1、2021新亮劍高考總復(fù)習(xí)推理與證明、算法初步與復(fù)數(shù)第十一章第1節(jié)合情推理與演繹推理1磨劍課前自學(xué)目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學(xué)高考動(dòng)態(tài)拓展知識(shí)知識(shí)查缺補(bǔ)漏磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講目 錄4最新考綱考向分析1. 了解合情推理的含義,能進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納推理和類(lèi)比推理,體會(huì)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2. 了解演繹推理的含義,了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和差異;掌握演繹推理的“三段論”,能運(yùn)用 “三段論”進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的演繹推理合情推理與演繹推理中,單獨(dú)命題的情況很少,我們?cè)诮忸}過(guò)程中常用的類(lèi)比方法有平面圖形與立體圖形的類(lèi)比,解題方法的類(lèi)比等,在近幾年高考中案例推理考查較多高考動(dòng)

2、態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄一、合5類(lèi)型定義特點(diǎn)歸納推理根據(jù)一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某種特征,推出這類(lèi)事物的 全部 對(duì)象都具有這種特征的推理由 部分 到 整理 ,由個(gè)別到 一般類(lèi)比推理由兩類(lèi)對(duì)象具有某些類(lèi)似特征和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征,推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理由 特 殊 到 特 殊高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄二、演繹推理1. 定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到 特殊 的推理.2. “三段論”是演繹推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的 一般原理;(2)小前提所研究的特殊 情況;(3)結(jié)論根據(jù)一般原理,對(duì)

3、特殊情況做出的判斷.6高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄歸納推理的一般步驟:(1) 通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì);(2) 從相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題. 7高考動(dòng)態(tài)知識(shí)拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏目 錄拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)【概念辨析】判斷下列結(jié)論的正誤.(對(duì)的打“”,錯(cuò)的打“”)(1) 歸納推理與類(lèi)比推理都是由特殊到一般的推理.(2) 在類(lèi)比時(shí),平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類(lèi)比對(duì)象較為合適.( )(3)“所有 3 的倍數(shù)都是 9 的倍數(shù),若數(shù) m 是 3 的倍數(shù),則 m 一定是 9 的倍數(shù)”,這是三段論推理,但其結(jié)論是錯(cuò)誤的.()(4)在演繹推理中,只要符合演繹推理的形式

4、,結(jié)論就一定正確.()答案解析8目 錄拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)解析(2) 錯(cuò)誤.類(lèi)比時(shí),平面中的三角(3) 正確.3 的倍數(shù)不一定是 9 的倍數(shù),大前提錯(cuò)誤,故(4) 錯(cuò)誤.演繹推理未必正確.目 錄拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)【基礎(chǔ)自測(cè)】1.由“半徑為 R 的圓的內(nèi)接矩形中,正方形的面積最大”,推出“半徑為 R 的球的內(nèi)接長(zhǎng)方體中,正方體的體積最大”是(A.歸納推理C.演繹推理B).B.類(lèi)比推理D.以上都不是解析類(lèi)比推理的一般步驟是:(1)找出兩類(lèi)事物之間的相似性或一致性;(2)用一類(lèi)事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想).所以由“半徑為 R 的圓的內(nèi)接矩形中,正方形

5、的面積最大”,推理出“半徑為 R 的球的內(nèi)接長(zhǎng)方體中,正方體的體積最大”是類(lèi)比推理.答案解析10目 錄拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)2.已知數(shù)列an中,a1=1,當(dāng) n2 時(shí),an=an-1+2n-1,依次計(jì)算 a2,a3,a4 后,猜想 an 的表達(dá)式是(A.an=3n-1 C.an=n2C).B.an=4n-3D.an=3n-1解析依題意得 a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想 an=n2.答案解析11目 錄拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)13.“因?yàn)橹笖?shù)函數(shù) y=ax 是增函數(shù)(大前提),而 y=是指數(shù)函數(shù)(小前31提),所以函數(shù) y=是增函數(shù)(結(jié)論)”,上面推理的錯(cuò)誤在于().A3

6、A. 大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤B. 小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤解析“指數(shù)函數(shù) y=ax 是增函數(shù)”是本推理的大前提,它是錯(cuò)誤的,導(dǎo)致結(jié)論是錯(cuò)誤的.答案解析12目 錄拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)【易錯(cuò)檢測(cè)】4.甲、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò) A,B,C 三個(gè)城市時(shí), 甲說(shuō):“我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò) B 城市.”乙說(shuō):“我沒(méi)去過(guò) C 城市.”丙說(shuō):“我們?nèi)巳ミ^(guò)同一城市”.由此可判斷乙去過(guò)的城市為 A.解析由題意可推斷,甲沒(méi)去過(guò) B 城市,但比乙去的城市多,又三人去過(guò)同一城答案市,說(shuō)明甲去過(guò) A,C 城市,而乙沒(méi)去過(guò) C 城市,說(shuō)明

7、乙去過(guò) A 城市.由此可知,乙去過(guò)的城市為 A.解析13目 錄拓展知識(shí)查缺補(bǔ)漏高考動(dòng)態(tài)知識(shí)5.在平面幾何中,ABC 中ACB 的角平分線 CE 分 AB 所成線段的比為=.把這個(gè)結(jié)論類(lèi)比到空間,在三棱錐 A-BCD 中(如圖),平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且與 AB 相交=于 E,則得到類(lèi)比的結(jié)論是.解析由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的比可得 = .答案解析1415目 錄悟劍課堂精講考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題磨劍課前自學(xué)悟劍課堂精講.目 錄考點(diǎn) 1歸納推理考向 1:數(shù)字(式子)的歸納例 1 (1)將石子擺成如圖所示的梯形形狀,稱數(shù)列 5,9,14,20,為“梯形數(shù)列”.根據(jù)圖形的構(gòu)

8、成,此數(shù)列的第 2016 項(xiàng)為(D).A.10082016C.10102016B.10092016D.10102017(2)把正整數(shù)排列成如圖甲所示的三角形數(shù)陣,然后擦去第偶數(shù)行中的奇數(shù)和第奇數(shù)行中的偶數(shù),得到如圖乙所示的三角形數(shù)陣,再把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成 一列,得到一個(gè)數(shù)列an,若 an=2015,則 n=1030答案解析16考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄有 2+3+4+(n+2)=(+4)(+1)解析(1)由給出的 3 個(gè)圖形可知,第 n 個(gè)圖形2點(diǎn),因此數(shù)列的第 2016 項(xiàng)為20202017=10102017.2(2)圖乙中第 k 行有 k 個(gè)數(shù),第 k 行最后的一個(gè)數(shù)為

9、k2,前 k 行共有(+1)個(gè)數(shù).2由 4444=1936,4545=2025 知 an=2015 出現(xiàn)在第 45 行,第 45 行第一個(gè)數(shù)為 1937又2015-1937+1=40,則第 45 行第 40 個(gè)數(shù)為 2015,2所以 n=44(44+1)+40=990+40=1030.217考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄考向 2:圖形的歸納例 2 如圖,圖、圖、圖、圖分別包含 1,5,13 和 25 個(gè)互不重疊的單位正方形,按同樣的方式構(gòu)造圖形,則第 n 個(gè)圖包含的單位正方形的個(gè)數(shù)是(C).A.n2-2n+1C.2n2-2n+1B.2n2+2D.2n2-n+1分析根據(jù)圖、圖、圖、圖分別包含 1

10、,5,13 和 25 個(gè)互不重疊的單位正方形,尋找規(guī)律,結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),求和得出結(jié)論.解析設(shè)第 n 個(gè)圖包含 an 個(gè)互不重疊的單位正方形,圖、圖、圖、圖分別包含 1,5,13 和 25 個(gè)互不重疊的單位正方形,a1=1,a2=5=1+4=1+41,a3=13=1+4+8=1+4(1+2),a4=25=1+4+8+12=1+4(1+2+3),答案解析由此類(lèi)推可得,an=1+41+2+3+(n-1)=1+4(-1)=2n2-2n+1,經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件.218考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄方法總結(jié)：1.數(shù)的歸納包括數(shù)字歸納和式子歸納,解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),需要細(xì)心觀察,尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系,

11、同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí),如等差數(shù)列、等比 數(shù)列等.2.形的歸納主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納,合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?19考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄【針對(duì)訓(xùn)練 1】1.有一個(gè)奇數(shù)組成的數(shù)陣排列如下:則第 30 行從左到右第 3 個(gè)數(shù)是 .解析觀察每一行的第一個(gè)數(shù),由歸納推理可得第 30 行的第 1 個(gè)數(shù)是1+4+6+8+10+60=30(2+60)-1=929.又第 n 行從左到右的第 2 個(gè)數(shù)比第 1 個(gè)數(shù)大22n,第 3 個(gè)數(shù)比第 2 個(gè)數(shù)大 2n+2,所以第 30 行從左到右的第 2 個(gè)數(shù)比第 1 個(gè)數(shù)大 60,第3 個(gè)數(shù)比第 2 個(gè)數(shù)大

12、 62,故第 30 行從左到右第 3 個(gè)數(shù)是 929+60+62=1051.答案解析20考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄2.如圖,第 n 個(gè)圖形是由正 n+2 邊形“擴(kuò)展”而來(lái)(nN*),則第 n-有n(n+1) 個(gè)頂點(diǎn).2(n3,nN*)解析由已知中的圖形我們可以得到,當(dāng) n=1 時(shí),頂點(diǎn)共有 12=34(個(gè)),當(dāng) n=2 時(shí),頂點(diǎn)共有 20=45(個(gè)), 當(dāng) n=3 時(shí),頂點(diǎn)共有 30=56(個(gè)), 當(dāng) n=4 時(shí),頂點(diǎn)共有 42=67(個(gè)),由此我們可以推斷第 n 個(gè)圖形共有頂點(diǎn)(n+2)(n+3)個(gè), 所以第 n-2 個(gè)圖形共有頂點(diǎn) n(n+1)個(gè).答案解析21考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目

13、 錄考點(diǎn) 2類(lèi)比推理例 3 設(shè)ABC 的三邊長(zhǎng)分別為 a、b、c,ABC 的面積為 S,內(nèi)切圓半徑為 r,則 r= 2.+類(lèi)比這個(gè)結(jié)論,可知若四面體 P-ABC 的四個(gè)面的面積分別為 S1、S2、S3、S4,內(nèi)切球的半徑為 r,四面體 P-ABC 的體積為 V,則 r=(C).B. 234A.C.D.1 +2 +3+41 +2 +3+41+2+3 +41 +2 +3+4解析將ABC 的三條邊長(zhǎng) a、b、c,類(lèi)比四面體 P-ABC 的四個(gè)面的面積 S1、S2、S3S4,將三角形面積公式中的系數(shù)1,類(lèi)比三棱錐體積公式中的系數(shù)1,從而可知選 C.23證明如下:以四面體各面為底,內(nèi)切球球心 O 為頂點(diǎn)

14、的各三棱錐體積的和為 V,答案V=1S1r+1S2r+1S3r+1S4r,r=3.33331 +2+3+4解析22考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄方法總結(jié)：類(lèi)比推理的分類(lèi):23考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄【針對(duì)訓(xùn)已知命題:在平面直角B 在橢圓上,頂點(diǎn) A,C 分別為橢圓的左、右焦2命題類(lèi)比到雙曲線中,設(shè)雙曲線的方程為 2 2 -2 =1(a0,b0),A |= 頂點(diǎn) A,C 分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn),雙曲線的離心率為 e,則解析在雙曲線中,設(shè)ABC 的外接圓的半徑為 R,則|AB|=2Rsin C,|AC|=2RsinB,|BC|=2Rsin A,則由雙曲線的定義得 |-| =2a,|AC|=

15、2c,則雙曲線的離心率答案e= = |= sin ,即|sin -sin |=1.|-|sin -sin |sin 解析24考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄考點(diǎn)3演繹推理例 4 數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和記為 Sn,已知 a1=1,an+1=+2Sn(nN*).證明:(1)數(shù)列 是等比數(shù)列;(2)Sn+1=4an.從條件和結(jié)論入手尋找三段論,有時(shí)前一個(gè)三段論的結(jié)論是后一個(gè)三段論的條件.分析解析(1)an+1=Sn+1-Sn,an+1=+2Sn,(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即 nSn+1=2(n+1)Sn. +1=2 ,又1 =10,(小前提)+11故是以 1 為首項(xiàng),2 為公比的等比數(shù)列

16、.(結(jié)論)(大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了)(2)由(1)可知 +1=4 -1(n2),Sn+1=4(n+1) -1=4-1+2Sn-1=4an(n2),(小前提)-1-1-1+1又 a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提)對(duì)于任意正整數(shù) n,都有 Sn+1=4an.(結(jié)論)(第(2)問(wèn)的大前提是第(1)問(wèn)的結(jié)論以及題中的已知條件)解析25考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄方法總結(jié)：演繹推理的一般模式為三段論,三段論推理的依據(jù)是:如果集合 M 的所有元素都具有性質(zhì) P,S 是 M 的子集,那么 S 中的所有元素都具有性質(zhì) P.應(yīng)用三段論解決問(wèn)題時(shí),首先應(yīng)該明確什么是大

17、前提,小前提,然后再找結(jié)論.26考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄【針對(duì)訓(xùn)練1.下列三句話按“三段論”模式排列By=cos x(xR)是三角函數(shù);三角函數(shù)是周期函數(shù);y=A.B.C.D.解析“三角函數(shù)是周期函數(shù)”是大前提,“y=cos x(xR)是三角函數(shù)”是小前提,“y=cos x(xR)是周期函數(shù)”是結(jié)論,故選 B.答案解析27考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄2.某國(guó)家流傳這樣的一個(gè)政治笑話:“鵝吃白菜,參議員先生也吃白菜,所以參議員先生是鵝.”結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的,是因?yàn)?A.大前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤C).B.小前提錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤解析大前提“鵝吃白菜”本身正確,小前提“參議員先生也吃白菜”

18、本身也正確,但不是大前提下的特殊情況,鵝與人不能類(lèi)比,所以不符合三段論推理形式,所以推理形式錯(cuò)誤.答案解析28考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄邏輯推理演繹推理中的創(chuàng)新問(wèn)題與演繹推理有關(guān)的新定義問(wèn)題是高考命制創(chuàng)新型試題的一個(gè)熱點(diǎn),解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí),一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義及符號(hào)語(yǔ)言,緊扣題目所給定義,結(jié)合題目的要求進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,注意推理過(guò)程的嚴(yán)密性.29考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄例一個(gè)二元碼是由 0 和 1 組成的數(shù)字串 x1x2xn(nN*),其中 xk(k=1,2,n)稱為第 k位碼元.二元碼是通信中常用的碼,但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤(即碼元由 0 變?yōu)?1或者由 1 變?yōu)?0)

19、.已知某種二元碼 x1x2x7 的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組: 7 = 0, 7 = 0, 7 = 0.4 21 5 3 3 6 6 5答案解析其中運(yùn)算定義為:00=0,01=1,10=1,11=0.現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第 k 位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了 1101101,那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定 k 等于 5.30考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析因?yàn)?x4x5x6x7=1101=001=01=10,所以二元碼 1101101的前 3 位碼元都是對(duì)的;因?yàn)?x2x3x6x7=1001=101=11=0,所以二元碼 1101101 的第 6、7 位碼元也是對(duì)的;因?yàn)?x1x3x5x7

20、=1011=111=01=10,所以二元碼 1101101 的第 5 位碼元是錯(cuò)誤的,所以 k=5.31考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄【突破訓(xùn)練】在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中,對(duì)于點(diǎn) A(a,b),若函數(shù) f(x)滿足xa-1,a+1,都有 yb-1,b+1,就稱這個(gè)函數(shù)是點(diǎn) A 的“限定函數(shù)”.給出以下函數(shù):y=1x,y=2x2+1,2y=sin x,y=ln(x+2).其中是原點(diǎn) O 的“限定函數(shù)”的是 .解析-1,1,要判斷是否是原點(diǎn) O 的“限定函數(shù)”,只要判斷x-1,1,是否都有 y對(duì)于,y=1x,由 x-1,1可得 y - 1 , 1 -1,1,則是;222答案對(duì)于,y=2x2+1

21、,由 x-1,1可得 y1,3-1,1,則不是;對(duì)于,y=sin x,由 x-1,1可得 y-sin 1,sin 1-1,1,則是;對(duì)于,y=ln(x+2),由 x-1,1可得 y0,ln 3-1,1,則不是.解析32考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄1.(2019 年全國(guó)卷)在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后,甲、乙、丙三人對(duì)成績(jī)進(jìn)行預(yù)測(cè)甲:我的成績(jī)比乙高.乙:丙的成績(jī)比我和甲的都高. 丙:我的成績(jī)比乙高.成績(jī)公布后,三人成績(jī)互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確,那么三人按成績(jī)由高到低的次序?yàn)?A.甲、乙、丙C.丙、乙、甲).AB.乙、甲、丙D.甲、丙、乙答案解析33考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄解析若甲預(yù)測(cè)正確

22、,則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,則甲比乙成績(jī)高,丙比乙成績(jī)低,故 3 人成績(jī)由高到低依次為甲,乙,丙;若乙預(yù)測(cè)正確,則丙預(yù)測(cè)也正確,不符合題意;若丙預(yù)測(cè)正確,則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤,丙比乙的成績(jī)高,乙比甲成績(jī)高,即丙比甲,乙成績(jī)都高,即乙預(yù)測(cè)正確,不符合題意.34考點(diǎn)探究素養(yǎng)達(dá)成高考真題目 錄2.(2019 年全國(guó)卷)古希臘時(shí)期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是 5-1 5-1 0.618,稱為黃金分割比例 ,著名的“斷臂維22納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之比也是 5-1.若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例,且腿長(zhǎng)為 105 cm,頭頂至脖子下端2的長(zhǎng)度為 26 cm,則其身高可能是(B ).A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190 cm解析設(shè)人體脖子下端至肚臍的長(zhǎng)為 x cm,