1、22 隨機變量的數(shù)字特征,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,四、數(shù)學期望的性質(zhì),五、隨機變量的方差,六、隨機變量的矩與切比雪夫不等式,我們已經(jīng)知道，分布函數(shù)（或概率分布、密度函數(shù)）全面地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。 但是無論從理論或者應用的角度來看，從某些方面粗線條地描述隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律仍是十分必要的。 首先，全面地反映與描述沒有突出重點； 其次，在實際應用中要全部掌握一個隨機變量的分布也是困難的。事實上，只要能了解幾個充分反映出分布特點的數(shù)值指標就夠用了。這些數(shù)值指標就是隨機變量的數(shù)字特征，它們是本節(jié)要討論的主要內(nèi)容。 隨機變量有許多數(shù)字

2、特征，我們主要介紹數(shù)學期望、方差和相關系數(shù)，它們分別表示隨機變量一切可能值的集中位置、集中和分散的程度以及隨機變量之間相依的程度。 ,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,引例 觀察一名射手20次射擊的成績?nèi)缦?當試驗次數(shù)加大時 頻率fi的穩(wěn)定值就是概率pi 相應地 平均,評價射手的射擊水平的“平均中靶環(huán)數(shù)” 為,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,若離散型隨機變量X的概率分布為 PXxipi i1 2 則當,定義26(數(shù)學期望),設 X 是離散型隨機變量，其概率分布為,若級數(shù),絕對收斂，則稱該級數(shù)的和為隨機變量,X 的數(shù)學期望（mathematical expectation）,（或均值（mean val

3、ue），記作EX,若級數(shù),不是絕對收斂，即,則稱隨機變量 X 的數(shù)學期望不存在。,隨機變量 X 的數(shù)學期望反映了 X 取值的平均值，它由,分布完全決定。當分布給定時，數(shù)學期望為一數(shù)值（常數(shù)）。,我們假定級數(shù)絕對收斂就保證了級數(shù)的和與求和的次序無關,例29 設盒中有5個球 其中兩個白球 3個黑球 從中隨意抽取3個球 記X為抽取到的白球數(shù) 求EX,X的可能取值為0 1 2 而且根據(jù)古典概型計算 有,解,于是,離散型隨機變量的數(shù)學期望,提示,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f(x)只在有限區(qū)間a b上取不為零的值 把區(qū)間a b進行分割 ax0 x1 xn1b 將X近似地看成

4、是取值為x0 x1 xn的離散型隨機變量 此時,分析,當分點越來越密時 近似會越來越好 令各小區(qū)間長度趨于0 則有,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)f(x)只在有限區(qū)間a b上取不為零的值 把區(qū)間a b進行分割 ax0 x1 xn1b 將X近似地看成是取值為x0 x1 xn的離散型隨機變量 此時,分析,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,定義 27(數(shù)學期望),若X為連續(xù)型隨機變量 f(x)為其密度函數(shù) 如果,解,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,例:設 X 服從均勻分布，即XUa，b，試求 X,解 均勻分布 XUa，b的密度函數(shù)為：,的數(shù)學期望。,均勻分布的數(shù)學期望，正好是區(qū)間a

5、， b的中點。,故有：,解,顯然EX存在 且,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,定理21,例 212 設X的概率分布如下表 求E(XEX)2,根據(jù)例29 EX12 于是根據(jù)定理21(1)有,解,036,根據(jù)例211 EX1 于是由定理21(2)有,解,四、數(shù)學期望的性質(zhì),性質(zhì)1 對任意常數(shù)a 有Eaa 性質(zhì)2 設a1 a2為任意實數(shù) g1(x) g2(x)為任意實函數(shù) 如果Eg1(X) Eg2(X)均存在 則 Ea1g1(X)a2g2(X)a1Eg1(X)a2Eg2(X) (223),例214 設EX EX 2均存在 證明 E(XEX)2EX 2(EX)2 (225),EX

6、2(EX)2,EX 22EXEX(EX)2,EX 22XEX(EX)2,E(XEX)2,因為(XEX)2X 22XEX(EX)2,證明,于是由(223)得,性質(zhì)3 如果EX存在 則對任意實數(shù)a 有 E(Xa)EXa (224),應用舉例 設某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間10，30上均勻分布的隨機變量,而經(jīng)銷商店的進貨數(shù)量為10，30中的某一整數(shù)，商店每銷售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價處理，每處理一單位商品虧損100元；若供不應求，則可從外部調(diào)劑供應，此時每一單位商品僅獲利300元。為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，試確定最少進貨量。,解 設進貨量為 a，10 a 30，且

7、用 Y 表示利潤，則,顯然 Y 為 X 的函數(shù)，記Yf（X）， 從而期望利潤為,為使商店所獲利潤期望值不少于9280元，有：,即：,解不等式得：,最少進貨量為 21 單位。,平均抗拉強度都是126,若最低抗拉強度要求為110，,第二批質(zhì)量較差。,在平均值或期望值相同的情況下，,隨機變量的離散程度也是分布的一個特征。,引 例 有兩批鋼筋，每批10根，它們的抗拉強度指標如下：,說明,五、隨機變量的方差,定義28(方差) 設X為一個隨機變量 其數(shù)學期望EX存在 如果E(XEX)2也存在 則稱E(XEX)2為隨機變量X的方差 記作D(X)或DX,XEX稱為X的離差,一個隨機變量的方差 粗略地講 反映隨

8、機變量偏離數(shù)學期望的平均偏離程度,五、隨機變量的方差,定義28(方差) 設X為一個隨機變量 其數(shù)學期望EX存在 如果E(XEX)2也存在 則稱E(XEX)2為隨機變量X的方差 記作D(X)或DX,(1)設離散型隨機變量X的概率分布為PXxipi i12,方差的計算,(2)設連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x) 則,(3)計算方差的常用公式為,方差的性質(zhì),設X的方差DX存在 a為任意常數(shù) 則 (1) Da0 (229) (2) D(Xa)DX (230) (3) D(aX)a2DX (231),例 215 設X的概率分布如下表 已知EX12 求DX,DXEX 2(EX)2,解,18(12)2,0

9、36,解,因為EX1 且,從而,例217 X為一隨機變量 方差存在 令 l(C)E(XC)2 (232) 證明 當且僅當CEX時 l(C)達到最小值 此時最小值為DX,顯然 當且僅當CEX時 最后一個不等式的等號成立 故l(C)在CEX時達到最小值 且最小值為DX,證明,l(C)E(XC)2E(XEX)(EXC)2,E(XEX)22(XEX)(EXC)(EXC)2,E(XEX)2(EXC)2,E(XEX)2DX,兩種方案的預期收益相同。,第二種方案風險更大。,應用舉例,六、隨機變量的矩與切比雪夫不等式,定義29(原點矩) X為一隨機變量 k為正整數(shù) 如果EX k存在(即E|X|k) 則稱EX k為X的k階原點矩 稱E|X|k為X的k階絕對矩,定義210(中心矩) X為一隨機變量 k為正整數(shù) 如果EX k存在 則稱E(XEX)k為X的k階中心矩 稱E|XEX|k為X的k階絕對中心矩,定理22 隨機變量X的t階矩存在 則其s階矩(0st)也存在,推論 設k為正整數(shù) C為常數(shù) 如果EX k存在 則E(XC)k存在 特別地 E(XEX)k存