1、9.1 多元函數(shù)的基本概念,一、平面點(diǎn)集 n維空間,二、多元函數(shù)的概念,三、多元函數(shù)的極限,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,一、平面點(diǎn)集 n維空間,1、平面點(diǎn)集,就表示坐標(biāo)平面。,(2).坐標(biāo)平面上具有某種性質(zhì)的點(diǎn)的集合， 稱為平面點(diǎn)集 。,記作：,、鄰域,說(shuō)明（1）若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成,（2）空心鄰域：,、點(diǎn)與點(diǎn)集關(guān)系、區(qū)域,例如，,即為開(kāi)集,(1)按點(diǎn)在內(nèi)或外來(lái)考慮有內(nèi)點(diǎn),外點(diǎn),邊界點(diǎn)。,連通的開(kāi)集稱為區(qū)域或開(kāi)區(qū)域,例如，,例如，,有界閉區(qū)域；,無(wú)界開(kāi)區(qū)域,例如，,對(duì)于平面點(diǎn)集E，,如果存在某一正數(shù)r，,使得,其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，,那么E稱為有界集。,否則稱為無(wú)界集。,r,E, 內(nèi)點(diǎn)一定是

2、聚點(diǎn)；,幾點(diǎn)說(shuō)明：,(2)按點(diǎn)的近旁是否密集著的點(diǎn)來(lái)考慮聚點(diǎn)or孤立點(diǎn)。,反之若存在一個(gè)P的去心鄰域沒(méi)有E中的點(diǎn)，則稱P為E的孤立點(diǎn)。,內(nèi)總有E中的點(diǎn)，,那么稱P是E的聚點(diǎn)。,若對(duì)于任意給定的0，點(diǎn)P的去心鄰域, 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；,例,(0,0)是邊界點(diǎn)也是孤立點(diǎn),也可能是孤立點(diǎn),滿足 的點(diǎn)既是邊界點(diǎn)又是聚點(diǎn), 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E,例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合,例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合,練習(xí)：書(shū)P64，題1,、n維空間, n維空間的記號(hào)為, n維空間中的線性運(yùn)算：, 零元：,設(shè),當(dāng) 時(shí)，為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離,設(shè)兩點(diǎn)為, n維空間中兩點(diǎn)間距離公

3、式,（1）點(diǎn)P到原點(diǎn)距離：,（3）變?cè)獂在Rn中趨于固元a：,（2）結(jié)合向量的線性運(yùn)算，空間中兩點(diǎn)距離可表示為：, n維空間中鄰域、區(qū)域等概念,內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義,鄰域：,引例:, 圓柱體的體積, 三角形面積的海倫公式,、二元函數(shù)的定義,二、多元函數(shù)的概念,點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域;,數(shù)集,稱為函數(shù)的值域 .,記作,稱為自變量;,稱為因變量;,練習(xí)：練習(xí)冊(cè)P13 ，一,、多元函數(shù)的自然定義域,使函數(shù)有意義的變?cè)闹邓M成的點(diǎn)集稱為函數(shù)的定義域（自然定義域）。,例求下列函數(shù)的定義域：,解,、 二元函數(shù) 的圖形,（如下頁(yè)圖）,二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.,如：,平面.,上半

4、球面.,旋轉(zhuǎn)拋物面.,（拋物線 繞z軸旋轉(zhuǎn)）,函數(shù)的定義域就是曲面在xoy坐標(biāo)面上的投影。,(也稱為 n 重極限),當(dāng) n =2 時(shí),二元函數(shù)的極限（二重極限）可寫作：,記作,則稱 A 為函數(shù),三、多元函數(shù)的極限,或,或,說(shuō)明：,(1).定義中 的方式是任意的；,(2).二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似,例4 求證,證,當(dāng) 時(shí)，,原結(jié)論成立,例 求極限,= 0,無(wú)窮小和有界函數(shù)的乘積是無(wú)窮小,例 求極限,例5 求極限,多元函數(shù)的極限運(yùn)算，有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則,解,當(dāng)點(diǎn),沿 x 軸,趨于點(diǎn)O(0,0)時(shí)，,不存在,當(dāng)點(diǎn),沿 y=x,趨于點(diǎn)O(0,0)時(shí)，,此例說(shuō)明，所謂多重極限存在,是

5、指P(x,y)以任何方式趨于P0時(shí),f(x,y)都無(wú)限接近A,確定極限不存在的常用方法：,例 證明 不存在,證,取,其值隨k的不同而變化，,故極限不存在,四、多元函數(shù)的連續(xù)性,如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在,、定義3 . 設(shè) n 元函數(shù),定義在 D 上,如果存在,否則稱為不連續(xù),則稱 n 元函數(shù),D 上連續(xù).,連續(xù),例如, 函數(shù),在點(diǎn)(0,0) 極限不存在,又如, 函數(shù),上間斷.,故(0,0)為其間斷點(diǎn).,在圓周,結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).,例 求極限,原式,解:,函數(shù)定義區(qū)域?yàn)?故函數(shù)在點(diǎn)（1,2)處連續(xù),一般地，求 時(shí)，如果f(P)是初等函數(shù)，,且P是f(P)的定義域的內(nèi)點(diǎn)，那么f(P)在點(diǎn)P處連續(xù)，,于是,解: 原式,例 求,分子有理化后約分,分析:,、有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)具有性質(zhì)：,性質(zhì)（最大值和最