1、第四講 等差數(shù)列一、知識點：1、數(shù)列：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做項，第一項稱為首項，最后一項稱為末項。數(shù)列中共有的項的個數(shù)叫做項數(shù)。2、等差數(shù)列與公差：一個數(shù)列，從第二項起，每一項與與它前一項的差都相等，這樣的數(shù)列的叫做等差數(shù)列，其中相鄰兩項的差叫做公差。3、常用公式 等差數(shù)列的總和=（首項+末項）項數(shù)2 項數(shù)=（末項-首項）公差+1 末項=首項+公差（項數(shù)-1） 首項=末項-公差（項數(shù)-1） 公差=（末項-首項）（項數(shù)-1） 等差數(shù)列（奇數(shù)個數(shù)）的總和=中間項項數(shù)二、典例剖析：例（1） 在數(shù)列3、6、9，201中，共有多少數(shù)？如果繼續(xù)寫下去，第201個數(shù)是多少？分

2、析： （1）因為在這個等差數(shù)列中，首項=3，末項=201，公差=3，所以根據(jù)公式： 項數(shù)=（末項-首項）公差+1,便可求出。（2）根據(jù)公式：末項=首項+公差（項數(shù)-1）解： 項數(shù)=（201-3）3+1=67末項=3+3（201-1）=603答：共有67個數(shù)，第201個數(shù)是603練一練：在等差數(shù)列中4、10、16、22、中，第48項是多少？508是這個數(shù)列的第幾項？答案: 第48項是286，508是第85項例（2 ）全部三位數(shù)的和是多少？分析：所有的三位數(shù)就是從100999共900個數(shù)，觀察100、101、102、998、999這 一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一個公差為1的等差數(shù)列。要求和可以利用等差數(shù)列求

3、和公式來解答。解： （100+999）9002 =答：全部三位數(shù)的和是。練一練：求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。 答案: 1000例（3）求自然數(shù)中被10除余1的所有兩位數(shù)的和。分析一：在兩位數(shù)中，被10除余1最小的是11，最大的是91。從題意可知，本題是求等差數(shù)列11、21、31、91的和。它的項數(shù)是9，我們可以根據(jù)求和公式來計算。解一： 11+21+31+91 =（11+91）92 =459分析二：根據(jù)求和公式得出等差數(shù)列11、21、31、91的和是459，我們可以求得這9個數(shù)的平均數(shù)是4599=51，而51恰好是這個等差數(shù)列的第五項，即中間的一項(稱作中項)，

4、由此我們又可得到S=中項n，但只能是項數(shù)是奇數(shù)時，等差數(shù)列有中項，才能用中項公式計算。解二：11+21+31+91 =519 =459 答：和是459。練一練：求不超過500的所有被11整除的自然數(shù)的和。答案: 11385 例（4） 求下列方陣中所有各數(shù)的和： 1、2、3、4、49、50； 2、3、4、5、50、51； 3、4、5、6、51、52； 49、50、51、52、97、98；50、51、52、53、98、99。 分析一：這個方陣的每一橫行（或豎行）都各是一個等差數(shù)列，可先分別求出每一橫行（或豎行）數(shù)列之和，再求出這個方陣的和。 解一： 每一橫行數(shù)列之和： 第一行：（1+50）502=

5、1275 第二行：（2+51）502=1325 第三行：（3+51）502=1375 第四十九行：（49+98）502=3675 第五十行：（50+99）502=3725 方陣所有數(shù)之和： 1275+1325+1375+3675+3725 =（1275+3725）502 =分析二：觀察每一橫行可以看出，從第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先將第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的數(shù)，這樣也能求得這個方陣所有數(shù)的和。 解二：（1+50）50250=63750 50（1+2+3+49） =50【（1+49）492】 =61250 63750+61250= 答：這個方陣的和是練一練：

6、求下列方陣中100個數(shù)的和。 0、1、2、3、8、9； 1、2、3、4、9、10； 2、3、4、5、10、11； 9、10、11、12、17、18。答案: 900 例（5）班級男生進行扳手腕比賽，每個參賽男生都要和其他參賽選手扳一次。若一共扳了105次，那么共有多少男生參加了這項比賽?分析：設共有幾個選手參加比賽，分別是A、A2、A3 A、An 。從A開始按順序分析比賽場次： A必須和 A2 、A3、A4、，An逐一比賽1場，共計（n-1）場；A2已和A賽過，他只需要和A 3、A4 、A5 、An各賽1場，共計（n-2）場A 3已和A A2賽過、他只需要和A4、 A5、 A6、An 、各賽1場

7、，共計（n-3）場。以此類推，最后An-1只能和An賽1場 解： Sn=（n-1）+（n-2）+2+1 =（1+n-1）（n-1） =n(n-1)（場）根據(jù)題意，Sn=105(場)，則n（n-1）=210，因為n是正整數(shù)，通過試算法，可知1514=210. 則n=15,即共有15個男生參加了比賽。答：有15個男生參加了比賽。練一練： 從1到50這50個連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？答案： 625種例（6）若干人圍成16圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)圈人數(shù)依次少6人，如果共有912人，問最外圈有多少人？最內(nèi)圈有多少人？分析：從已知條件912人圍成16圈，一圈套一圈，從外

8、到內(nèi)各圈依次減少6人，也就是告訴我們這個等差數(shù)列的和是912，項數(shù)是16，公差是6。題目要求的是等差數(shù)列末項 a- a=d(n-1)=6(16-1)=90(人)解： a+a=S2n=114（人）外圈人數(shù)=（90+114）2=102（人）內(nèi)圈人數(shù)=（114-90）2=12（人） 答： 最外圈有102人，最內(nèi)圈有12人。練一練：若干人圍成8圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少4人，如果共有304人，最外圈有幾人？ 答案： 52人 模擬測試（ 4 ）一、填空題 （每小題5分）1、有一串數(shù)，已知第一個數(shù)是6，而后面的每一個數(shù)都比它前面的數(shù)大4，這串數(shù)中第2003個數(shù)是 。2、等差數(shù)列0、3、6、9、

9、12、45是這個數(shù)列的第 項。從2開始的連續(xù)100個偶數(shù)的和是 。3、一個劇院共有25排座位，從第一排起，以后每排都比前一排多2個座位，第25排有70個座位，這個劇院共有 個座位。4、所有5、除以4余1的三位數(shù)的和是 。6、時鐘在每個整點敲該鐘點數(shù)，每半點鐘敲一下，一晝夜這個時鐘一共敲 下。7、一個五層書架共放了600本書，已知下面一層都比上面一層多10本書。最上面一層放 本書，最下面一層放 本書。8、從200到500之間能被7整除的各數(shù)之和是 。9、在1949、1950、1951、1987、1988、這40個自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多 。10、有一列數(shù)：1、2002、2001、1

10、、2000、1999、1、從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減去小數(shù)的差，從第一個數(shù)開始到第2002個數(shù)為止這2002個數(shù)的和是 。二、簡答題 (每小題10分)1、有10只金子，54個乒乓球，能不能把54個乒乓球放進盒子中去，使各盒子的乒乓球數(shù)不相等？2、小明家住在一條胡同里，胡同里的門牌號從1號開始摸著排下去。小明將全胡同的門牌號數(shù)進行口算求和，結果誤把1看成10，得到錯誤的結果為114，那么實際上全胡同有多少家？3、有一堆粗細均勻的圓木，堆成如下圖的形狀，最上面一層有7根園木，每面下層增加1根，最下面一層有95根，問：這堆圓木一共有多少根？ 4、有一個六邊形點陣，如下圖，它的中心

11、是一個點，算做第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點這個六邊形點陣共100層，問，這個點陣共有多少個點？ 5、X+Y+Z=1993有多少組正整數(shù)解？模擬測試（ 4 ） 解答一、填空題 1、8014 6+4（2003-1）=6+42002=80142、16 （45-0）3+1=453+1=16 3、10100末項=2+（100+1）2=200和=（2+200）1002=10100 4. 1150 a=70-(25-1) 2=22(個)總座位數(shù)：（22+70）252=1150（個） 5、 所有除以4余1的三位數(shù)為：101、105、109、997。 項數(shù)：（997-101）4+1=225和：

12、（101+997）2252= 6、180（1+12）12+124 =1312+24 =180（下） 7、100、140中間一層本數(shù)：6005=120（本）最上面一層：12-102=100（本）最下面一層：120+12=140（本） 8、15050構成等差數(shù)列為：203、210、497。項數(shù)=（497-203）7+1=43數(shù)列和=（203+497）432=15050 9、20（1950+1988）202-（1949+1987）202 =- =39380-39360 =2010、 在原數(shù)列中，以數(shù)1為標志，把三個數(shù)看成一組，20023=6671，其中2001個數(shù)分為667組，有667個1，因為余下

13、的一個數(shù)恰為1，則2002個數(shù)中有668個1，其余的數(shù)是2002則669有1334個數(shù)。 6681+（2002+669）13342 =668+ = 二、簡答題 1、解： 答：題中要求辦不到。2、解：誤把1看成10，錯誤結果比正確結果多10-1=9，那么正確結果為114-9=105，即全胡同門牌號組成的數(shù)列求和為105 設全胡同有n家，此數(shù)列為1、2、3、n。 數(shù)列求和：（1+n）n2=105 （1+n）n=210 將210分解：210=2357 =1415 則n為14 答：全胡同實際有14家。3、解： 7+95=102（根） 95-7+1=89（層） =4539（根） 答：這堆圓木一共有4539根。4、解：第100層有點：6+（99-1）6 =6+986 =699 =594（個） 點陣只有點： 1+（6+594）992 =1+