1、第一章 基本初等函數(shù)2 指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì) 一、學習目標1.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義.2.能借助計算器或計算機畫出指數(shù)函數(shù)的圖象.3.初步掌握指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)二、知識梳理1指數(shù)函數(shù)的定義一般地，函數(shù)yax(a0，且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.2指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1圖象性質(zhì)定義域R，值域(0，)圖象過定點(0,1)，即x0時，y1當x0時，y1；當x0時，0y1當x0時，0y1；當x0時，y1在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)三、典型例題知識點一指數(shù)函數(shù)的概念例1給出下列函數(shù)：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指數(shù)函數(shù)的個數(shù)是()A0 B1

2、C2 D4答案B解析中，3x的系數(shù)是2，故不是指數(shù)函數(shù)；中，y3x1的指數(shù)是x1，不是自變量x，故不是指數(shù)函數(shù)；中，3x的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有3x一項，故是指數(shù)函數(shù)；中，yx3的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù)中，底數(shù)20，不是指數(shù)函數(shù)規(guī)律方法1.指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1.2求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a，并注意a的限制條件跟蹤演練1若函數(shù)y(43a)x是指數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為_答案a|a，且a1解析y(43a)x是指數(shù)函數(shù)，需滿足：解得a且a1.故a的取值范圍為a|a，且a

3、1知識點二指數(shù)函數(shù)的圖象例2如圖是指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是()Aab1cd Bba1dcC1abcd Dab1dc答案B解析方法一在y軸的右側(cè)，指數(shù)函數(shù)的圖象由下到上，底數(shù)依次增大由指數(shù)函數(shù)圖象的升降，知cd1，ba1.ba1dc.方法二作直線x1，與四個圖象分別交于A、B、C、D四點，由于x1代入各個函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)的大小，所以四個交點的縱坐標越大，則底數(shù)越大，由圖可知ba1dc.故選B.規(guī)律方法1.無論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象與直線x1相交于點(1，a)，由圖象可知：在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)

4、的底數(shù)由小變大2處理指數(shù)函數(shù)的圖象：抓住特殊點，指數(shù)函數(shù)圖象過點(0,1)；巧用圖象平移變換；注意函數(shù)單調(diào)性的影響跟蹤演練2(1)函數(shù)y|2x2|的圖象是()(2)直線y2a與函數(shù)y|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個公共點，則a的取值范圍是_答案(1)B(2)0a解析(1)y2x2的圖象是由y2x的圖象向下平移2個單位長度得到的，故y|2x2|的圖象是由y2x2的圖象在x軸上方的部分不變，下方部分對折到x軸的上方得到的(2)當a1時，在同一坐標系中作出函數(shù)y2a和y|ax1|的圖象(如圖(1)由圖象可知兩函數(shù)圖象只能有一個公共點，此時無解當0a1，作出函數(shù)y2a和y|ax1|的圖象(如圖(2

5、)若直線y2a與函數(shù)y|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個交點，由圖象可知02a1，所以0a.知識點三指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域例3求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y；(2)y；(3)y.解(1)由x40，得x4，故y的定義域為x|xR，且x4又0，即1，故y的值域為y|y0，且y1(2)由12x0，得2x1，x0，y的定義域為(，0由02x1，得12x0，012x1，y的值域為0,1)(3)y的定義域為R.x22x3(x1)244，416.又0，故函數(shù)y的值域為(0,16規(guī)律方法對于yaf(x)(a0，且a1)這類函數(shù)，(1)定義域是使f(x)有意義的x的取值范圍；(2)值域問題，應(yīng)分以下兩步

6、求解：由定義域求出uf(x)的值域；利用指數(shù)函數(shù)yau的單調(diào)性求得此函數(shù)的值域跟蹤演練3(1)函數(shù)f(x)的定義域為()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)函數(shù)f(x)x1，x1,2的值域為_答案(1)A(2)，2解析(1)由題意，自變量x應(yīng)滿足解得3x0.(2)1x2，x3，x12，值域為.四、課堂練習1下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()Ay(3)x By3xCy3x1 Dyx答案D解析由指數(shù)函數(shù)的定義知a0且a1，故選D.2yx的圖象可能是()答案C解析01且過點(0,1)，故選C.3y2x，x1，)的值域是()A1，) B2，)C0，) D(0，)答案B解析y

7、2x在R上是增函數(shù)，且212，故選B.4函數(shù)f(x)ax的圖象經(jīng)過點(2,4)，則f(3)的值是_答案解析由題意知4a2，所以a2，因此f(x)2x，故f(3)23.5函數(shù)yx21的值域是_答案(0,2解析x211，y12，又y0，函數(shù)值域為(0,21.指數(shù)函數(shù)的定義域為(，)，值域為(0，)，且f(0)1.2當a1時，a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快當0a1時，a的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快五、鞏固練習1y2x1的定義域是()A(，) B(1，)C1，) D(0,1)(1，)答案A解析不管x取何值，函數(shù)式都有意義，故選A.2已知集合M1,1，N，則MN 等于()A1,1

8、B1 C0 D1,0答案B解析2x14，212x122，1x12，2x1.又xZ，x0或x1，即N0，1，MN13函數(shù)y2x1的圖象是()答案A解析當x0時，y2，且函數(shù)單調(diào)遞增，故選A.4當x2,2)時，y3x1的值域是()A(，8 B，8C(，9) D，9答案A解析y3x1，x2,2)上是減函數(shù)，321y321，即y8.5指數(shù)函數(shù)y(2a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案1a2解析由題意可知，02a1，即1a2.6函數(shù)yax51(a0)的圖象必經(jīng)過點_答案(5,2)解析指數(shù)函數(shù)的圖象必過點(0,1)，即a01，由此變形得a5512，所以所求函數(shù)圖象必過點(5,2)7已知函數(shù)f(

9、x)ax1(x0)的圖象經(jīng)過點(2，)，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函數(shù)yf(x)(x0)的值域解(1)f(x)的圖象過點(2，)，a21，則a.(2)由(1)知，f(x)()x1，x0.由x0，得x11，于是0()x1()12，所以函數(shù)yf(x)(x0)的值域為(0,28函數(shù)y5|x|的圖象是()答案D解析當x0時，y5|x|5x()x，又原函數(shù)為偶函數(shù)，故選D.9已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實數(shù)a的值等于()A3 B1 C1 D3答案A解析依題意，f(a)f(1)212，2x0，a0，f(a)a12，故a3，選A.10方程|2x1|a有唯一實數(shù)解，則a的取值范圍是_答案a|a1，或a0解析作出y|2x1|的圖象，如圖，要使直線ya與圖象的交點只有一個，a1或a0.11求函數(shù)y()x22x2(0x3)的值域解令tx22x2，則y()t，又tx22x2(x1)21，0x3，當x1時，tmin1，當x3時，tmax5.故1t5，()5y()1，故所求函數(shù)的值域，12函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大，求a的值解若a1，則f(x)是增函數(shù)，f(x)在1,2上的最大值為f(2)，最小值為f(1)f(2)f(1)，即a2a.解得a.若0a1，則f(x)是減函數(shù)，f(x)在1,2上的最大值為f(1)，最小值為