1、立體幾何中的向量方法適用學(xué)科高中數(shù)學(xué)適用年級高中二年級適用區(qū)域通用課時時長（分鐘）90知識點用空間向量處理平行垂直問題；用空間向量處理夾角問題.教學(xué)目標(biāo)1. 理解直線的方向向量與平面的法向量；2. 能用向量語言表述線線、線面、面面的垂直、平行關(guān)系；3. 能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）4. 能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法的作用教學(xué)重點用向量方法解決立體幾何中的有關(guān)問題教學(xué)難點用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入空間平行垂直問題1兩條直線平行與垂直；直線與平面平行與垂直；兩個平面平行與垂直；空間夾角問題1

2、兩直線所成角；直線和平面所成角；二面角的概念；空間距離問題二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)（）空間向量的直角坐標(biāo)運算律：設(shè)，則， ， （2）若，則一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo)（3）模長公式：若， 則（4）夾角公式：（5）兩點間的距離公式：若，則三、知識講解考點1 平面法向量的求法在空間平面法向量的算法中，普遍采用的算法是設(shè)，它和平面內(nèi)的兩個不共線的向量垂直，數(shù)量積為0，建立兩個關(guān)于x,y,z的方程，再對其中一個變量根據(jù)需要取特殊值，即可得到法向量還有幾種求平面法向量的辦法也比較簡便求法一：先來看一個引理：若平面abc與空間直角坐標(biāo)系x軸、y軸、z軸的交點分別為a

3、(a，0，0)、b(0，b，0)、c(0，0，c)，定義三點分別在x軸、y軸、z軸上的坐標(biāo)值xa a， yb b， zc c（a,b,c均不為0），則平面abc的法向量為參數(shù)l 的值可根據(jù)實際需要選取證明： (a, b, 0), (a, 0, c), ,是平面abc的法向量這種方法非常簡便，但要注意幾個問題：（1）若平面和某個坐標(biāo)軸平行，則可看作是平面和該坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值為，法向量對應(yīng)于該軸的坐標(biāo)為0比如若和x軸平行（交點坐標(biāo)值為），和y軸、z軸交點坐標(biāo)值分別為b、c，則平面法向量為；若平面和x,y軸平行，和z軸交點的坐標(biāo)值為c，則平面法向量為（2）若平面過坐標(biāo)原點o，則可適當(dāng)平移平面求法二

4、：求出平面方程，得到法向量我們先求過點及以n為法向量的平面的方程設(shè)是平面上的動點，于是有n0，即整理得 令，有 這就是平面的一般方程.平面的方程可用三元一次方程來表示且的系數(shù)組成該平面的法向量注意：(1)有了平面的方程，就能得到平面的法向量，可用平面內(nèi)不共線的三點求出平面的方程(2)一些特殊情形的平面，方程會更簡捷：通過原點的平面，方程為；平行于軸的平面，方程為；通過軸的平面，方程為；既平行于軸又平行于軸的平面,也就是一個平行于坐標(biāo)面的平面，方程為；類似地，可討論其它特殊情形(3)兩平面：與平行的充要條件是求法三：用行列式求得法向量若，是平面內(nèi)兩個不共線向量，計算行列式 ，則平面的法向量為考點

5、2 用空間向量求解二面角（一）用法向量解二面角用法向量求解二面角時遇到一個難題：二面角的取值范圍是0, p ，而兩個向量的夾角取值范圍也是0, p ，那用向量法算出的角是二面角的平面角呢還是它的補角？如果是求解異面直線所成的角或直線與平面所成的角，只要取不超過 的那個角即可，但對二面角卻是個難題. 筆者經(jīng)過思考，總結(jié)出一個簡單可行的方法，供讀者參考.q 圖一用法向量解二面角首先要解決的問題就是：兩個法向量所夾的角在什么情況下與二面角大小一致？其次，如何去判斷得到的法向量是否是我們需要的那個方向？對第一個問題，我們用一個垂直于二面角棱的平面去截二面角（如圖一），兩個平面的法向量則應(yīng)分別垂直于該平

6、面角的兩邊. 易知，當(dāng)同為逆時針方向或同為順時針方向時，它們所夾的解即為q . 所以，我們只需要沿著二面角棱的方向觀察，選取旋轉(zhuǎn)方向相同的兩個法向量即可. 或者可以通俗地理解，起點在半平面上的法向量，如果指向另一個半平面，則稱為“向內(nèi)”的方向；否則稱為“向外”的方向. 兩個法向量所夾的角與二面角大小相等當(dāng)且僅當(dāng)這兩個法向量方向一個“向內(nèi)”，而另一個“向外”.xyzo圖二對第二個問題，我們需要選取一個參照物. 在空間直角坐標(biāo)系中，我們可以選擇其中一個坐標(biāo)軸（如z軸），通過前面的辦法，可以確定法向量的方向，再觀察該法向量與xoy平面的關(guān)系，是自下而上穿過xoy平面呢，還是自上而下穿過xoy平面？若

7、是第一種情形，則與所夾的角是銳角，只需取法向量的z坐標(biāo)為正即可；若是第二種情形，則與所夾的角是鈍角，只需取法向量的z坐標(biāo)為負即可若法向量與xoy平面平行，則可以選取其它如yoz平面、zox平面觀察（二）用半平面內(nèi)的向量解二面角由二面角的平面角定義，由棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，這樣構(gòu)成的角即為二面角的平面角如果分別在兩個半平面內(nèi)作兩個向量（如圖），起點在棱上且均垂直于棱，可以看出，這兩個向量所夾的角，與二面角的大小是相等的這種方法與用法向量解二面角相比，其優(yōu)點是向量的方向已經(jīng)固定，不必考慮向量的不同方向給二面角大小帶來的影響考點3 空間直線與空間平面的向量形式在平面解析幾何中，曲線上

8、的動點可以用坐標(biāo)表示，通過對變量的運算達到求值、證明的目的在立體幾何中借用向量，直線、平面上的點也可以用參數(shù)來表示，通過對參數(shù)的運算，同樣可以達到求值、證明的目的1空間直線：如果l為經(jīng)過已知點a且方向向量為的直線，那么點p在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，滿足等式，或?qū)θ我稽co（通常取坐標(biāo)原點），有 這是空間直線的向量形式2空間平面：空間一點p位于平面mab內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對s、t，使 或?qū)臻g任一定點o（通常取坐標(biāo)原點），有這是空間平面的向量形式四、例題精析【例題】如圖，在四棱錐sabcd中，底面abcd為正方形，側(cè)棱sd底面abcd，e、f分別是ab、sc的中點。 ()求證：ef

9、平面sad；()設(shè)sd2cd，求二面角aefd的大小；abcdsef 【解析】（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，取的中點，則平面平面，所以平面（2）不妨設(shè)，則平面aefg與x軸、z軸的交點分別為a(1,0,0)、g(0,0,1)，與y軸無交點，則法向量，在cd延長線上取點h，使dhae，則dh ae，所以ahed，由（1）可知agef，所以平面ahg平面efd，平面ahg與x軸、y軸、z軸的交點分別為a(1,0,0)、h(0, ,0)、g(0,0,1)，則法向量，設(shè)二面角aefd的大小為a ，則，即二面角aefd的大小為【例題】 已知四棱錐p-abcd的底面為直角梯形，abdc，dab90

10、，pa底面abcd，且paaddc1，m是pb的中點.（1）求二面角c-am-b的大??；（2）求二面角a-mc-b的大小.【解析】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則對二面角c-am-b而言，是平面amb的法向量（向內(nèi)），易知平面acm符合“向外”方向的法向量是自下而上穿過xoy平面，所以與所夾的角是銳角. 對二面角a-mc-b而言，平面acm選取上述法向量，則為“向外”的方向，平面bcm就應(yīng)選取“向內(nèi)”的方向，此時是自上而下穿過xoy平面，與z軸正向所夾的角是鈍角.xyz（1）如圖，以ad為x軸，ab為y軸，ap為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面amb的法向量為(1,0,0), 設(shè)平面acm的法向量為(

11、x,y,z). 由已知c（1, 1, 0), p(0, 0, 1), b(0, 2, 0)，則m(0, 1, ),(1, 1, 0), (0, 1, ).由 取y -1，則x1, z2， (1, -1, 2). （滿足0）.設(shè)二面角c-am-b的大小為q ，則cosq ,所求二面角的大小為arccos.（2）選?。?）中平面acm的法向量(1, -1, 2)，設(shè)平面bcm的法向量為 (x,y,z). (1, -1, 0), (0, -1, ),由取z 2，則y 1, x 1， (1, 1, 2)，則，所夾的角大小即為二面角amcb的大小，設(shè)為j ， cosj，所求二面角的大小為p arccos

12、.【例題】 如圖，已知長方體abcda1b1c1d1中，abbc1，aa12，e是bb1的中點（1）求二面角eac1b的大小；（2）求二面角c1aeb的大小【解析】在第（1）題中，只需在ac1上找到兩點g、h，使得、均與垂直，則、的夾角即為所求二面角的大小如何確定g、h的位置呢？可設(shè)，這樣向量就用參數(shù)l 表示出來了，再由 0求出l 的值，則向量即可確定，同理可定出h點第（2）題方法類似以b為坐標(biāo)原點，bc為x軸，ba為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，則b(0,0,0), a(0,1,0), c(1,0,0), b1(0,0,2), c1(1,0,2), e(0,0,1) (1, 1, 2), (0,

13、1, 0).xyzgh（1）設(shè)，則由 0 l (l 1)4l 0，解得：， ().圖六同理可得： ()， 0、的夾角等于二面角eac1b的平面角cos ,xyzmn圖七 二面角eac1b的大小為arccos.（2） (0, 1, 1), 在ae上取點m、n，設(shè)，則, 由 0得：g 1g 0，解得：g ， . 同理可求得： ( 1, , ), 0.、的夾角等于二面角c1aeb的平面角cos ,二面角c1aeb的大小為arccos().五、課堂運用【基礎(chǔ)】. 在空間直角坐標(biāo)系oxyz中，已知a(2，0，0)，b(2，2，0)，c(0，2，0)，d(1，1，)若s1，s2，s3分別是三棱錐d abc

14、在xoy，yoz，zox坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則()as1s2s3 bs2s1且s2s3cs3s1且s3s2 ds3s2且s3s1【解析】設(shè)頂點d在三個坐標(biāo)平面xoy、yoz、zox上的正投影分別為d1、d2、d3，則ad1bd1，ab2，s1222，s2socd22，s3soad32選d【答案】d.求過點,的平面的法向量【解析】方法一：由給定平面上的三個點的坐標(biāo)，可知平面上的兩個向量，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，得平面的一個法向量 方法二：設(shè)過點,的平面的方程為，代入點的坐標(biāo)，得，解之，即，所以平面的方程為，所以平面的一個法向量 方法三：由給定平面上的三個點的坐標(biāo)，可知平面上的兩個

15、向量，因為這兩個向量不平行，計算故所求平面的一個法向量 已知正方體的棱長為，是的中點，是對角線的中點，（1）求證：是異面直線和的公垂線；（2）求異面直線和的距離【解析】（1）解法一：延長交于，則為的中點，連結(jié)，則，又是的中點，是異面直線和的公垂線解法二：以為原點，分別以為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 于是有，所以是異面直線和的公垂線（2）由（1）知，為異面直線和的距離 所以【鞏固】已知正方體的棱長為，求與間的距離【解析】解法一：（轉(zhuǎn)化為到過且與平行的平面的距離）連結(jié)，則/，/平面，連，可證得，平面，平面平面，且兩平面的交線為，過作，垂足為，則即為與平面的距離，也即與間的距離，在中，故與

16、間的距離解法二：以為原點，分別以所在的直線分別為軸，軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，由（解法一）求點到平面的距離，設(shè)，在平面上，即，解得：，解法三：直接求與間的距離設(shè)與的公垂線為，且，設(shè)，設(shè)，則，同理，解得：，如圖所示，三棱柱abc a1b1c1中，點a1在平面abc內(nèi)的射影d在ac上，acb90，bc1，accc12.(1)證明：ac1a1b; (2)設(shè)直線aa1與平面bcc1b1的距離為，求二面角a1 ab c的大小【解析】方法一：(1)證明：因為a1d平面abc，a1d平面aa1c1c，故平面aa1c1c平面abc. 又bcac，所以bc平面aa1c1c連接a1c，因為側(cè)面aa1c1c為菱

17、形，故ac1a1c由三垂線定理得ac1a1b(2)bc平面aa1c1c，bc平面bcc1b1，故平面aa1c1c平面bcc1b1.作a1ecc1，e為垂足，則a1e平面bcc1b1.又直線aa1平面bcc1b1，因而a1e為直線aa1與平面bcc1b1的距離，即a1e.因為a1c為acc1的平分線，所以a1da1e作dfab，f為垂足，連接a1f由三垂線定理得a1fab，故a1fd為二面角a1 ab c的平面角由ad1，得d為ac中點，df，tana1fd，所以cosa1fd所以二面角a1 ab c的大小為arccos方法二：以c為坐標(biāo)原點，射線ca為x軸的正半軸，以cb的長為單位長，建立如圖

18、所示的空間直角坐標(biāo)系c xyz.由題設(shè)知a1d與z軸平行，z軸在平面aa1c1c內(nèi)(1)證明：設(shè)a1(a，0，c)由題設(shè)有a2，a(2，0，0)，b(0，1，0)，則(2，1，0)，(2，0，0)，(a2，0，c)，(a4，0，c)，(a，1，c)由|2，得2，即a24ac20.又a24ac20，所以ac1a1b(2)設(shè)平面bcc1b1的法向量m(x，y，z)，則m，m，即m0，m0.因為(0，1，0)，(a2，0，c)，所以y0且(a2)xcz0令xc，則z2a，所以m(c，0，2a)，故點a到平面bcc1b1的距離為|cosm，|c又依題設(shè)，a到平面bcc1b1的距離為，所以c，代入，解得

19、a3(舍去)或a1，于是(1，0，)設(shè)平面aba1的法向量n(p，q，r)，則n，n，即n0，n0，pr0，且2pq0.令p，則q2 ，r1，所以n(，2 ，1)又p(0，0，1)為平面abc的法向量，故cosn，p所以二面角a1 ab c的大小為arccos【拔高】 如圖，已知abcd為邊長是4的正方形，e、f分別是ab、ad的中點，gc垂直于abcd所在的平面，且gc，求點b到平面efg的距離xyz【解析】分別以、為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則e(2,4,0), f(4,2,0), g(0,0,2),b(0,4,0). (2,2,0), (2,4,2),設(shè)p是平面efg上的動點，則存

20、在實數(shù)s,t，使得 s t (2,4,0) s(2,2,0) t(2,4,2) (2s2t2, 42s4t, 2t),p(2s2t2, 42s4t, 2t), (2s2t2, 2s4t, 2t).當(dāng)且僅當(dāng)bpef且bpeg時，bp平面efg，bp即為所求的點b到平面efg的距離由 ，解得： ( , , ),點b到平面efg的距離即為 | .解法二：因為平面efg的豎截距為2，可設(shè)平面efg的方程為，將e(2,4,0), f(4,2,0)的坐標(biāo)分別代入，得，解之， 所以平面efg的方程為 即點b(0,4,0) 到平面efg的距離為 如圖，正三棱柱abca1b1c1的所有棱長都為2，d為cc1中點。（）求證：ab1面a1