(guān)鍵性質(zhì)是： 如果這一模型是生產(chǎn)性的，也就是如果可以生產(chǎn)單位凈產(chǎn)出，那么該體系就可以生產(chǎn)任何需要數(shù)量的凈產(chǎn)出。 這一性質(zhì)可以表示為如下定理（以下定理和推論的證明參見Gale, D., 1960, pp296-97）：,定理1： 如果矩陣A是生產(chǎn)性的，那么對于任何向量 ，方程 存在唯一非0解。 該定理有兩個推論

6、： 推論1：如果A是生產(chǎn)性的，那么I-A是正則的（滿秩的或非退化的） 推論2：矩陣A是生產(chǎn)性的，當(dāng)且僅當(dāng) 是非負(fù)的。,列昂惕夫模型,簡單線性生產(chǎn)模型的生產(chǎn)性指出它可以生產(chǎn)出任何所需數(shù)量的凈產(chǎn)出，然而這里隱含了一個條件，就是給定足夠多的時間。 但是這一點(diǎn)在列昂惕夫體系看來與現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)相比顯然不夠真實(shí)。在一定時間里，必然受到生產(chǎn)能力的限制，而無法達(dá)到任何想要有的凈產(chǎn)出。在投入產(chǎn)出模型中進(jìn)一步把這種生產(chǎn)能力的限制歸結(jié)為初始投入限制。 生產(chǎn)的限制來自兩個方面：技術(shù)與有限的資源,所謂初始投入產(chǎn)品是指具有這樣兩個性質(zhì)的產(chǎn)品： 其一，它們不是模型中任何活動的產(chǎn)出； 其二，它們的數(shù)量是有限的。 簡單投入產(chǎn)出模型

7、（simple Leontief model）假定在它的簡單線性生產(chǎn)模型中勞動是唯一的初始投入要素。,對應(yīng)簡單投入產(chǎn)出模型，一般投入產(chǎn)出模型（general Leontief model）指其他條件不變，只是假定一個產(chǎn)品可以由多個生產(chǎn)過程，或技術(shù)來生產(chǎn)。 這樣生產(chǎn)過程數(shù)會大于產(chǎn)品數(shù)。但是，由薩繆爾遜等人所提出的替代定理表明，在Leontief體系中，這種一般投入產(chǎn)出模型并不比簡單投入產(chǎn)出模型增添任何信息。,替代定理表述如下： 定理：如果一般投入產(chǎn)出模型是生產(chǎn)性的，其中對于第 個產(chǎn)品的生產(chǎn)存在 個生產(chǎn)過程 ，那么從這些活動中所構(gòu)成的簡單投入產(chǎn)出模型與一般模型有同樣的產(chǎn)出空間。,替代定理表明了投入

8、產(chǎn)出系統(tǒng)的技術(shù)性質(zhì)，在另一個方面我們可以討論該體系的價格關(guān)系。 對于簡單投入產(chǎn)出系統(tǒng)，由于勞動作為初始投入的引入，價格由生產(chǎn)投入的各個成本構(gòu)成，即 ，表示價格由各種中間投入和初始投入勞動價值所構(gòu)成。,列昂惕夫體系的技術(shù)假定,從一個簡單的兩部門投入產(chǎn)出系統(tǒng)開始，這一系統(tǒng)可以表述如下：,從投入角度我們有生產(chǎn)函數(shù)： X1=f (x11, x21, x01) X2=g (x12, x22, x02) 從行向上有： x11 + x12 + C1 = X1 x21 + x22 + C2 = X2 x01 + x02 = X0,投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)同樣具有生產(chǎn)函數(shù)的一般技術(shù)假定，即： 規(guī)模報酬不變 規(guī)模收益不變

9、是所有投入增加多少倍，產(chǎn)出也增加相同的倍數(shù)。從生產(chǎn)函數(shù)的性質(zhì)上來說就是一次齊次函數(shù)。 邊際收益遞減 假定等產(chǎn)量線具有凸性，也就假定當(dāng)其他投入相對固定的情況下，某個要素投入的增加存在邊際收益遞減,列昂惕夫?yàn)橥度氘a(chǎn)出函數(shù)增加了一項(xiàng)新的假定固定系數(shù)假定。 對于只有勞動和資本兩種投入的生產(chǎn)來說，固定系數(shù)假定是指任一特定的產(chǎn)量水平需要特定的勞動和資本組合，只有按相同比例增加勞動和資本的投入，才能增加產(chǎn)量，等產(chǎn)量線呈L型。,在固定系數(shù)假定下，令 為每單位j 產(chǎn)品的產(chǎn)出所需要i產(chǎn)品的最少投入（i = 0,1,2, j = 1,2），則有：,對于上述列昂惕夫型生產(chǎn)函數(shù)： 對每個自變量同乘一個常數(shù)，則對應(yīng)的總產(chǎn)

10、出也乘同一個常數(shù)，函數(shù)關(guān)系仍然成立，因此仍保持規(guī)模收益不變的性質(zhì)； 等產(chǎn)量呈直角并仍然保持凸性，從而邊際收益收益遞減的假定依然成立。,投入產(chǎn)出生產(chǎn)函數(shù)就是建立在這種各種要素投入比例在一定時期內(nèi)相對固定這一假定基礎(chǔ)上 如果這種比例改變了，那么生產(chǎn)函數(shù)本身也就發(fā)生了改變。 如圖所表明的，從OA表示的生產(chǎn)函數(shù)到新的虛線OB表示的生產(chǎn)函數(shù)發(fā)生了轉(zhuǎn)變。,對于我們最初的投入產(chǎn)出函數(shù)的例子，把每種投入占總投入的比例構(gòu)成一個系數(shù)矩陣A： 該矩陣A成為投入產(chǎn)出模型的核心要素，反映經(jīng)濟(jì)技術(shù)狀態(tài)，即投入產(chǎn)出技術(shù)系數(shù)。,解的存在性和產(chǎn)出系統(tǒng)的均衡,投入產(chǎn)出模型是由線性方程所構(gòu)成的，投入產(chǎn)出模型的求解過程就是求解線性方

11、程的過程 也就是對于線性方程組AX+C=X，已知最終需求C和消耗系數(shù)A，求解總產(chǎn)出X,解存在的條件：霍金斯西蒙（Hawkins-Simon）條件,要使解存在并具有經(jīng)濟(jì)意義，它必須滿足下列條件： 第一個條件是投入系數(shù)a11和a22必須小于1 從經(jīng)濟(jì)上來說就是對本行業(yè)內(nèi)產(chǎn)品的需求要小于本行業(yè)的產(chǎn)出 這一點(diǎn)比較容易理解，投入大于產(chǎn)出就沒有必要生產(chǎn)了，這時凈產(chǎn)出率（1- a11）和（1- a22）為負(fù)，不具有經(jīng)濟(jì)意義 從圖形上看，（1- a11）和（1- a22）大于0時，L1和L2的截距為正，斜率也為正，從而處于第一象限。,第二個條件是不僅要求L1和L2同時處于第一象限，還要求兩者相交，即：L2的斜率要小于L1的斜率。它的數(shù)學(xué)形式是： 或是 這兩個條件就是投入產(chǎn)出函數(shù)解存在的條件，因?yàn)樽钤缬苫艚鹚购臀髅桑℉awkins, D.& Simon, H. A. (1949)pp245-248）兩位學(xué)者所提出，又稱為霍金斯西蒙（H-S）條件。,Hawkins, D. and H.A.Simon