1、科學(xué)出版社,二、幾個(gè)初等函數(shù)的帶佩亞諾(peano)余項(xiàng)的,第三節(jié),一、泰勒公式,泰勒公式,第四章,麥克勞林(Maclaurin)公式,科學(xué)出版社,特點(diǎn):,一、泰勒公式,以直代曲,在微分應(yīng)用中已知近似公式 :,需要解決的問(wèn)題,如何提高精度 ?,如何估計(jì)誤差 ?,x 的一次多項(xiàng)式,科學(xué)出版社,1. 求 n 次近似多項(xiàng)式,要求:,故,令,則,科學(xué)出版社,2. 余項(xiàng)估計(jì),令,(稱為余項(xiàng)) ,則有,科學(xué)出版社,科學(xué)出版社,公式 (1) 稱為 的 n 階泰勒公式 .,公式 (2) 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng) .,定理1（泰勒中值定理）,階的導(dǎo)數(shù) ,時(shí), 有,(1),其中,(2),則當(dāng),科學(xué)出版社,

2、公式 (3) 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項(xiàng) .,在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí) , 泰勒公式可寫(xiě)為,注意到,(3),(4),當(dāng),(4) 式成立.,時(shí)，,科學(xué)出版社,討論:,1) 當(dāng) n = 0 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?2) 當(dāng) n = 1 時(shí), 泰勒公式變?yōu)?給出拉格朗日中值定理,可見(jiàn),誤差,科學(xué)出版社,稱為麥克勞林( Maclaurin )公式 .,則有,在泰勒公式中若取,則有誤差估計(jì)式,若在公式成立的區(qū)間上,麥克勞林,由此得近似公式,科學(xué)出版社,二、幾個(gè)初等函數(shù)的帶佩亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式,其中,麥克勞林公式,科學(xué)出版社,其中,麥克勞林公式,科學(xué)出版社,麥克勞林公式,類似可得,其

3、中,科學(xué)出版社,其中,麥克勞林公式,科學(xué)出版社,已知,其中,因此可得,麥克勞林公式,科學(xué)出版社,解:,例1.,求極限,科學(xué)出版社,例2.,求,解：,用洛必達(dá)法則不方便 !,從而,科學(xué)出版社,例3.,求,解:,由于,科學(xué)出版社,證: 由題設(shè)對(duì),例4.,有,且,點(diǎn),科學(xué)出版社,下式減上式 , 得,令,科學(xué)出版社,泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用,誤差,M 為,在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.,需解問(wèn)題的類型:,1) 已知 x 和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù) n ;,2) 已知項(xiàng)數(shù) n 和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;,3) 已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.,科學(xué)出版社,例5.

4、 計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值 , 使誤差不超過(guò),解: 已知,令 x = 1 , 得,由于,欲使,由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立 ,因此,的麥克勞林公式為,科學(xué)出版社,注: 計(jì)算時(shí)要注意舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響.,本例,若每項(xiàng)四舍五入到小數(shù)點(diǎn)后 6 位,則,各項(xiàng)舍入誤差之和不超過(guò),總誤差限為,這時(shí)得到的近似值不能保證誤差不超過(guò),因此計(jì)算時(shí)中間結(jié)果應(yīng)比精度要求多取一位 .,科學(xué)出版社,例6.,計(jì)算,的近似值.,解：,所以,因此,科學(xué)出版社,泰勒多項(xiàng)式逼近,科學(xué)出版社,泰勒多項(xiàng)式逼近,科學(xué)出版社,泰勒 (1685 1731),英國(guó)數(shù)學(xué)家,他早期是牛頓學(xué)派最,優(yōu)秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),線性透視論(1719),他在1712 年就得到了現(xiàn)代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理論的奠基人 .,科學(xué)出版社,麥克勞林 (1698 1746),英國(guó)數(shù)學(xué)家