1、第五章 分析力學(xué)解題指導(dǎo)在前面各章都是按“牛頓方式”研究力學(xué)問(wèn)題，即為矢量力學(xué)。它和分析力學(xué)在觀點(diǎn)和方法上都有區(qū)別。矢量力學(xué)所牽涉到的量大都是矢量。力和動(dòng)量是它的兩個(gè)基本量；而分析力學(xué)是拉格朗日和哈密頓等人所建立的變分原理為基礎(chǔ)的，牽涉到的量為標(biāo)量，基本量是能量。搞清矢量理學(xué)與分析力學(xué)的主要區(qū)別，對(duì)解決分析力學(xué)有關(guān)問(wèn)題大有好處。我們將其主要區(qū)別歸納如下：1、處理有關(guān)約束問(wèn)題時(shí)：在矢量力學(xué)中須用約束力代替約束條件，但往往由于約束力性質(zhì)未知，所以事先既要討論對(duì)它作出的某些假設(shè)，事后又常常要將它從方程中消去；分析力學(xué)在承認(rèn)這些條件的前提下進(jìn)行討論，而不追問(wèn)需要在何處用什么力來(lái)維持這些條件。這樣，解題

2、就會(huì)方便得多，這是分析力學(xué)的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)。2、在建立運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，在分析力學(xué)中可以根據(jù)統(tǒng)一的最小作用量原理求得。這樣又極值原理所得方程與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)。當(dāng)應(yīng)用矢量力學(xué)尋找加速度時(shí)，尤其在空間問(wèn)題中往往要用坐標(biāo)系或柱坐標(biāo)中的分量是去解題，這無(wú)疑給讀者會(huì)帶來(lái)一些困難，這也是在矢量力學(xué)中很少使用柱，球坐標(biāo)系的原因（除非迫不得已）；而在分析力學(xué)中這個(gè)困難就不復(fù)存在。3、在處理質(zhì)點(diǎn)組問(wèn)題時(shí)，矢量力學(xué)是將個(gè)別質(zhì)點(diǎn)孤立出來(lái)，分析每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力，再用牛頓定律建立它們的運(yùn)動(dòng)微分方程；而分析力學(xué)是將質(zhì)點(diǎn)組看成一個(gè)整體，只需求出一個(gè)僅與各質(zhì)點(diǎn)位置（速度）有關(guān)的標(biāo)函數(shù)。單憑微分便能獲得有關(guān)各力的知識(shí)，并得到整個(gè)質(zhì)點(diǎn)組的運(yùn)

3、動(dòng)微分方程。4、分析力學(xué)是以普通原理為基礎(chǔ)（微分或積分的方法），采用分析手段導(dǎo)出系統(tǒng)整體的基本運(yùn)動(dòng)微分方程，并研究這些方程本身及積分的方法，與數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián)更加緊密。因此，線性常微分方程組及非線性微分方程經(jīng)常會(huì)碰到，數(shù)學(xué)上求泛函數(shù)的極值方法則是分析力學(xué)中哈密頓原理的基礎(chǔ)了。所以，具有高等數(shù)學(xué)知識(shí)的讀者不難解決較復(fù)雜的力學(xué)問(wèn)題。為了能更具體理解分析力學(xué)的解體方法，現(xiàn)將分析力學(xué)內(nèi)容分五部分分別進(jìn)行敘述。解題方法和要點(diǎn)（一）虛功原理與達(dá)朗貝爾原理虛功原理是關(guān)于力學(xué)系統(tǒng)平衡的一個(gè)普通原理，解題方法一般歸納為：1、判別約束是否為理想約束；2、找出主動(dòng)力，及作用點(diǎn)；3、確定自由度，并選擇廣義坐標(biāo)；4、由廣義坐

4、標(biāo)和變換式把虛位移用廣義坐標(biāo)的變分來(lái)表示；5、由虛功原理寫出平衡方程，由于廣義坐標(biāo)的變分相互獨(dú)立，所以可以較方便的求解。達(dá)朗貝爾原理是力學(xué)體系動(dòng)力學(xué)的一個(gè)普通方程，它考慮的是運(yùn)動(dòng)而不是靜力學(xué)問(wèn)題。由“運(yùn)動(dòng)”學(xué)（主動(dòng)力；約束反力）變?yōu)槠胶忸愋瓦@樣把動(dòng)力學(xué)的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)殪o力學(xué)問(wèn)題處理，這就是著名的“動(dòng)靜法”。由于變?yōu)槠胶夥匠?，所以完全可按上述虛功原理方法解決有關(guān)問(wèn)題。虛功原理與達(dá)朗貝爾原理一起成為分析力學(xué)的最普遍原理的理論基礎(chǔ)。(二)拉格朗日方程（一般形式與保守系）作為力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，利用廣義坐標(biāo)從動(dòng)力學(xué)普遍方程推導(dǎo)出來(lái)的拉格朗日方程，對(duì)整個(gè)力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)統(tǒng)一而普遍的解法。拉氏方程是完

5、整理想的力學(xué)體系的最普遍的動(dòng)力學(xué)方程，它給解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題提供了一個(gè)高度統(tǒng)一而又概括的方法。這種表述及其方法，不僅在力學(xué)范疇有重要意義和實(shí)用價(jià)值，而且為研究近代物理提供了必須的物理思想和數(shù)學(xué)技巧。拉格朗日方程用高度統(tǒng)一規(guī)律描述了力學(xué)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，反映在：拉氏方程的形式不隨廣義坐標(biāo)的選擇而發(fā)生變化；對(duì)慣性系統(tǒng)和非慣性系，拉氏方程的形式都一樣；拉氏方程中的廣義坐標(biāo)、廣義速度、廣義動(dòng)量、廣義動(dòng)能都比牛頓力學(xué)中的坐標(biāo)、速度、力、動(dòng)量、動(dòng)能具有更普遍的意義。拉氏方程概括了質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)組、剛體各種運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。拉氏方程是從能的角度去研究問(wèn)題。當(dāng)系統(tǒng)的主動(dòng)力為保守力系時(shí)，拉氏函數(shù)成為力學(xué)體系的特征函

6、數(shù)；拉氏方程的個(gè)數(shù)與力學(xué)體系的約束條件有關(guān)。約束越多，方程數(shù)就越少，所以與牛頓力學(xué)比較，對(duì)多約束的力學(xué)體系，拉氏方程就愈能顯示出它的優(yōu)越性。但是拉氏方程的物理圖象不如牛頓力學(xué)直觀，這是它的不足之處。在應(yīng)用拉格朗日方程解題時(shí)一般方法是：1， 首先正確判斷力學(xué)體系的自由度，并選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)；。2， 判斷是否是保守力場(chǎng)，從而決定選用方程類別；是保守力場(chǎng)時(shí)采用，不是保守力場(chǎng)，或力場(chǎng)性質(zhì)不明及不易判斷情況下要采用一般形式的拉格朗日方程：3， 求出的速度一定要采用絕對(duì)速度。這是動(dòng)能表達(dá)式中所需要的。在保守系力場(chǎng)中，確定體系勢(shì)能時(shí)應(yīng)先確定零勢(shì)面。4， 按廣義坐標(biāo)建立個(gè)方程后，馬上檢查是否存在循環(huán)坐標(biāo)（拉

7、氏函數(shù)中不顯含某一廣義坐標(biāo)，此為循壞坐標(biāo)），馬上就可以寫出它的第一積分；5， 若采用一般形式的拉格朗日方程，就要求廣義力。廣義力的求法是： 按定義求：其中是作用在力學(xué)體系的第個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的主動(dòng)力，是第個(gè)指點(diǎn)的位矢。在完整系中，廣義力與廣義坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)，它們的個(gè)數(shù)都等于自由度數(shù)。廣義力還可以寫成：將坐標(biāo)變換式代入上式，計(jì)算后求得。 按虛功求：虛功原理用廣義力與廣義位移表示為：故僅給廣義坐標(biāo)中之一的變化，其余個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)不變，這樣可求得所有主動(dòng)力在相應(yīng)上所做元功之和。令則同理，可求出，或在約束條件許可下，彼此獨(dú)立。當(dāng)都不為零時(shí)，前的系數(shù)即為各廣義力。據(jù)題意讀者可選擇上述任一方法求出廣義力來(lái)。6， 檢查方程

8、數(shù)目是否與自由度相符，用高等數(shù)學(xué)知識(shí)解之。(三)哈密頓正則方程哈密頓把拉氏函數(shù)中的廣義速度用廣義動(dòng)量代替，并寫成，這樣做的目的是通過(guò)引入新函數(shù)的方法達(dá)到把個(gè)二階微分方程組降到個(gè)一階微分方程。雖然方程數(shù)目增加了一倍，但方程的階數(shù)卻從二階降到一階，因此簡(jiǎn)化了計(jì)算工作，而且為量子力學(xué)的應(yīng)用開(kāi)辟了方便之門。由于正則方程形式簡(jiǎn)單并且對(duì)稱，廣義動(dòng)量在物理學(xué)中的應(yīng)用又比廣義速度更重要，所以哈密頓正則方程被認(rèn)為是從經(jīng)典物理過(guò)渡到近代物理的最方便形式。應(yīng)用哈密頓正則方程建立力學(xué)體系運(yùn)動(dòng)微分方程的方法和基本步驟，建議按照下列順序進(jìn)行。1， 首先要判斷力學(xué)體系的約束類型，分析主動(dòng)力的性質(zhì)。只有力學(xué)系統(tǒng)具有完整、理想

9、約束，且為保守力系時(shí)才可以運(yùn)用正則方程；2， 確定自由度并選擇廣義坐標(biāo)；3， 寫出拉氏函數(shù)，并注意到零勢(shì)面的確定；4， 正確寫出力學(xué)體系的哈密頓函數(shù)；一般情況可采用兩種方法：采用勒讓德變換：在體系是穩(wěn)定的約束情況下：。正則方程存在廣義能量積分即，也就是說(shuō)，在穩(wěn)定約束時(shí)，哈密頓函數(shù)可以直接等于力學(xué)體系的動(dòng)能和勢(shì)能（總能量）。不管用哪種方法得到哈氏函數(shù)，都必須表示成廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量有時(shí)還含有時(shí)間的函數(shù)。否則，不符題意，從而導(dǎo)出錯(cuò)誤結(jié)論。體系是否為穩(wěn)定約束的判別，主要以判別體系的動(dòng)能是否是廣義速度的二次齊次函數(shù)為依據(jù)。若動(dòng)能是廣義速度的二次齊次式，則體系為穩(wěn)定的，即。當(dāng)動(dòng)能不是廣義速度的二次齊次式

10、，體系就不穩(wěn)定。5, 要注意是否存在廣義坐標(biāo)積分，如果存在循環(huán)坐標(biāo)，就可把與之對(duì)應(yīng)的動(dòng)量積分表示出來(lái)：；這時(shí)廣義動(dòng)量守恒，正則方程就存在廣義積分，即為哈密頓動(dòng)力學(xué)中廣義動(dòng)量守恒原理。這和拉氏函數(shù)中不含有某個(gè)廣義坐標(biāo)是完全等價(jià)的。又為循環(huán)坐標(biāo)。存在循環(huán)坐標(biāo)對(duì)問(wèn)題的求解將帶來(lái)方便。顯然，廣義動(dòng)量積分的多少與廣義坐標(biāo)的選擇有著密切的關(guān)系，而如何尋求更多的循環(huán)坐標(biāo)，則是一個(gè)重要的技巧問(wèn)題。6，將哈密頓函數(shù)代入正則方程中，經(jīng)過(guò)運(yùn)算、整理就得出力學(xué)體系的運(yùn)動(dòng)微分方程組。然后，檢查方程數(shù)是否符合個(gè)（四）哈密頓原理矢量力學(xué)中的基礎(chǔ)是牛頓運(yùn)動(dòng)方程；而哈密頓原理是和牛頓運(yùn)動(dòng)定律等價(jià)的原理，并且常常被用來(lái)推導(dǎo)其他的

11、原理、定律及方程，甚至牛頓定律也可以認(rèn)為是哈密頓原理的必然結(jié)果。所以，人們常常把拉格朗日函數(shù)對(duì)時(shí)間的積分求變分為完整系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)普通原理。即哈密頓原理的特殊價(jià)值，在于它使我們有了可以用同一的方式來(lái)處理不同物理領(lǐng)域的定律（力學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué).）。這就開(kāi)辟了極為廣闊的推廣范圍，可以說(shuō)只要能寫出拉格朗日函數(shù)就可以用哈密頓原理求出體系的運(yùn)動(dòng)方程。用哈密頓原理解題步驟是：1，判斷力學(xué)體系的約束類型，確定是否是保守力系？2，確定自由度并選擇廣義坐標(biāo)；3，寫出拉格朗日函數(shù)；動(dòng)能，勢(shì)能為廣義坐標(biāo)標(biāo)，廣義速度的函4，直接代入主函數(shù)中。5，對(duì)主函數(shù)求極值即求出力學(xué)體系的真實(shí)運(yùn)動(dòng)來(lái)。注意，這兒應(yīng)用的是等時(shí)變分的概念：6, 經(jīng)過(guò)運(yùn)算而得到運(yùn)動(dòng)微分方程。（五）正則變換正則變換理論是研究和求解力學(xué)問(wèn)題的一個(gè)有力工具。每當(dāng)直接積分運(yùn)動(dòng)微分方程有困難時(shí)，我們便可試圖引入彝族有利于解決問(wèn)題的新變量。也就是說(shuō)，井陘坐標(biāo)和動(dòng)量的變換，使新的哈密頓函數(shù)中能出現(xiàn)一些新的坐標(biāo)，從而可以很方便地直接積分。正則變換的解題關(guān)鍵，在于母函數(shù)的選擇，由于母函數(shù)的不同就可進(jìn)行不同形式的正則變換，其方法和步驟是：1，確定自由度，選擇廣義坐標(biāo)；2，寫出廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量為函數(shù)的哈密頓函數(shù)來(lái)3，選擇一個(gè)適當(dāng)?shù)哪负瘮?shù)來(lái)；4，利用所設(shè)母函數(shù)寫出正則變換方程：5，由得到新的哈氏函數(shù)6，按新變